多面体与球
二. 本周教学重、难点：
1. 了解多面体，凸多面体，正多面体的概念。
2. 了解球的概念，掌握球的性质，表面积，体积公式。
【典型例题】
[例1] 如图，地球半径为R，地面上三点A、B、C的经纬度分别是：A点是东经，北纬
；B点是东经，北纬；C点是东经，北纬，试求A、B与B、C两点的球面距离。
解：∵ A、B纬度均为 ∴ A、B在同一纬线上
设此纬线圈中心为O1 由已知有，且
∴
在中，=
在中，
∴ ∴ A、B两点的球面距离等于
∵ B、C两点在同一经线上，纬度差为，即
∴ BC两点的球面距离等于
[例2] 已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为。
（1）求它的外接球的体积；
（2）求它的内切球的表面积。
解：如图
（1）设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=OS
∴ O为的外心，即的外接圆半径就是球的半径
∵ AB=BC= ∴ ∵ SA=SC=AC=
∴ 为正三角形
由正弦定理得
因此
（2）设内切球的半径为r
作SE⊥底面于E，作SF⊥BC于F，连结EF
则有
又
∴
∴
∴
[例3] 半径为1的球面上有A、B、C三点，其中A和B的球面距离，A和C的球面距离都是，B和C的球面距离是，求球心O到平面ABC的距离。
解：∵ 球O的半径为1 ∴ A和B的球面距离
∴ 又 OA=OB=1 ∴
同理，，，，BC=1
由，得OA⊥平面OBC
设所求距离为，则由，知
由此解得
[例4] 棱长是的正方体AC1内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切。求证：两个球半径之和为常数。
解：如图所示，根据正方体、球均为中心对称图形可知，两球球心O1、O2均在正方体的体对角线AC1上，并且一球与上底面对角线相切，另一球与下底面对角线相切，以此作出其对角面图
设O1、O2半径分别为、，过O1、O2分别作，
则为
∵ ∴
即 ∴ （常数）
[例5] 如图，球心O到截面BCD所在圆心O1的距离为球的半径的一半，BC是截面圆的直径，D为圆周上一点，CA是球O的直径。
（1）求证：平面ABD⊥平面BDC；
（2）如果球的半径为R，D分为两部分，求AC与BD所成角。
解：（1）设球心为O，小圆BCD的圆心为O1
由题知 ∵ AC是球的直径 ∴ AB⊥BC
又 ∵ AB//OO1 ∴ AB⊥面BCD 而AB面ABD ∴ 面ABD⊥面BDC
（2）由D分为两部分，知
延长DO1交圆O1于H，则CH//BD，故为AC与BD所成的角，易证CH⊥平面ABH，故CH⊥AH
∴ AC与BD所成的角为
[例6] 在一个轴截面是正三角形（顶角开口向上）的圆锥形容器中注入高为h的水，然后将一个铁球放入这个圆锥形容器中，若水面恰好和球面相切，求这个铁球的半径。
解：如图，作出圆锥容器的轴截面，为等边三角形
∵ SG=，DG ∴
设铁球的半径为R，则SO=2R，SF=3R
在中，
依题意有，即
∴
答：所求铁球半径等于
[例7] 如图所示，四棱锥A—BCDE中，AD⊥底面BCDE，AC⊥BC，AE⊥BE。
（1）求证：ABCDE五点都在以AB为直径的同一球面上；
（2）若，，AD=1，求B、D两点间的球面距离。
解：（1）∵ AD⊥底面BCDE ∴ AD⊥BC，AD⊥BE
又 ∵ AC⊥BC，AE⊥BE ∴ BC⊥CD，BE⊥ED
∴ B、C、D、E四点共圆，即BD为圆的直径
取AB的中点M，BD的中点N，连结MN，则MN//AD
∴ MN⊥底面BCDE，即M的射影是圆的圆心N
∴ AM=BM=CM=DM=EM 五点共球体，且直径为AB
（2）若，则底面四边形BCDE是一个矩形，连结DM
∵ ∴
∴ BM=1，
∴ B、D两点间的球面距离是
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为（ ）
A. B. C. 2 D.
2. 如图，A、B、C是表面积为的球面上三点，AB=2，BC=4，，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（ ）
