代数式

 

［学习目标］

  1. 掌握整式的有关概念和运算，理解代数式的分类，熟练运算法则；

  2. 掌握因式分解的概念、方法、步骤；

  3. 理解分式概念及运算

 

［学习重点、难点］

  1. 代数式分类及定义

   

  2. 求代数式的值

  3. 整式的运算

    （1）同类项

    （2）添（去）括号法则

    （3）整式加减

    （4）整数指数幂及运算性质

    ①

    ②

    ③

    ④

    ⑤

    ⑥

    （5）整式的乘除

    ①乘法：单×单  单×多  多×多

    ②乘法公式

   

   

   

   

   

   

    ③除法：单÷单  多÷单

  4. 因式分解

    （1）定义：是一种形变是多×多的逆变形。

    （2）注意：数集，幂的形式，首项不带负号。

    （3）方法

    ①提公因式 

    ②公式法

    ③分组分解法

    ④十字相乘法 

    ⑤求根公式分解二次三项式的方法

   

   

    （4）步骤：一提二套三分组

  5. 分式

    （1）若A和B均为整式，B中含有字母，形如

的式子叫做分式。

    （2）最简分式：分子，分母没有公因式的分式。

    （3）分式运算：

    ①加减：

，特别

时，

    ②乘：

    ③

    ④乘方：

  6. 二次根式

    （1）形如

叫二次根式。

    （2）最简二次根式及同类二次根式。

    （3）性质：

    ①

    ②

    ③

    ④

    ⑤

    ⑥若

    （4）分母有理化

    （5）运算：加减乘除。

 

【典型例题】

  例1. 已知，

，求

的值。

    解：∵

，

    ∴

    ∵

               

    ∴当

    说明：求代数式的值，有时要把已知条件化简，得出字母的值或字母之间的关系，然后把它们代入化简（或变形）后的所要求值的代数式里，进行计算求值。

 

  例2. 计算：

    （1）

；

    （2）

    解：（1）

           

    （2）

       

    说明：正确运用幂的运算法则是进行幂的运算的关键。单项式相乘除时，要注意运算顺序，先做乘方，然后按从左到右的顺序做乘除法。

 

  例3. 计算：

    （1）

；

    （2）

；

    解：（1）

            

    （2）

       

 

  例4. 把下列各式分解因式：

    （1）

；

    （2）

；

    （3）

；

    （4）

；

    （5）

    解：（1）

           

           

    （2）

        

    （3）

        

    （4）

       

       

    （5）

        

    说明：用分组分解法分解因式，关键在于分组后各组之间是否有公因式可以提取，分组的目的是为前三种方法创造条件。

    对于四项的多项式，经常需要先判断是“二、二分组”还是“一、三分组”。能“一、三分组”的多项式的特点是，有三项的绝对值能表示成完全平方形式，而且这三项异号，其中同号的两项能与多项式中的剩余项配成完全平方形式（如第（2）、（3）题）。对于不符合这个特点的四项多项式，可结合它们各项系数之间的规律考虑“二、二分组”。用第一项分别与第二、三、四项分组进行试验，一般都能找到两种恰当的分组方法。

 

  例5. 把下列各式分解因式：

    （1）

；

    （2）

；

    ※（3）

    解：（1）

            

            

    （2）

        

    （3）

       

    说明：在因式分解的过程中常用到配方法，运用完全平方公式进行配方时，其关键是根据

中左端的形式，配中间乘积项2ab或一个平方项

（或

）。配方后转化为用平方差公式（或十字相乘）等继续进行分解因式。

    在因式分解时，有时还需要使用拆、添项的技巧，以便能达到顺利分组的目的。

 

  例6. 已知

是一个完全平方式，求a的值。

    解：（方法1）

   

是一个完全平方式，

    ∴

    ∴

。

    （方法2）

    ∵

是一个完全平方式，

    ∴

有两个相等实根。

    即

    ∴

。

    说明：如果一个整式恰好是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式。解决这类问题，可用配方法或者用方程观点去解。

 

