空间几何体

 

二、教学目标：

1、认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实世界中简单物体的结构，了解柱、锥、台、球的概念。

2、了解画立体图形三视图的原理，并能画出简单几何图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图。能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出立体图形的直观图。

3、掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的表面积及体积计算公式，能直观感知空间几何体的展开图的形状，并能初步运用于实际问题之中。

 

三、知识要点

（一）棱柱、棱锥、棱台

1、棱柱的性质：

棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．

2、棱锥的特点：底面是多边形，各侧面是有一个公共顶点的三角形。

3、棱台：

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台。

（1）侧面是梯形．

（2）两底是相似多边形．

 

（二）圆柱、圆锥、圆台

将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。这条线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置这条边都叫做母线。

 

圆柱的特点：

（1）两底互相平行且相等，平行底的截面是与底相等的圆．

（2）所有的母线都相等且平行，并与底垂直．

（3）通过轴的截面是以底为直径和母线为邻边的矩形（叫做圆柱的轴截面）．

圆锥的特点：

（1）所有母线都相等．

（2）通过轴的截面是以母线为腰、底圆直径为底的等腰三角形（叫做圆锥的轴截面）．

圆台的特点：

通过轴的截面是以上、下底直径为底、母线为腰的等腰梯形．

4、球　　

以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.

 

（三）重要概念：三视图

画物体的三视图时，要符合如下原则：

位置：正视图  侧视图

                  俯视图

大小：长对正，高平齐，宽相等

 

（四）斜二测画法

水平放置图形斜二测画法规则：

（1）在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴．画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°（或135°）．它们确定的平面表示水平平面．

（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．

（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．”

 

（五）表面积公式

1、S_直棱柱侧＝ch其中c为棱柱的底面周长，h为直棱柱的高。

2、S_正棱锥侧＝

ch′（其中c为棱锥底面周长，h’为侧面等腰三角形底边上的高－－斜高）

3、S_正棱台侧＝

（c + c′）h′

4、

5、

6、

 

（六）体积公式

 

【典型例题】

例1、选择题

（1）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（    ）

A、

        B、

        C、

            D、

（2）半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（   ）

A、

            B、

     C、

            D、

（3）一个棱柱是正四棱柱的条件是

A、底面是正方形，有两个侧面是矩形    

B、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 

D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱

（4）有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个

A、棱台  B、棱锥  C、棱柱  D、都不对

答案：（1）A  （2）A   （3）D  （4）A

 

 例2、填空题

（1）已知棱台的上下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为___________。

（2）一个棱柱至少有        个面，面数最少的一个棱锥有   个顶点，顶点最少的一个棱台有__________条侧棱。

（3）正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁ 中，Ｏ是上底面ＡＢＣＤ中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥Ｏ－ＡＢ₁Ｄ₁的体积为_____________。

（4）等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是

________

。

（5）图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成；图（2）中的三视图表示的实物为____________。

答案：（1）28    （2）5、4、3    （3）

    

（4）<    （5）4   圆锥

 

例3、已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长。

解：设圆台的母线长为

，则                         

圆台的上底面面积为

               

    圆台的下底面面积为

           

    所以圆台的底面面积为

           

    又圆台的侧面积

              

于是7πl=29π                                      

即

为所求                      

 

例4、一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积

与

的函数关系式，并求出函数的定义域。

解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为

.

     在Rt△EOF中，  

，                                    

所以

，                                 

于是

                              

依题意函数的定义域为

    

 

例5、已知两个几何体的三视图如下，试求它们的表面积和体积。单位：cm。

解：（1）图（1）中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱。直角梯形的上底为1，下底为2，高为1；棱柱的高为1。可求得直角梯形的四条边的长度为1，1，2，

。

所以此几何体的体积

（2）由图可知此正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为

，可求得底面边长为4。

所以

 

【模拟试题】

1、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（    ）

A、

      B、

     C、

       D、

2、长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是  

A、

           B、

         C、

        D、都不对

3、正方体的内切球和外接球的半径之比为（    ）

A、

  B、

    C、

D、

4、如图，在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若使其绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是

A、

          B、

        C、

              D、

5、如图，E、F分别为正方体的面

、面

的中心，则四边形

在该正方体的面上的射影可能是___________。

6、圆台的较小底面半径为1，母线长为2，一条母线和底面的一条半径有交点且成60度角，则圆台的侧面积为                。

7、

中，

，将三角形绕直角边

旋转一周所成的几何体的体积为_____________。

8、一个正四棱台形状的油槽，可以装油

，假如它的两底面边长分别等于

和

，求它的深度为多少

？

9、养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12m，高4m。养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐。现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）。

（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；

（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；

（3）哪个方案更经济些？

【试题答案】

1、D   2、B   3、D   4、D

5、②③    6、6

   7、

8、解：由题意有

∴

9、解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，则仓库的体积

如果按方案二，仓库的高变成8m，则仓库的体积

（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M，半径为8M.

棱锥的母线长为

则仓库的表面积

如果按方案二，仓库的高变成8M.

棱锥的母线长为

则仓库的表面积

（3）