A. B. C. D.
3. 把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线AD与BC的夹角为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
4. 已知体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，一个由三根细铁杆PA、PB、PC组成的支架，三根杆的两两夹角都是60°，一个半径为1的球放在支架上，则球心到点P的距离是（ ）
A. B. C. 2 D.
6. 已知球的表面积为，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2，，则球心到平面ABC的距离为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
7. 地球半径为R，在北纬30°圈上有两点A、B，A点的经度为东经120°，B点的经度为西经，则A、B两点的球面距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形是（ ）
A.（1）（3） B.（2）（4） C.（1）（2）（3） D.（2）（3）（4）
二. 解答题：
1. 如图所示，AB是球O的直径，C、D是球面上两点，且都在以BC为直径的小圆上，设小圆所在的平面为
（1）求证：平面ABC⊥；
（2）设D为的中点，AD与平面所成的角为，过球的半径OD且垂直于平面的截面截BC弦于点E，求与过OD的截面圆的面积之比。
2. 在棱长为2R的正方体容器内装满水，先把半径为R的球放入水中，然后再放入一球，使它淹没在水中，且使溢出的水最多，问这个球的半径应是多少？并计算放入两球后溢出的水量与容器容量之比。
3. 上海靠近北纬30°、东经120°的A点，洛杉矶靠近北纬30°、西经120°的B点，如果以美国新研制的3倍音速的飞机，那么从洛杉矶起飞到达上海需要多长时间？
（，音速为340m/s，地球半径取R=6378km）。
【试题答案】
一.
1. B
解析：设球心为O，由题设知三棱锥O—ABC是正四面体，且的外接圆半径是2，设球半径为R，则，∴
2. D
解析：易得该球的半径是，在截面圆上AB=2，BC=4，，得
，则截面圆的圆心是BC的中点O1，截面圆半径是2，由球的知识知OO1⊥截面ABC
所以是直线OA与截面ABC所成的角
在中，
所以
故直线OA与截面ABC所成的角是
3. C
解析：如图，面ADC折起到面的位置，显然面ABC⊥面时，体积最大，O是AC中点，连结OD、、
∵ 面ABC⊥面 ∴ 又
∴ 在中，
∴ ，即为等边三角形
又 AD//BC ∴ 与AD所成的角即为与BC所成的角，即，故选C。
4. C
解析：∵ ，
∴ ，得
5. A
解析：如图所示，O为球心，O1为过切点E、F的截面小圆的圆心，为正三角形
设EP= ∴ 由射影定理知
∴ ∴ 球心到点P的距离为
6. A
解析：如图，设球的球心是O，由于O到A、B、C的距离都是球的半径R
∴ O在平面ABC内的射影是的外心
在中，由余弦定理得
∴
设外接圆半径为，则由正弦定理得=，即
∵ ∴
∴ 球心O到平面ABC的距离
7. D
解析：∵ 点A、B都在北纬圈上，A点的经度为东经，B点的经度为西经
∴ A、B两点的连线是纬线圈的直径，过B作BE⊥赤道平面于E，则
∵ OO1⊥赤道平面 ∴ ∴
∴ 过点A1B的球大圆劣弧长
8. C
解析：当截面平行于正方体的一条侧棱时，得（1）或（3），当截面过正方体的对角线时，得（2），无论如何都不能截出（4）。
二.
1. 解：（1）取BC的中点，连OO1 ∵ O1是以BC为直径的圆的圆心
则⊙O1 即底面BCD 又 ∵ 面ABC
∴ 面ABC⊥面BCD，即面ABC⊥
（2）D为的中点，则DO1⊥BC，过OD且垂直于平面的截面截BC弦于E，E即是
∴ ∵ AC⊥DE ∴ AC⊥面BCD，
设BC，则，
∴
∴
2. 解：设半径为R的球的球心为O，后一球的球心为，作出正方形的对角线，如图所示的矩形中，O点必在对角线中点处，欲使第二个球放入后溢出的水最多，则球心也在上，作于Q，O1P⊥AC于P，设两球外切于E，则
∴ 由
∴ ∴
又 ∴
此时所求比为
3. 解析：设地球半径为，所对球心角为，纬度圈的半径为，
则，
∴ ∴ A、B两点的球面距离为
取，飞机沿球面距离航线飞行，飞行时间为
答：从洛杉矶到上海只需8小时51分钟。
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