二项式定理

二. 本周教学重、难点：

掌握二项式定理和展开式的性质，并能用它们计算，证明一些问题

【典型例题】

[例1] （1）求

的展开式中的常数项。

（2）求

展开式中的有理项。

解：（1）

，

令

∴

（2）

令

即，

∴

或9

当

时，，

当

时，，

[例2] 求

展开式中的系数

解：因为

的通项为，

的通项为，，令，则

，，，

所以

的系数为

[例3] 求

展开式中含项的系数

解：

而其中

的通项为，的通项为

所以

的通项为，其中，且

由已知，

，所以，从而

当

时，，这时；

当

时，，这时；

当

时，，这时；

所以展开式中含

项的系数为

[例4] 求

的展开式中项。

解：方法一：原式

的通项，

∴

当

时 ∴ ∴ 或

∴ 含

项：

方法二：2个

，1个

4个

∴

[例5] （1）求

展开式中系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项。

解：（1）设

项系数最大，则有

即

解得

又∵ ∴

∴ 系数最大项为

（2）展开式中共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，又因

括号内两项中后项系数绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大项必在中间或偏右，故只需要比较和两项系数大小即可。

∴ 系数最大的项是第五项，

[例6]

的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项。

解：

∴

，即

∴

解得

∴ 展开式中二项式系数最大的项是中间一项

[例7] 若

，求

（1）

；

（2）

；

（3）

。

解：（1）令

，则

令

，则①

∴

（2）令

，则②

由

，得

（2）由

，得

[例8] 求证：

能被64整除

证明：∵

又

是整数

∴

能被64整除

[例9] 求证：

有。

证：∵

∴ 左

右

[例10] 求

解：原式

[例11] 若

，，展开按m的降幂排列第二项不大于第三项，求m的取值范围。

解：

∴

又∵

∴

【模拟试题】

一. 选择题

1. 在

的展开式中，含项的系数是（）

B. 5 C. D. 10

2. 在

的展开式中的系数是（）

B. 14 C. D. 28

3. 若

展开式中含的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于（）

A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

4. 若

展开式中存在常数项，则n等于（）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 12

的展开式中有且仅有5个有理项，则最小自然数n等于（）

A. 11 B. 12 C. 13 D. 14

6. 若

，则等于（）

A. 1 B.

C. 2 D.

7. 设二项式

的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S。若有P+S=272，则n等于（）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 8

展开式中整理后的常数项是（）

A. 32 B.

C. 70 D. 38

二. 解答题

1. 设函数

（为实常数），若的展开式中的系数为，求的值。

2. 已知

展开式中常数项为1120，为常数，求展开式中各项系数的和。

【试题答案】

1. C

解析：

项的系数为，选C。

2. B

解析：由

∴ 的系数为14

3. A

解析：含

项的系数为，含x项的系数为，由题意得

或（舍）

4. C

解析：本题考查二项式定理，展开式中的第

项为

由题意可知

∵

∴ 为3的倍数 ∴ n为5的倍数

5. B

解析：∵

，设为有理项，则，且，

∴ 要求n的最小值，只要求出r的最大值即可

又∵ 只有5个有理项 ∴

∴

，从而

故选B

6. D

解析：令

，得，令，得

∴

7. A

解析：若

，有，，令，得，又

或（舍去）

∴

，故选A

8. D

解析：

展开式的通项

由

，得，故展开式中常数项为

同理，可求

的展开式中的常数项为70

∴ 所求常数项为

二.

1. 解析：

由

∴

∵

∴

2. 解析：

∴ 当

时，为常数项

∴

∴ ∴

∴ 展开式中各项系数之和为：

①

时，令 ∴

②

时，令 ∴

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