立体几何的综合证明

 

二、本周教学目标：

1、掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理实现“线线”“线面”平行的转化．

2、掌握两个平面平行的判定定理及性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理实现“线面”“面面”平行的转化．

3、掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理．

4、通过例题的讲解给学生总结归纳证明线面垂直的常见方法：（1）证直线与平面内的两条相交直线都垂直；（2）证与该线平行的直线与已知平面垂直；（3）借用面面垂直的性质定理；（4）同一法；⑸向量法．

 

三、本周知识要点：

（一）线线、线面、面面平行的判定及性质

1、线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

推理模式：

．

2、线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．

推理模式：

．

3、平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．

推理模式：

，

，

，

，

．

4、平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．

推理模式：

．

5、平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

推理模式：

．

6、面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．

推理模式：

 

二、线线、线面、面面垂直的判定及性质

1、直线与平面垂直的判定定理：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

2、直线和平面垂直的性质定理：

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．

3、两平面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

推理模式：

，

．

4、两平面垂直的性质定理：

若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面．

推理模式：

．

5

向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：

    ①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行；

    ②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直．

补充：三垂线定理 

在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．

说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；

（2）推理模式：

 

【典型例题】

例1、如下图，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，侧面对角线AB₁、BC₁上分别有两点E、F，且B₁E=C₁F．求证：EF∥平面ABCD．

证法一：分别过E、F作EM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，连结MN．

∵BB₁⊥平面ABCD，

∴BB₁⊥AB，BB₁⊥BC．

∴EM∥BB₁，FN∥BB₁

∴EM∥FN．

又B₁E=C₁F，∴EM=FN．

故四边形MNFE是平行四边形．

∴EF∥MN

又MN在平面ABCD中，

∴EF∥平面ABCD．

证法二：过E作EG∥AB交BB₁于点G，连结GF，则

=

．

∵B₁E=C₁F，B₁A=C₁B，∴

=

．

∴FG∥B₁C₁∥BC

又∵EG∩FG=G，AB∩BC=B，

∴平面EFG∥平面ABCD

而EF在平面EFG中，

∴EF∥平面ABCD

点评：证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；证明直线所在的平面与已知平面平行．

 

例2、已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8．

（1）求证：直线MN∥平面PBC；

（2）求直线MN与平面ABCD所成的角的正弦值．

（1）证明：∵P—ABCD是正四棱锥，∴ABCD是正方形

连结AN并延长交BC于点E，连结PE．

∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND．

又∵BN∶ND=PM∶MA，

∴EN∶AN=PM∶MA．

∴MN∥PE

又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC

（2）解：由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角．

设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角．

由正棱锥的性质知PO=

=

．

由（1）知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8，

∴BE=

．

在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=

，

根据余弦定理，得PE=

．

在Rt△POE中，PO=

，PE=

，

∴sin∠PEO=

=

．

点评：证线面平行，一般是转化为证线线平行．求直线与平面所成的角一般用构造法，作出线与面所成的角

本题若直接求MN与平面ABCD所成的角，计算困难，而平移转化为PE与平面ABCD所成的角则计算容易．可见平移是求线线角、线面角的重要方法．当然，也可以建立坐标系，用向量法求角，后面有专门的介绍．

 

例3、如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，M，N，Q分别是棱A₁A，A₁B₁，A₁D₁，CB，CC₁，CD的中点．

求证：平面EFG∥平面MNQ．

分析：只要证明平面EFG内的两条相交直线EF，FG分别与平面MNQ内的两条直线QN和MQ平行即可．

证法一：由已知EF∥AB₁，AB₁∥DC₁，DC₁∥QN，

EF∥QN，同理FG∥MQ

所以，面EFG∥MNQ．

证法二：建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为2，

则E（0，0，1），F（1，0，2），

G（0，1，2），M（2，1，0），

N（2，2，1），Q（1，2，0）

=（1，0，1），

=（1，0，1），

=（-1，1，0），

=

，

EF∥QN，FG∥MQ，又EF∩FG=F，QN∩MQ=Q，

所以，平面EFG∥平面MNQ

 

例4、在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，B₁C₁=A₁C₁，A₁B⊥AC₁，

求证：A₁B⊥B₁C．

证明：取A₁B₁的中点D₁，连结C₁D₁

∵B₁C₁=A₁C₁，∴C₁D₁⊥ABB₁A₁

连结AD₁，则AD₁是AC₁在平面ABB₁A₁内的射影，

∵A₁B⊥AC₁，

∴A₁B⊥AD₁

取AB的中点D，连结CD、B₁D，

则B₁D∥AD₁，且B₁D是B₁C在平面ABB₁A₁内的射影．

∵B₁D⊥A₁B，∴A₁B⊥B₁C

点评：证明异面直线垂直的常用方法有：证明其中一直线垂直于另外一直线所在的平面；利用三垂线定理及其逆定理．

 

  例5、如图，已知

是圆

的直径，

垂直于圆O所在的平面，

是圆周上不同于

的任一点，求证：平面

平面

．

分析：根据“面面垂直”的判定定理，要证明两平面互相垂直，只要在其中一个平面中寻找一条与另一平面垂直的直线即可．

解：∵

是圆

的直径，∴

，

又∵

垂直于圆O所在的平面，∴

，

∴

平面

，又

在平面

中，

所以，平面

平面

．

点评：由于平面

与平面

相交于

，所以如果平面

平面

，则在平面

中，垂直于

的直线一定垂直于平面

，这是寻找两个平面的垂线的常用方法．

 

