立体几何复习：空间向量与立体几何

 

二. 教学目的

1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；

2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法

 

三. 考点分析

本讲的主要内容有：空间向量及其运算和空间向量的应用两部分．

1、空间向量及其运算

    重点：向量的线性运算和数量积运算及其应用。

难点：空间向量的共线条件、共面条件和空间向量的分解定理。理解了这些定理就能很好地掌握向量的各种知识及其关系．

    （1）空间向量的线性运算

    重点：空间向量的运算和运算律

难点：应用向量解决立体几何中的问题．平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间内的平移，空间任意两个向量都是共面向量，因此空间向量加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似．

  （2）空间向量基本定理

   重点：空间向量共线和共面的条件，空间向量分解定理．

   难点：对这些定理条件的理解与运用、空间向量分解定理的作图

  （3）两个向量的数量积

   重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．

难点：两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题．

   由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．

  （4）空间向量的直角坐标运算

   重点：向量的坐标运算、夹角公式、距离公式、空间向量平行和垂直的条件．

难点：向量坐标的确定、公式的应用．

2、空间向量的应用

   重点：直线的方向向量与直线的向量方程；平面的法向量与平面的向量表示；直线与平面的夹角；二面角及其度量；距离．

   难点：利用平面的法向量求直线与平面的夹角以及二面角、点到平面的距离．

  （1）直线的方向向量与直线的向量方程

   重点：直线的方向向量，平行关系的论证，用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角．

   难点：直线的方向向量，平面α的共面向量的选取及其表示．

  （2）直线与平面的夹角

   重点：斜线和平面所成的角（或夹角）的求法．

   难点：斜线与平面所成的角的求解，公式

的灵活运用．

 

四. 知识梳理

【基本概念】

1、共线向量定理：对于空间任意两个向量（

），

的充要条件是存在实数

，使

．

推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量

的直线，那么对于任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数

，满足等式

，其中向量

叫做直线l的方向向量．

    在l上取

，则

或

．

    O是空间任一点，A、B、C三点共线的充要条件是

，其中x + y = 1．

    特别地，当

时，P为AB的中点，

称为线段AB的中点公式．

2、共面向量定理：如果两个向量

不共线，则向量

与向量

共面的充要条件是存在实数对x、y，使

。   

推论：空间一点位于平面MBA内的充分必要条件是存在有序实数对（x，y），使

．

    对于空间任一定点O，有

．对于空间任一定点O，P、M、A、B四点共面的充分必要条件是

，其中

。

3、如果三个向量

不共面，那么对于空间任一向量

，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使

，其中{

}叫做空间的一个基底，

都叫做基向量。

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组

，使

。

4、空间向量的数量积：

空间向量的数量积的性质：

①

                 ②

③

                          ④

空间向量的数量积的运算律：

①

（结合律）      ②

（交换律）

③

（分配律）

5、向量的直角坐标运算

设

，则

设

，则

   

 

【基本方法】

1、平面法向量的求法

    设

与平面

的一个法向量，其坐标为

，利用

与平面

内的两个不共线向量

垂直，其数量积为0列出两个关于

的三元一次方程组，取这个方程组的一组非零解即得平面

的一个法向量

。

2、线面角的求法

设

是平面

的一个法向量，

是平面

的斜线l的一个方向向量，则直线

与平面

所成角为arc

3、二面角的求法

① AB、CD分别是二面角

的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为

；

② 设

分别是二面角

的两个面的法向量，则

，这就是二面角

（或其补角）的大小。

 

4、点、面距离的求法

设

是平面

的法向量，AB是平面

的斜线段，则点B到平面

的距离

。

 

【典型例题】

  例1. 如图所示，在平行六面体

中，设

，M、N、P分别是

、BC、

的中点，试用a、b、c表示以下各向量：

（1）

；（2）

；（3）

。

分析：根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可。

解析：（1）∵P是

的中点，

∴

    

（2）∵N是BC的中点，

∴

（3）∵M是

的中点，

∴

又

∴

。

点评：用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则，在立体几何中要灵活应用三角形法则；向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．

 

【共线、共面向量问题】

  例2. 已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否一定与A、B、C共面？

（1）

；

（2）

分析：先化简已知等式，观察它能否转化为四点共面的充要条件。

解析：（1）原式变形为

∴由共面向量定理的推论知P与A、B、C共面。

（2）原式变形为

∴P与A、B、C三点不共面。

点评：点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明P、A、B、C四点共面，只要能证明

，或对空间任一点O，有

或

即可，以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的必要条件。

 

【空间向量基本定理】

  例3. 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分

成定比2，N分PD成定比1，求满足

的实数x、y、z的值。

分析：结合图形，从向量

出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用

、

、

表示出来，即可求出x、y、z的值。

解法1：如图所示，取PC的中点E，连接NE，则

。

∵

，

连接AC，则

解法2：如图所示，在PD上取一点F，使F分

所成比为2，连接MF，则

，

而

∴

∴

解法3：

          

          

∴

点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组

可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。

 

【空间向量数量积】

  例4. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角（见下图）。求B、D间的距离。

解析：∵∠ACD=90°，∴

同理

    ∵AB和CD成60°角，

    ∴

60°或120°

   

         

         

         

    ∴

，即B、D间的距离为2或

点评：用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点距离或线段长度以及证明线线垂直，线面垂直等典型问题。   

（1）求向量

和

所成的角，首先应选择合适的基底，将目标向量

和

用该组基底表示出来，再求其自身的数量积及长度．最后利用公式

。

（2）由于线段的长度是实数，实数与向量之间如何转化，是思维中的常见障碍，在向量性质中

提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题。

 

