圆锥曲线的综合问题

 

二. 教学目标：

（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程．（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．（4）了解圆锥曲线的初步应用．

 

三. 知识要点：

解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识．反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质．学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的．

具体来说，有以下三方面：

（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法．有时题设设计得非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口．

（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识．

（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题

在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号．

 

【典型例题】

例1. 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和

m万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为

和

，求该彗星与地球的最近距离．

分析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解．同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考．仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a－c，这样就把问题转化为求a，c或a－c．

解：建立如上图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（－c，0）处，椭圆的方程为

+

=1，

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为

时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足∠xFA=

（或∠xFA′=

）．

作AB⊥Ox于B，则｜FB｜=

｜FA｜=

m，

故由椭圆的第二定义可得

m=

（

－c）①       且

m=

（

－c+

m）②

两式相减得

m=

·

m，∴a=2c．

代入①，得m=

（4c－c）=

c，

∴c=

m．∴a－c=c=

m．

答：彗星与地球的最近距离为

m万千米

点评：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a－c，另一个是a+c．

（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想．另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质．

 

例2. 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图所示）．已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工．

分析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP、BP到P同样远．

显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点

则有｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜．

于是｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=150－100=50．

从而发现第三类点M满足性质：点M到点A与点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程．

解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy，设M（x，y）是沿AP、BP运土同样远的点，则

｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜，

∴｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=50．

在△PAB中，由余弦定理得

｜AB｜²=｜PA｜²+｜PB｜²－2｜PA｜｜PB｜cos60°=17500，

且50＜｜AB｜．

由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上，

设此双曲线方程为

－

=1（a＞0，b＞0）．

∵2a=50，4c²=17500，c²=a²+b²，

解之得a²=625，b²=3750

∴M点轨迹是

－

=1（x≥25）在半圆内的一段双曲线弧．

于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．

点评：（1）本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的集合性质，构造圆锥曲线模型（即分界线）从而确定出最优化区域．

（2）应用分类思想解题的一般步骤：①确定分类的对象；②进行合理的分类；③逐类逐级讨论；④归纳各类结果．

 

例3. 根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m，宽1.6 m

现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m的距离行驶

已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车安全通过的a的最小整数值．

分析：根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4 m到2 m间的道路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2 m（即在横断面上距拱口中点2 m）处隧道的高度是否够3 m，据此可通过建立坐标系，确定出抛物线的方程后求得．

解：如图，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系，

由题意可得抛物线的方程为x²=－2p（y－

），

∵点A（－

，0）在抛物线上，

∴（－

）²=－2p（0－

），得p=

．

∴抛物线方程为x²=－a（y－

）．

取x=1.6+0.4=2，代入抛物线方程，得

2²=－a（y－

），y=

．

由题意，令y＞3，得

＞3，

∵a＞0，∴a²－12a－16＞0．

∴a＞6+2

．

又∵a∈Z，∴a应取14，15，16，……．

答：满足本题条件使卡车安全通过的a的最小正整数为14 m．

点评：本题的解题过程可归纳为两步：一是根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2 m处y的值；二是由y＞3通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的．

 

例4. 如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a>0，b≠0），且交抛物线y²=2px（p>0）于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．

（1）写出直线l的截距式方程；

（2）证明：

+

=

；

（3）当a=2p时，求∠MON的大小．

分析：易知直线l的方程为

+

=1，欲证

+

=

，即求

的值，为此只需求直线l与抛物线y²=2px交点的纵坐标

由根与系数的关系易得y₁+y₂、y₁y₂的值，进而证得

+

=

．由

·

=0易得∠MON=90°

亦可由k_OM·k_ON=－1求得∠MON=90°．

（1）解：直线l的截距式方程为

+

=1．

（2）证明：由

+

=1及y²=2px消去x可得by²+2pay－2pab=0．   

点M、N的纵坐标为y₁、y₂，

故y₁+y₂=

，y₁y₂=－2pa．

所以

+

=

=

=

．

（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k₁、k₂，

则k₁=

，k₂=

．

当a=2p时，由（2）知，y₁y₂=－2pa=－4p²，

由y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，相乘得（y₁y₂）²=4p²x₁x₂，

x₁x₂=

=

=4p²，

因此k₁k₂=

=

=－1．

所以OM⊥ON，即∠MON=90°．

点评：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．

 

例5. 已知椭圆C的方程为

+

=1（a>b>0），双曲线

－

=1的两条渐近线为l₁、l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又l与l₂交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B．（如图）

（1）当l₁与l₂夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；

（2）当

=λ

时，求λ的最大值．

分析：（1）求椭圆方程即求a、b的值，由l₁与l₂的夹角为60°易得

=

，由双曲线的距离为4易得a²+b²=4，进而可求得a、b．

（2）由

=λ

，欲求λ的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l₁的交点，故需求l的方程

将l与l₂的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标

将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值．

解：（1）∵双曲线的渐近线为y=±

x，两渐近线夹角为60°，

又

<1，∴∠POx=30°，即

=tan30°=

∴a=

b．

又a²+b²=4，∴a²=3，b²=1．

故椭圆C的方程为

+y²=1．

（2）由已知l：y=

（x－c），与y=

x解得P（

，

），

由

=λ

得A（

，

）．

将A点坐标代入椭圆方程得

（c²+λa²）²+λ²a⁴=（1+λ）²a²c²．

∴（e²+λ）²+λ²=e²（1+λ）²

∴λ²=

=－［（2－e²）+

］+3≤3－2

．

∴λ的最大值为

－1．

点评：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用

解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想

本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题．

 

例6. 如图，矩形ABCD中，

，以AB边所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系，P是x轴上方一点，使PC、PD与线段AB分别交于

