专题复习——数列

 

【高考要求】了解数列的概念，掌握等差数列与等比数列。

 

二. 基本内容：

1. 一般数列的通项a_n与前n项和S_n的关系：a_n=

2. 等差数列的通项公式：a_n=a₁+（n－1）d      a_n=a_k+（n－k）d     （其中a₁为首项、a_k为已知的第k项）  当d≠0时，a_n是关于n的一次式；当d=0时，a_n是一个常数

3. 等差数列的前n项和公式：S_n=

； S_n=

； S_n=

当d≠0时，S_n是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a₁≠0），S_n=na₁是关于n的正比例式

4. 等差数列的通项a_n与前n项和S_n的关系：a_n=

5. 等差中项公式：A=

  （有唯一的值）

6. 等比数列的通项公式： a_n= a₁ q^n－1     a_n= a_k q^n－k     （其中a₁为首项、a_k为已知的第k项，a_n≠0）

7. 等比数列的前n项和公式：当q=1时，S_n=n a₁     （是关于n的正比例式）；

当q≠1时，S_n=

         S_n=

8. 等比中项公式：G=

  （ab>0，有两个值）

9. 等差数列{a_n}的任意连续m项的和构成的数列S_m、S_2m－S_m、S_3m－S_2m、S_4m － S_3m、……仍为等差数列

10. 等差数列{a_n}中，若m+n=p+q，则

11. 等比数列{a_n}中，若m+n=p+q，则

12. 等比数列{a_n}的任意连续m项的和构成的数列S_m、S_2m－S_m、S_3m－S_2m、S_4m － S_3m、……仍为等比数列（当m为偶数且公比为－1的情况除外）

13. 两个等差数列{a_n}与{b_n}的和差的数列{a_n+b_n}、{a_n－b_n}仍为等差数列

14. 两个等比数列{a_n}与{b_n}的积、商、倒数的数列{a_n

b_n}、

、

仍为等比数列

15. 等差数列{a_n}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列

16. 等比数列{a_n}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列

17. 三个数成等差的设法：a－d，a，a+d；四个数成等差的设法：a－3d，a－d，，a+d，a+3d

18. 三个数成等比的设法：a/q，a，aq；四个数成等比的错误设法：a/q³，a/q，aq，aq³  （因为其公比为

>0，对于公比为负的情况不能包括）

19. {a_n}为等差数列，则

（c>0）是等比数列

20. {b_n}（b_n>0）是等比数列，则{log_cb_n} （c>0且c

1） 是等差数列

 

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质

1. 研究通项的性质

例题1. 已知数列

满足

.

（1）求

；

（2）证明：

.

解：（1）

.

（2）证明：由已知

，故

， 所以证得

.

 

例题2. 数列

的前

项和记为

（Ⅰ）求

的通项公式；

（Ⅱ）等差数列

的各项为正，其前

项和为

，且

，又

成等比数列，求

.

解：（Ⅰ）由

可得

，

两式相减得：

，

又

∴

   故

是首项为1，公比为3的等比数列 

 ∴

（Ⅱ）设

的公比为

，由

得，可得

，可得

故可设

，又

，

由题意可得

，解得

∵等差数列

的各项为正，∴

  ∴

 

∴

 

例题3. 已知数列

的前三项与数列

的前三项对应相同，且

对任意的

都成立，数列

是等差数列.

⑴求数列

与

的通项公式；

⑵是否存在

，使得

，请说明理由.

点拨：（1）

左边相当于是数列

前n项和的形式，可以联想到已知

求

的方法，当

时，

.

    （2）把

看作一个函数，利用函数的思想方法来研究

的取值情况.

解：（1）已知

…

）①

时，

…

）②

①－②得，

，求得

，

在①中令

，可得得

，

所以

N*）.                                 

由题意

，

，

，所以

，

，

∴数列

的公差为

，

∴

，

）.        

