直线、平面、简单几何体

 

【模拟试题】

第I卷（选择题  共60分）

一. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. （青岛统测）已知直线

与平面

满足

，

，

，那么必有（    ）

A.

且

                    B.

且

C.

且

                    D.

且

2. （知识原创题）若A、B、C、D四点满足AB⊥CD、AC⊥BD、AD⊥BC，则这四点的位置关系是（    ）

A. 一定共面                              B. 一定不共面

C. 不一定共面                          D. 不存在

3. （郑州二次质量预测）正四棱锥P—ABCD的所有棱长都相等，E为PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值等于（    ）

A.

            B.

         C.

         D.

4. （知识交汇题）已知相交直线

都在平面

内，并且都不在平面

内，若

中至少有一条与

相交；

与

相交，则p是q的（    ）

A. 充分不必要条件                   B. 必要不充分条件

C. 充要条件                              D. 不充分也不必要条件

5. （热点创新题）若正三棱锥的侧面都是直角三角形，那么侧面与底面所成的角的余弦值是（    ）

A.

         B.

          C.

            D.

6. （北京西城抽测）球O的截面把垂直于截面的直径分成1：3两部分，若截面圆半径为

，则球O的体积为（    ）

A.

        B.

        C.

        D.

7. （济南统测）如图，正方体ABCD—

中，E、F分别是AB、

的中点，则异面直线

与EF所成角的余弦值为（    ）

A.

         B.

         C.

            D.

8. （南京模拟）四棱锥P—ABCD，AD⊥面PAB，BC⊥面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，

，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（    ）

A. 圆            B. 不完整的圆             C. 抛物线             D. 抛物线的一部分

9. （知识创新题）把一副三角板ABC与ABD摆成如下图所示的直二面角D—AB—C，则异面直线DC与AB所成的角为（    ）

A.

          B.

           C.

           D.

10. （易错警醒题）已知正四棱锥的侧棱与底面成

角，则此四棱锥的两个相邻侧面所成的二面角的余弦值是（    ）

A.

            B.

         C.

            D.

11. （苏锡常镇调查一）设

为两条直线，

为两个平面，给出下列四个命题，其中，正确命题的个数是（    ）

① 若

，则

② 若

，则

③ 若

，则

④ 若

，则

A. 0个           B. 1个           C. 2个           D. 3个

12. （知识原创题）若

，

，如果

与

为共线向量，则（    ）

A.

                   B.

C.

             D.

 

第II卷（非选择题  共90分）

二. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。）

13. （基本概念题）设

，

，

，且点B的坐标为

，则点A的坐标为       。

14. （知识创新题）

是用“斜二测画法”画出的等腰直角三角形ABC的直观图，设

的面积为

，

的面积为S，则

       。

15. （条件开放题）以正方体

的8个顶点中4个为顶点，且4个面均为直角三角形的四面体是      （只要写出一个四面体即可）。

16. （真题·辽宁卷）如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是        。

 

三. 解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17. （本小题满分12分）

（湖北八校二次联考）如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD//AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F为CD中点。

（1）求证：EF⊥面BCD；

（2）求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值。

18. （本小题满分12分）

（成都二诊）如图，已知四棱锥S—ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一点。

（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；

（2）设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；

（3）当

的值为多少时，二面角B—SC—D的大小为

。

19. （本小题满分12分）

（高考变式题）如下图，已知

是直三棱柱，D是AC的中点，O是

的中点，E在

上，且

，AC=BC=CE=2，

，

。

（1）证明：截面BDE//AO；

（2）求三棱锥

的体积。

20. （本小题满分12分）

（思维拓展题）

图（1）是一个正方形的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线。请在图（2）的正方体中将MN、PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题。

（1）求MN与PQ所成角的大小；

（2）求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比；

（3）求二面角M—NQ—P的大小。

  21. （本小题满分12分）

（经典常考题）如下图，在正方体

中，E、F分别是

、

的中点。

（1）求异面直线

与

所成角的余弦值；

（2）设P为

的中点，问：在

上是否存在一点Q使得

，若存在指出Q点的位置，若不存在说明理由。

  22. （本小题满分14分）

（知识原创题）已知直棱柱

，底面四边形ABCD是直角梯形，上底边长AD=6，直角边所在的腰AB=2，BC=2，

，G是CD的中点，E是

的中点，F在AD上，且

。

（1）求异面直线EF与

所成的角

；

（2）求直线EF和平面

所成的角

；

（3）求二面角

的大小。

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

一.

1. A

解析：由已知

，

，可得

，又

，得

，故得答案A。

2. C

解析：点A可以是

的垂心，也可以是

平面外的一点，使得三棱锥A—BCD的三条侧棱两两垂直，即此四点的位置关系是不一定共面，应选C。

3. D

解析：设O为底面正方形的中心，连结EO，有EO//PA，则

是异面直线BE与PA所成的角。设正四棱锥P—ABCD的棱长为2，则在

中，

，

，

，故选D。

4. C

解析：本题将直线，平面知识与简易逻辑知识相结合，体现了在知识交汇处命题的高考趋势，从p出发能推到q，从q出发也能推出p，所以p是q的充分必要条件，故选C。

5. D

解析：如图，V—ABC是正三棱锥，所以顶点V在底面的射影O点为正三角形的中心，即O在AM上，M为BC的中点，连结VM，则

为侧面与底面所成的角，设

，

，又

为等腰直角三角形，

 

