一次函数及期中模拟

 

［学习目标］

  1. 形如

的函数叫一次函数，它的定义域是全体实数，如果

，一次函数

就叫正比例函数

。

    掌握一次函数及正比例函数的意义，弄清两者之间的关系。

  2. 了解一次函数及正比例函数的图象及性质。

    （1）正比例函数图象

    ①过（0，0），（a，ka）a≠0两点的直线

    ②图象过两个象限，若

，则过一、三象限。

                      若

，则过二、四象限。

    ③增减性：若

，则y随x的增大而增大，减小而减小。

              若

，则y随x的增大而减小，减小而增大。

    ④k，斜率，衡量直线倾斜程度，是决定解析式的唯一待定系数。

    ⑤与坐标轴交于一点原点（0，0）。

    （2）一次函数图象

    ①过（0，b），（a，ka+b）a≠0两点的直线。

    也是过（0，b），（

，0）两点的直线。

    ②图象过三个象限：

    a. 若

，则过一，二，三象限；

    b. 若

，则过一，三，四象限；

    c. 若

，则过一，二，四象限；

    d. 若

，则过二，三，四象限。

    ③增减性

    （同正比例函数）

    ④k  斜率    k，b是待定系数

    ⑤与坐标轴交于两点（0，b），（

，0）。

    b叫在y轴上的截距，

叫在x轴上的截距。

    ⑥与两轴围成直角三角形，周长

，面积

。

 

  3. 图象作法

    两点法（两点确定一条直线）。

 

［学习重点与难点］

    一次函数概念、图象、性质是重点，其中性质的掌握与应用是难点。

 

【典型例题】

  例1. 在

中，当常数n为何值时，y是x的正比例函数。

    解：由正比例函数的定义知：

   

    由② 

   

    由① 

   

    当

时y是x的正比例函数。

 

  例2. 已知

，这里p是一个常数，z与x成正比例，且

时，

时，

。

    （1）写出y与x之间的函数关系式；

    （2）如果x的取值范围是

，求y的取值范围。

    解：（1）∵z与x成正比例

    ∴设z=kx（k≠0为常数）

    ∴

    将

分别代入

   

    ∴

之间的函数关系是

。

    （2）根据

，分别把

    代入

中，得

    ∴当

时，有

。

 

  例3. 已知正比例函数

的图象上两点A（

），B（

），当

时，有

，那么m的取值范围是（    ）

    A.

                          B.

    C.

                           D.

    解：∵

    ∴

，

    又∵

    ∴

    ∴

，故选A。

 

  例4. 关于x的方程

有两个实数根

，设

，求y与t的函数关系式及t的取值范围。

    解：由方程有两实根知

   

   

       

    ∴所求函数解析式为

。

 

  例5. 一次函数

的图象是（    ）

    解：选C，用矛盾排除法。

 

  例6. 对于一次函数

，如果y随x的增大而增大，且它的图象与y轴交点在x轴下方，试求m的取值范围。

    解：∵一次函数y随x的增大而增大，

    ∴

，

    又∵一次函数的图象与y轴的交点在x轴下方，

    ∴

    故所求m的取值范围是

。

 

  例7. 已知一次函数

，

    （1）求其图象与坐标轴围成的图形的面积；

    （2）求其图象与坐标轴的两个交点间的线段的长度；

    （3）求原点到该图象的垂线段OC的长度。

    解：（1）设一次函数

与坐标轴交点为A，B

    当

    ∴A点坐标为（3，0）

    同理，B（0，4）

   

   

          

    （2）由勾股定理

   

    （3）设原点到该图象的垂线段长度|OC|，则

   

    即 

    ∴

。

 

  例8. 在一次函数

中，当常数a为何值时，y随x增大而减小，且与y轴交点的纵坐标为－1？

    解：由题意，

    ∴

    ∴当

时，y随x增大而减小，且与y轴交点的纵坐标为－1。

 