例6、已知直线a⊥平面

，直线b⊥平面

，O、A为垂足．

求证：a∥b．

证明：以O为原点直线a为z轴，建立空间直角坐标系，

为坐标向量，直线a、b的向量分别为

．

设

=（x，y，z），

∵b⊥

，

∴

，

，

∴

=（0，0，z）=z

．

点评：因证明两直线平行，也就是证明其方向向量共线，所以，利用两向量共线的充要条件证明两直线平行是新教材基本的数学方法，应做到熟练运用．

 

【模拟试题】

1、设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是

A、α⊥β且m⊥β                B、α∩β=n且m∥n  

C、m∥n且n∥α                      D、α∥β且m

β

2、设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面

给出下列四个命题，其中正确命题的序号是

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n  ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ 

③若m∥α，n∥α，则m∥n  ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

A、①②        B、②③                       C、③④                      D、①④

3、一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是

A、异面               B、相交                C、平行               D、不能确定

4、两条直线a、b满足a∥b，b

α，则a与平面α的关系是

A、a∥α    B、a与α相交             C、a与α不相交         D、a

α

5、△ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为__________．

6、在直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，当底面四边形ABCD满足条件_______时，有A₁C⊥B₁D₁．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

7、设D是线段BC上的点，BC∥平面α，从平面α外一定点A（A与BC分居平面两侧）作AB、AD、AC分别交平面α于E、F、G三点，BC=a，AD=b，DF=c，则EG=_____________．

8、已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内，斜边AB∥α，AB=2

，AC、BC分别和平面α成45°和30°角，则AB到平面α的距离为_____________．

9、如下图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE=

a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD．

10、在三棱锥S—ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB边的高CD上，点M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC，求证：SC⊥截面MAB．

11、如下图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M为AB边上的一个动点，求PM的最小值．

12、在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M为CC₁的中点，AC交BD于点O，求证：A₁O⊥平面MBD．

13、如下图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD上的点，且

=

，求证：直线MN∥平面PBC．

【试题答案】

1、D

2、A

3、解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β，

过直线a作与α、β都相交的平面γ，

记α∩γ=b，β∩γ=c，

则a∥b且a∥c，

∴b∥c

又b

α，α∩β=l，∴b∥l

∴a∥l

答案：C

4、C

5、解析：如下图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC的重心为G，连结CG交AB于中点E，又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，则E′∈A′B′，G′∈C′E′，EE′=

（A′A+B′B）=

，CC′=4，CG∶GE=2∶1，在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=3

答案：3 cm

6、答案：A₁C₁⊥B₁D₁或四边形A₁B₁C₁D₁为菱形等

7、解析：解法类同于上题

答案：

8、解：分别过A、B向平面α引垂线AA′、BB′，垂足分别为A′、B′

设AA′=BB′=x，则AC²=（

）²=2x²，

BC²=（

）²=4x²

又AC²+BC²=AB²，∴6x²=（2

）²，x=2

答案：2

9、解：在面PCD内作EG⊥PD于G，连结AG

∵PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，

∴CD⊥PD

∴CD∥EG

又AB∥CD，∴EG∥AB

若有EF∥平面PAD，则EF∥AG，

∴四边形AFEG为平行四边形，得EG=AF．

∵CE=

=

a，△PBC为直角三角形，

∴BC²=CE·CP

CP=

a，

=

=

=

=

．

故得AF∶FB=2∶1时，EF∥平面PAD．

10、证明：∵CD是SC在底面ABC上的射影，AB⊥CD，∴AB⊥SC．连结MD．∵∠MDC=∠NSC，∴DM⊥SC．∵AB∩DM=D，∴SC⊥截面MAB．

11、解：∵P是定点，要使PM的值最小，只需使PM⊥AB即可．

要使PM⊥AB，由于PC⊥平面ABC，

∴只需使CM⊥AB即可．

 ∵∠BAC=60°，AB=8，∴AC=AB·cos60°=4．

∴CM=AC·sin60°=4·

=2

．

∴PM=

=

=2

．

12、证明：连结MO．

 ∵DB⊥A₁A，DB⊥AC，A₁A∩AC=A，∴DB⊥平面A₁ACC₁．

又A₁O

平面A₁ACC₁，∴A₁O⊥DB．

在矩形A₁ACC₁中，tan∠AA₁O=

，tan∠MOC=

，

∴∠AA₁O=∠MOC，

则∠A₁OA+∠MOC=90°．∴A₁O⊥OM．

∵OM∩DB=O，∴A₁O⊥平面MBD．

13、分析：要证直线MN∥平面PBC，只需证明MN∥平面PBC内的一条直线或MN所在的某个平面∥平面PBC．

证法一：过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，依题意得

=

=

=

=

NR=MB．

∵NR∥DC∥AB，

∴四边形MNRB是平行四边形．∴MN∥RB．

又∵RB

平面PBC，∴直线MN∥平面PBC．

证法二：过N作NQ∥AD交PA于点Q，连结QM，

∵

=

=

，∴QM∥PB

又NQ∥AD∥BC，

∴平面MQN∥平面PBC．∴直线MN∥平面PBC．

证法三：过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，

依题意有

=

=

，

∴

=

，

=

+

+

=

．

∴MN∥RB

又∵RB

平面PBC，

∴直线MN∥平面PBC