、

两点，且

成等比数列，求动点P的轨迹方程，

解：显然有

，

设

，

三点共线，

，      

，又

三点共线，

，

，

，

，

，

化简得动点P的轨迹方程为

．

小结：

在知识的交汇点处命题，是高考命题的趋势，而解析几何与函数、三角、数列、向量等知识的密切联系，正是高考命题的热点，为此在学习时应抓住以下几点：

1、客观题求解时应注意画图，抓住涉及到的一些元素的几何意义，用数形结合法去分析解决．

2、四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一．

3、注意用好以下数学思想、方法：

①方程思想；②函数思想；③对称思想；④参数思想；⑤转化思想；⑥分类思想

 

【模拟试题】

1、一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2 m时，水面宽4 m，若水面下降1 m时，则水面宽为

A、

m           B、2

m           C、4.5 m            D、9 m

2、某抛物线形拱桥的跨度是20 m，拱高是4 m，在建桥时每隔4 m需用一支柱支撑，其中最长的支柱是

A、4 m             B、3.84 m           C、1.48 m            D、2.92 m

3、天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是

A、椭圆                   B、圆                        C、双曲线的一支     D、抛物线

4、1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星”系统通信卫星．卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km，远地点为n km，地球的半径为R km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于

A、2

       B、

         C、2mn       D、mn

5、如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线对称轴1 m，则在水池直径的下列可选值中，最合算的是

A、2.5 m                    B、4 m               C、5 m                        D、6 m

6、探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是____ cm．

7、在相距1400 m的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差3 s，已知声速340 m/s

炮弹爆炸点所在曲线的方程为________________．

8、一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x²=2y（0≤y≤20）

在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为________．

9、河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面的部分高

m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距____________m时，小船不能通航．

10、双曲线9x²－16y²=1的焦距是____________．

11、若直线mx+ny－3=0与圆x²+y²=3没有公共点，则m、n满足的关系式为_____；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆

+

=1的公共点有_________个．

12、设P₁（

，

）、P₂（－

，－

），M是双曲线y=

上位于第一象限的点，对于命题①|MP₂|－|MP₁|=2

；②以线段MP₁为直径的圆与圆x²+y²=2相切；③存在常数b，使得M到直线y=－x+b的距离等于

|MP₁|

其中所有正确命题的序号是____________．

 

【试题答案】

1、解析：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x²=－2py（p>0），由题意知，抛物线过点（2，－2），

∴4=2p×2

∴p=1．∴x²=－2y．

当y₀=－3时，得x₀²=6．

∴水面宽为2|x₀|=2

．

答案：B

2、解析：建立适当坐标系，设抛物线方程为x²=－2py（p>0），由题意知其过定点（10，－4），代入x²=－2py，得p=

．

∴x²=－25y

当x₀=2时，y₀=

，∴最长支柱长为4－|y₀|=4－

=3.84（m）．

答案：B

3、解析：设旗杆高为m，华表高为n，m＞n

旗杆与华表的距离为2a，以旗杆与地面的交点和华表与地面的交点的连线段所在直线为x轴、垂直平分线为y轴建立直角坐标系

设曲线上任一点M（x，y），由题意

=

，即（m²－n²）x²+（m²－n²）y²－2a（m²－n²）x+（m²－n²）a²=0．

答案：B

4、解析：由题意

－c=m+R，① 

+c=n+R， ②

∴c=

，2b=2

=2

．

答案：A

5、解析：以O为原点，OP所在直线为y轴建立直角坐标系（如下图），则抛物线方程可设为

y=a（x－1）²+2，P点坐标为（0，1），

∴1=a+2

∴a=－1．

∴y=－（x－1）²+2．

令y=0，得（x－1）²=2，∴x=1±

．

∴水池半径OM=

+1≈2.414（m）．

因此水池直径约为2×|OM|=4.828（m）．

答案：C

6、解析：设抛物线方程为y²=2px（p>0），点（40，30）在抛物线y²=2px上，

∴900=2p×40． ∴p=

．∴

=

．

因此，光源到反射镜顶点的距离为

cm．答案：

7、解析：设M（x，y）为曲线上任一点，

则|MA|－|MB|=340×3=1020<1400．

∴M点轨迹为双曲线，且a=

=510，

c=

=700．

∴b²=c²－a²=（c+a）（c－a）=1210×190．

∴M点轨迹方程为

－

=1．

答案：

－

=1

8、解析：玻璃球的轴截面的方程为x²+（y－r）²=r²

由x²=2y，x²+（y－r）²=r²，得y²+2（1－r）y=0，由Δ=4（1－r）²=0，得r=1

答案：0＜r≤1

9、解析：建立直角坐标系，设抛物线方程为x²=－2py（p>0）．

将点（4，－5）代入求得p=

．

∴x²=－

y．

将点（2，y₁）代入方程求得y₁=－

．

∴

+|y₁|=

+

=2（m）．

答案：2

10、答案：

．

解析：将双曲线方程化为标准方程得

－

=1．

∴a²=

，b²=

，c²=a²+b²=

+

=

． ∴c=

，2c=

．

11、答案：0<m²+n²<3 ，2．

解析：将直线mx+ny－3=0变形代入圆方程x²+y²=3，消去x，得（m²+n²）y²－6ny+9－3m²=0．

令Δ<0得m²+n²<3．又m、n不同时为零，∴0<m²+n²<3．

由0<m²+n²<3，可知|n|<

，|m|<

，再由椭圆方程a=

，b=

可知公共点有2个．

12、答案：①②③．

解析：由双曲线定义可知①正确，②画图由题意可知正确，③由距离公式及|MP₁|可知正确．