【利用空间向量证明平行、垂直问题】

  例5. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。

（1）证明：PA//平面EDB；

（2）证明：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设DC=a。

（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG。

依题意得

。

∵底面ABCD是正方形。

∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为

，

∴

则

而

，

∴PA//平面EDB。

（2）依题意得B（a，a，0），

又

，

故

∴PB⊥DE

由已知EF⊥PB，且

，

所以PB⊥平面EFD。

（3）解析：设点F的坐标为

，

则

从而

所以

由条件EF⊥PB知，

，即

，解得

∴点F的坐标为

，且

∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。

∵

，且

∴

∴∠EFD=60°

所以，二面角C—PB—D的大小为60°。

点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．

    （2）证明线面平行的方法：

    ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

    ②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；

    ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．

    （3）证明面面平行的方法：

    ①转化为线线平行、线面平行处理；

    ②证明这两个平面的法向量是共线向量．

    （4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．

    （5）证明线面垂直的方法：

    ①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；

    ②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．

    （6）证明面面垂直的方法：

    ①转化为线线垂直、线面垂直处理；

    ②证明两个平面的法向量互相垂直．

 

【用空间向量求空间角】

  例6. 正方形ABCD—

中，E、F分别是

，

的中点，求：

（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；

（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

解析：不妨设正方体棱长为2，分别以DA，DC，DD₁所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则

A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2）

（1）由

，得

又

，

∴

，即所求值为

。

（2）∵

∴

∴

，过C作CM⊥AE于M，

则二面角C—AE—F的大小等于

，

∵M在AE上，

∴设

则

，

∵

∴

又

∴

∴二面角C—AE—F的余弦值的大小为

点评：（1）两条异面直线所成的角

可以借助这两条直线的方向向量的夹角

求得，即

。

（2）直线与平面所成的角

主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角

求得，即

或

（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。

 

【用空间向量求距离】

  例7. 长方体ABCD—

中，AB=4，AD=6，

，M是A₁C₁的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD₁的中点，求：

（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；

（2）M到直线PQ的距离；

（3）M到平面AB₁P的距离。

解析：（1）方法一：

如图，建立空间直角坐标系B—xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），

∴

，

故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为

方法二：

，

∴

故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为

（2）∵

，

∴

上的射影的模

故M到PQ的距离为

（3）设

是平面

的某一法向量，则

，

∵

∴

因此可取

，由于

，

那么点M到平面

的距离为

，

故M到平面

的距离为

。

点评：本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法，供大家参考。

（1）平面的法向量的求法：设

，利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解。

（2）线面角的求法：设n是平面

的法向量，

是直线l的方向向量，则直线l与平面

所成角的正弦值为

。

（3）二面角的求法：①AB，CD分别是二面角

的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为

。

②设

分别是二面角

的两个平面

的法向量，则

就是二面角的平面角或其补角。

（4）异面直线间距离的求法：

是两条异面直线，n是

的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是

上的任意两点，则

。

（5）点面距离的求法：设n是平面

的法向量，AB是平面

的一条斜线，则点B到平面

的距离为

。

（6）线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。

 

【模拟试题】

  1. 在平行六面体ABCD—

中，设

，则x+y+z=（    ）

A.

                  B.

                    C.

                   D.

  2. 如图，长方体ABCD—

中，AC与BD的交点为M，设

，则下列向量中与

相等的向量是（    ）

A.

                            B.

C.

                               D.

  3. 在正方体ABCD—

中，M是棱DD₁的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A₁B₁上任意一点，则异面直线OP与AM所成角的大小为（    ）

A.

                          B.

                          C.

                   D. 与P点位置无关

  4. 如图，正方体ABCD—

中，E、F分别是AB、CC₁的中点，则异面直线A₁C与EF所成角的余弦值为（    ）

A.

                        B.

                        C.

                   D.

  5. 正方体ABCD—

中，点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，并保持AP⊥BD₁，则动点P的轨迹是（    ）

A. 线段

B. 过

和C两点的抛物线的一部分

C. BC中点与CC₁中点连成的线段

D. BC中点与B₁C₁中点连成的线段

  6. 如图，在正方体ABCD—

中，棱长为a，M、N分别为A₁B和AC上的点，A₁M=AN=

，则MN与平面

的位置关系是（    ）

A. 相交                B. 平行                C. 垂直                D. 不能确定

  7. 已知矩形ABCD，PA⊥面ABCD，M、N分别是AB，PC的中点，平面PDC和面ABCD所成的角为

，则当

__________时，MN是AB和PC的公垂线段。

  8. 已知A、B、C三点不共线，O为平面ABC外一点。若由向量

确定的点P与A、B、C共面，则

____________。

  9. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，给出下列四个结论：

①AC⊥BD；②AB、CD所成角为60°；③△ADC为等边三角形；④AB与平面BCD所成角为60°。

其中真命题是____________（请将你认为是真命题的序号都填上）。

  10. 如图所示，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE。

（1）求证：AE⊥平面BCE；

（2）求二面角B－AC－E的大小；

（3）求点D到平面ACE的距离。

  11. 如图所示，在五棱锥S—ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，BC=DE=

，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°。

（1）求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；

（2）证明：BC⊥平面SAB；

（3）用反三角函数值表示二面角B—SC—D的大小。

（本小问不必写出解答过程）

  12、如图1所示，正△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点。现将△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B（如图2所示）。

（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

（2）求二面角B—AC—D的大小；

（3）求点C到平面DEF的距离。

 

【试题答案】

1、A          2、A              3、C       4、B       5、A       6、B       7、45°

8、

       9、①②③ 

10、（1）略              （2）

                （3）

 

11、（1）

                     （2）略                       （3）

  

12、（1）AB // 平面DEF      （2）

     （3）