三角形、梯形的中位线  

   三角形、梯形的中位线

 

二. 重点、难点：

  1. 重点：

    三角形、梯形中位线定理的内容及应用。

  2. 难点：

    中位线与中点问题、面积问题、直角三角形等特殊的三角形的综合应用。

 

三. 知识要点：

  1.

  2.

  3. 梯形中位线的一些性质：

    （1）平分对角线；

    （2）对角线中点的连线

（下底－上底）

 

【典型例题】

  例1. 如图，AD∥BC，AB∥EG，AG∥BF。

    求证：GD＝DC

    证明：∵AG∥BF，AB∥EG

    ∴四边形ABFG是平行四边形

    ∴AB＝GF

    同理，四边形ABEF为平行四边形

    ∴AB＝EF

    ∴GF＝EF

    又FD∥EC

    ∴GD＝DC（过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边）

 

  例2. 已知：△ABC中，AB＞AC，CD平分∠ACB，AD⊥DC，F为AC的中点，延长FD交AB于E点。

    求证：

    证明：∵AD⊥DC，F为AC的中点

    ∴DF＝FC

    ∴∠1＝∠3

    又CD平分∠ACB

    ∴∠1＝∠2

    ∴∠2＝∠3

    ∴FD∥BC，即EF∥BC

    ∴E为AB的中点

   

 

  例3. 如图，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，对角线AC、BD交于O，且∠AOB＝60°，又E、F、G分别为DO、AO、BC的中点。

    求证：△EFG为等边三角形。

    证明：连结EC

    ∵四边形ABCD为等腰梯形

    ∴△ADC≌△BCD（SAS）

    ∴∠ODC＝∠OCD

    ∴OD＝OC

    又∠DOC＝∠AOB＝60°

    ∴△DOC为等边三角形

    又E为DO的中点

    ∴CE⊥DO

    ∴△BEC为直角三角形

    又G为BC的中点

   

    同理，可证

    ∵F为AO的中点，E为DO的中点

   

    又AD＝BC

   

    ∴EF＝EG＝FG

    ∴△EFG为等边三角形

 

  例4. （中考题）

    （1）（重庆，2004）已知一个梯形的面积为22

，高为2cm，则该梯形的中位线的长等于____________。

    （2）（山东威海，2004）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线MN分别交AC、BD于G、H，若AB＝12，DC＝8，则GH＝___________。

    解：（1）

   

    ∴中位线长为11cm

    （2）∵M为AD中点，MH∥AB

    ∴H为BD的中点

   

    同理，

   

    即GH＝2

 

【模拟试题】（答题时间：15分钟）

  1. 顺次连结等腰梯形各边中点所得四边形是_______________，再顺次连结所得四边形各边中点得到的四边形是_______________。

  2. 在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，若△ADF的面积为1，则△DEF的面积为_______________。

  3. 已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，BD⊥DC，且BD平分∠ABC，若梯形的周长为20cm。求此梯形的中位线长。

 

【试题答案】

  1. 菱形，矩形

  2. 1

  3. 6cm