  例9. 已知点A（6，0），点P（x，y）在第一象限，且

，设△OPA的面积为S。

    （1）求S关于x的函数关系式；

    （2）求x的取值范围；

    （3）求S=12时，P点坐标；

    （4）作函数图象。

    解：（1）过P作PB⊥x轴，垂足为B，由点P在第一象限可知PB=y，（如图1）

图1

    ∴

       

    又

    代入有

    即：

为所求。

    （2）其中由

在第一象限可知

   

    （3）当S=12时，

，

    ∴P点坐标（4，4）

    （4）函数图象为一条不包括两端点的线段，其中端点（0，24），（8，0）。（如图2）

图2

 

  例10. 已知直线

在y轴上截距－2，且y随x的增大而减小，求m的值。

    解：由题

 

【模拟试题】（答题时间：100分钟）

一、选择题

  1. 已知一次函数

的图象经一、二、三象限，则（    ）

    A.

                   B.

    C.

                                D.

  2. 当一次函数

取不同k值时可以得到不同的直线，这些直线必（    ）

    A. 相交于一个定点

    B. 互相平行

    C. 有无数个交点

    D. 以上答案均不对

  3. 如图，已知一次函数

的图象经一、三、四象限，则有（    ）

    A.

                    B.

    C.

                    D.

  4. 直角坐标系中，若直线

与直线

相交于x轴，则直线

不经过的象限为（    ）

    A. 第四象限                       B. 第二象限

    C. 第一象限                       D. 第三象限

 

二、填空

  5. 当m=____________时，函数

是正比例函数，且图象在一、三象限。

  6. 若正比例函数

的函数值随x的增大而减小，则相应的一次函数

经过____________象限。

  7. 某商店进了一批货，每件2元，出售时每件加利润5角，如果售出x件，应收入货款y元，那么y与x的函数关系是____________。

 

三、解答题：

  8. 如果正比例函数和一次函数的图象相交于点M（3，4），如图，并且正比例函数和一次函数图象与y轴围成三角形的面积等于

，求这两个函数的解析式。

  9. 直线

沿y轴平移后通过点（－1，3）

    （1）求平移后直线在y轴上的截距；

（2）直线沿y轴平移了几个单位；

 

[期中模拟试题]

一、选择题（共32分，1—10题每小题2分，11—14题每小题3分）

    下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的。

  1. 方程

化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ）

    A.

                  B.

    C. 5、2、3                          D.

  2. 方程

的根是（    ）

    A.

                           B.

    C.

                         D.

  3. 已知一元二次方程

的两根为

等于（    ）

   

  4. 分式方程

的解是（    ）

    A.

                            B.

    C.

               D.

  5. 点P（1，－2）关于x轴的对称点P的坐标是（    ）

    A. （1，2）                B. （－1，2）

    C. （－2，1）                    D. （－1，－2）

  6. 函数

中，自变量x的取值范围是（    ）

    A.

                     B.

    C.

                     D.

  7. 一次函数

的图象如图1所示，则（    ）

图1

    A.

                      B.

    C.

                      D.

  8. 在△ABC中，∠C=90°，AB＝7，BC＝5，则（    ）

    A.

                     B.

    C.

                       D.

  9. 在△ABC中，∠C是直角，如果

，那么cosB值是（    ）

    A.

                   B.

                 C.

                D.

  10. 若

，则下面各式正确的表达式是（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

  11. 关于x的一元二次方程

有两个不相等的实数根，那么（    ）

    A.

                               B.

    C.

                            D.

  12. 小明沿坡度是1：2.4的斜坡前进26米，则他升高（    ）

    A. 10米                B. 5米                  C. 13米                D. 2.4米

  13. 如果

时，下列不等式成立的是（     ）

    A.

    B.

    C.

    D.

  14. 已知

等于（    ）

    A.

                   B.

    C.

                  D.