  例7. 当x取何值时，下列分式有意义？分式的值为零？

    （1）

；（2）

    解：（1）要使分式

有意义，只要使

，解得

且

。

    ∴当

有意义。

    要使

的值为零，只要

，解得

    ∴当

的值等于零。

    （2）要使分式

有意义，只要使

≠0，解得x≠－3且x≠4。

    ∴当x≠－3且x≠4时，分式

有意义。

    要使

的值为零，只要

，解得

    ∴当x＝3时，分式

的值等于零。

    说明：（1）确定分式有无意义时，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式。

    （2）只有当字母的取值使分子的值等于零而且分母的值不为零时，分式的值才等于零。

    （3）注意确切使用“或”和“且”字。如题目中，对第（2）个分式，问的是分式什么时候有意义，这时答x≠－3且x≠4，如果题目问的是该分式什么时候无意义，这时应答x＝－3或x＝4。

 

  例8. 计算：

÷

    解：

÷

      

 

  例9. 计算：

    解：

     

 

  例10. 已知：

，化简求值

。

    解法1：原式

               

    ∵

    ∴原式

    ※解法2：由

，得

，平方，移项，可得

    ∴当将原式化简为

后，立即得其值为1。

 

  例11. 已知

，求

的值。

    解：

     

    将

代入上式

    ∴原式

。

 

  例12. 当x为何值时，下列代数式有意义？

    （1）

；

    （2）

；

    （3）

    解：（1）欲使

有意义，只要使

，解这个不等式得

。

    ∴当

有意义。

    （2）欲使

有意义，

    只要使

    即

，解得

    ∴当

有意义。

    （3）欲使

有意义，只要使

，解得

    ∴当x＝0时，

有意义。

 

  例13. 化简：

    （1）

；

    （2）

；

    （3）已知：

，化简

；

    解：（1）∵

    ∴

    （2）原式

    （3）∵

    ∴

    

 

  例14. 计算：

    （1）

    （2）

    （3）

    （4）

    解：（1）原式

                  

    （2）原式

             

    （3）原式

             

    （4）原式

             

    说明：请总结，在各小题的解法中，是如何根据式子的结构特征，简化计算过程的？这对你提高运算能力有什么启发？

 

  例15. 已知：

，计算：

。

    解：∵

    ∴

    ∵

    又∵

    ∴

 

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

  1. 选择题：

    （1）下面计算中，正确的是（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

    （2）

等于（    ）

    A.

                       B.

    C. 0                                    D.

    （3）若

的值为（    ）

    A. 9                      B. 10                     C. 2               D. 1

    （4）下列二次根式中，最简二次根式的个数是（    ）

   

    A. 1个                  B. 2个                  C. 3个                  D. 4个

    （5）若数轴上表示数a的点在原点的左边，则化简

的结果是（    ）

    A.

                 B.

                C.

                    D.

 

  2. 填空题：

    （1）计算：①

___________；

    ②

___________；

    ③

___________；

    ④

___________；

    ⑤

＝___________；

    ⑥

___________（n为整数）

    （2）若

是同类二次根式，则a＝___________，b＝___________。

 

  3. 计算：

    （1）

    （2）

    （3）

    （4）

    （5）

    （6）

 

  4. 将下列各式分解因式：

    （1）

    （2）

    （3）

    （4）

    （5）

    （6）

  5. 化简：

  6. 已知x、y是方程组

的解，求代数式

的值。

  7. 计算：

  8. 求当a：b：c＝3：4：5时，分式

的值。

  9. 已知：

，

，求

的值。

  10. 已知：x、y均为实数，且满足

。

    求：

的值。

【试题答案】

  1. （1）D         （2）B          （3）B          （4）B          （5）A

  2. （1）①

                 ②

           ③

         ④

    ⑤

        ⑥

    （2）

    提示：

，因此化为最简二次根式后，

  3. （1）3          （2）

        （3）

          （4）4

    （5）

              （6）

  4. （1）

    （2）

    （3）

    （4）

    （5）

    （6）

  5.

  6.

  7. 0

  8.

  9.

  10.