∴

   故选D

6. C

解析：设直径被分成的两部分分别为

，易知

，得

，则球O的半径R=2，故

。

7. B

解析：建立如图坐标系，设正方体的边长为2，则

，E（2，1，0），F（0，2，1），C（0，2，0），

，

，

则

所以异面直线

与EF所成角的余弦值为

，故选B。

8. B

解析：由AD⊥面PAB及BC⊥面PAB，可得AD//BC，

，又

，及AD=4，BC=8，可得

，即得

，在平面PAB内以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立直角坐标系，则

，B（3，0），设点P的坐标为

，则有

，整理可得一个圆方程，由于点P不在直线AB上，故此轨迹为一个不完整的圆，故应选B。

9. B

解析：过点C作CE//AB，过点A作AF⊥CE于点F，连结DF，设AD=1，则

，

，在

中，

，

，故选B。

10. D

解析：如图，正四棱锥S—ABCD，作BH⊥SC于H，连结HD，则

为所求二面角的平面角，设底面边长为1，则

，

，在

中，由余弦定理得

，故选择D。

易错点是错误理解“此四棱锥的两个相邻侧面所成的二面角”而错选A。

11. B

解析：① 由

，

，

，

可得

或

或

相交，相交时只需

都与交线平行；② 线线平行的判定；③ 必须

；④ 由

，

要得到

，必须有

垂直于

与

的交线，故选B。

12. C

解析：若

与

共线，则有

∴

，故应选C。

 

二.

13.

解析：

∴ 点A的坐标为

14.

解析：设原等腰直角三角形的底边长为

，高为

，则利用斜二测画法画成的三角形底边长不变，高为

   ∴

15.

解析：如图，侧棱

与上下两个底面垂直，则与底面内的任一直线垂直，连结AC，则

，同理

。

16.

解析：由等体积法求解，设点M到平面ABCD的距离为x，

       

∴

 

三.

17. （1）取BC中点G，连结FG、AG

∵ AE⊥面ABC，BD//AE    ∴ BD⊥面ABC

又AG

面ABC    ∴ BD⊥AG  

又AC=AB，G是BC中点    ∴ AG⊥BC

∴ AG⊥平面BCD

∵ F是CD的中点且BD=2    ∴ FG//BD且FG

=1

∴ FG//AE

又AE=1   ∴ AE=FG，故四边形AEFG是平行四边形，从而EF//AG

∴ EF⊥面BCD

（2）取AB的中点H，则H为C在面ABDE上的射影，过C作CK⊥DE于K，连结KH，由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE

∴

为二面角C—DE—B的平面角

易知

，

，

，

由

可得

，

中，

，故

∴ 面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值为

18. （1）∵ SA⊥底面ABCD，

底面ABCD   ∴ SA⊥BD

∵ ABCD是正方形   ∴ AC⊥BD

∴ BD⊥平面SAC    又BD

平面EBD

∴ 平面EBD⊥平面SAC

（2）设

，连结SO，则SO⊥BD

由AB=2，知

，

∴

∴

令点A到平面SBD的距离为h，由SA⊥平面ABCD

则

    ∴

∴ 点A到平面SBD的距离为

（3）设SA=

，建立如图所示空间直角坐标系，为计算方便，不妨设AB=1，则C（1，1，0），S（0，0，

），B（1，0，0），D（0，1，0）

∴

，

，

再设平面SBC和平面SCD的法向量分别为

，

，则

∴

，取

，则

   ∴ 可得

又

∴

，取

，则

∴ 可取

    ∴

要使得二面角

的大小为

，则

，从而

，即当

时，二面角B—SC—D的大小为

19. （1）设G为

的中点，连结DF、OG，则

，

∴ OG//BE   易知F为OC中点，又D为AC中点   ∴ AO//DF

又∵

面BDE    ∴ AO//截面BDE

（2）∵

是直三棱柱，

   ∴ BC⊥侧面

∴ 侧面

⊥侧面

设O到侧面

的距离为h，则h等于O到侧面

的距离

又∵ O为

的中点

∴

   

故

20. （1）连结MC、NC，可得PQ//NC，则

就是异面直线MN与PQ所成的角

∵

是等边三角形   ∴

则MN与PQ所成的角等于

（2）不失一般性，设正方体的棱长为1，则

（立方单位）

∵

（立方单位）

∴

（3）∵ PN⊥平面AQMP    ∴ 平面MPQ⊥平面NPQ

作MO⊥PQ于O，ME⊥NQ于E，连结OE，并设正方体的棱长为1，则MO⊥平面NPQ

∵ OE是ME在平面NPQ内的射影

∴ OE⊥NQ

则

是二面角M—NQ—P的平面角

由

～

，得

   ∴

∵

  MO⊥OE   ∴

∴

则二面角M—NQ—P的大小为

  21. （1）以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，

为z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为

，则A（

，0，0），

，

，

∴

，

∴

∴ 异面直线

与

所成角的余弦值为

（2）假设存在点

使得

∴

，

，

∴

，

，

，则

∴ 存在点

，且

时，

22. 以A为原点，分别为

所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C（2，2，0），D（0，6，0），G（1，4，0），

，F（0，2，0），E（2，2，2）

（1）

，

∴

即

与

所成的角为

所以异面直线EF与

所成的角

为

（2）取

，连结

，则H（0，2，4），

∵

平面

    ∴

是EF在平面

上的射影

∵

    ∴

∴ 直线EF与平面

所成的角

为

（3）过E作EP⊥FG于P，过

作

于Q

∵ P、Q在

平面内，且在直线FG上，在

平面内FG的方程为

故可设P、Q点坐标为

，

则

，

，

∵

    ∴

    ∴

又∵

   ∴

   ∴

∴

，

∴

∴ 二面角E—FG—D₁的大小为