 

二、填空题（共18分，每小题3分）

  1. 用换元法解方程：

若设

，则所得关于y的一元二次方程为______________________。

  2. 函数

的自变量的取值范围是______________________。

  3. 在△ABC中，

则∠B＝___________。

  4. 方程

的解是______________________。

  5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a：b＝2：3，则sinB＝___________。

  6. 如图，两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图2所示：

图2

    则在这次赛跑中甲、乙的平均速度分别为______________________米/秒。

 

三、（本题共24分，每小题6分）

  1. 解方程：

  2. 解方程组：

  3. 计算：

  4. 已知：在△ABC中，∠C=45°，∠B=120°，AB=4，求AC长。

 

四、（本题6分）

    已知一次函数

与正比例函数

交于点P（

），求m及b。

 

五、（本题共10分，每小题5分）

  1. 如图3，某直升飞机于空中A处观测到地面控制点C的俯角是30°；若飞机航向不变继续向前飞行2千米至B处，观测到控制点C的俯角是45°，问飞机沿此方向再向前飞行多少千米与地面控制点C的距离最近？（结果保留根号）

图3

  2. 列方程或方程组解应用题：

    某商场今年一月份销售额是80万元，二月份销售额下降20%，后改进经营管理，月销售额大幅度上升，四月份销售额已达100万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率是多少？

 

六、（本题6分）

    已知一次函数

的图象与x轴、y轴分别交于A（m，0）和B（0，n）两点且m，n是方程

的两根，

    （1）求一次函数的解析式。

    （2）求直线与x轴正向夹角的正切。并判断此值与一次函数的解析式是否有关，若有关，试说出得到的结论。

 

七、

    已知：△ABC中，∠C=90°，

关于x的方程

的两个实数根，求m的值。

【试题答案】

一、选择题：

  1. B                   2. A                      3. C                      4. D

 

二、填空题：

  5. 3                   6. 二、三、四                    7.

 

三、解答题：

  8. 设正比例函数为

，一次函数

    ∵两函数都经过M（3，4）

    ∴

   

    又∵

   

    故这两个函数解析式为

   

或

  9. （1）设平移后直线的函数的解析式为：

   

    ∵它与

平行

    ∴

，又直线过点（－1，3），

    于是

   

，

    所以所求直线为

，截距为6。

    （2）由

，得直线

沿y轴向上平移了8个单位。

 

[期中模拟试题答案]

一、选择题（共32分，1—10题每小题2分，11—14题每小题3分）

  1. B                   2. D               3. A               4. B               5. A

  6. D                  7. D               8. A               9. A               10. C

  11. D                 12. A             13. D             14. D

 

二、填空题（共18分，每小题3分）

  1.

  2.

  3. 60°

  4.

  5.

  6.

米/秒  8米/秒

 

三、（本题共24分，每小题6分）

  1. 解：设

则

   

    即

   

    当

    即：

    当

    即：

    经检验：

均为原方程的根。

    所以原方程的根是：

    

  2. 解：

    由①得 

③，把③代入②

   

   

    把

    把

    所以原方程组的根是

   

  3. 解：原式

            

  4. 解：延长CB到D，过点A作AD⊥CD交CB延长线于D，在Rt△ABD中

    ∵∠ABC=120°，∠CBD=180°，

    ∴

   

    在Rt△ACD中

   

 

四、（本题6分）

    解：（1）由题意

   

   

   

 

五、（本题共10分，每小题5分）

    解：过C作CD⊥AB交AB延长线于D，

    在Rt△CBD中

   

    在Rt△ADC中

   

    答：飞机再飞行（

）千米离控制点C最近。

  2. 解：设三、四月平均月增长率为x

   

    答：三、四月平均月增长率为25%

 

六、（本题6分）

    解：（1）令x=0，则y=b

   

   

   

    综①②所述，一次函数的解析式

    （2）①若一次函数为

，则A（2，0），B（0，－4）

    设所求角为α

   

    ②

    所以一次函数与x轴正向所交锐角的正切值为该一次函数的一次项系数k。

 

七、解：由题意

   

   

   

 

【励志故事】

永远做一个勤奋的人

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