（2）

，

当

时，

单调递增，且

，

所以

时，

，           

又

，

所以，不存在

，使得

.

 

例题4. 设各项均为正数的数列{a_n}和{b_n}满足：a_n、b_n、a_n+1成等差数列，b_n、a_n+1、b_n+1成等比数列，且a₁ = 1， b₁ = 2 ， a₂ = 3 ，求通项a_n，b_n

    解： 依题意得：

2b_n+1 = a_n+1 + a_n+2       ① 

a²_n+1 = b_nb_n+1          ②

∵ a_n、b_n为正数，  由②得

，

代入①并同除以

得：

 ，

∴

为等差数列

∵ b₁ = 2 ， a₂ = 3 ，

 ，

∴

 ，

∴当n≥2时，

，

又a₁ = 1，当n = 1时成立， ∴

 

2. 研究前n项和的性质

例题5.

已知等比数列

的前

项和为

，且

.

（1）求

、

的值及数列

的通项公式；

（2）设

，求数列

的前

项和

.

解：（1）

时，

.而

为等比数列，得

，

又

，得

，从而

.又

.

（2）

，

     

） ，得

，

.

 

例题6. 数列

是首项为1000，公比为

的等比数列，数列

满足

 

，

（1）求数列

的前

项和的最大值；（2）求数列

的前

项和

.

       解：（1）由题意：

，∴

，∴数列

是首项为3，公差为

的等差数列，

       ∴

，∴

       由

，得

，∴数列

的前

项和的最大值为

.

       （2）由（1）当

时，

，当

时，

，

       ∴当

时，

       当

时，

       ∴

.

 

例题7. 已知递增的等比数列{

}满足

，且

是

，

的等差中项.

（1）求{

}的通项公式

；（2）若

，

求使

成立的

的最小值. 

解：（1）设等比数列的公比为q（q＞1），由

a₁q+a₁q²+a₁q³=28，a₁q+a₁q³=2（a₁q²+2），得：a₁=2，q=2或a₁=32，q=

（舍）

∴a_n=2·2^（n－1）=2ⁿ

（2） ∵

，∴S_n=－（1·2+2·2²+3·2³+…+n·2ⁿ）

∴2S_n=－（1·2²+2·2³+…+n·2ⁿ⁺¹），∴S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ－n·2ⁿ⁺¹=－（n－1）·2ⁿ⁺¹－2，

若S_n+n ·2ⁿ⁺¹＞30成立，则2ⁿ⁺¹＞32，故n＞4，∴n的最小值为5.

 

例题8. 已知数列

的前n项和为S_n，且

成等差数列，

. 函数

.

（I）求数列

的通项公式；

（II）设数列

满足

，记数列

的前n项和为T_n，试比较

的大小.

解：（I）

成等差数列，

①  当

时，

②.

①－②得：

，

，

当n=1时，由①得

， 又

是以1为首项3为公比的等比数列，

        

（II）∵

，

，

，   

比较

的大小，只需比较

与312 的大小即可.

∵

∴当

时，

当

时，

当

时，

.

 

3. 研究生成数列的性质

例题9. （I） 已知数列

，其中

，且数列

为等比数列，求常数

；

（II） 设

、

是公比不相等的两个等比数列，

，证明数列

不是等比数列.

解：（Ⅰ）因为{c_n+1－pc_n}是等比数列，故有

（c_n+1－pc_n）²=（ c_n+2－pc_n+1）（c_n－pc_n－1），

将c_n=2ⁿ＋3ⁿ代入上式，得

[2^n＋1+3^n＋1－p（2ⁿ＋3ⁿ）]²

=[2^n＋2+3^n＋2－p（2ⁿ⁺¹＋3ⁿ⁺¹）]·[2ⁿ+3ⁿ－p（2^n－1＋3^n－1）]，                 

即[（2－p）2ⁿ+（3－p）3ⁿ]²

=[（2－p）2ⁿ⁺¹+（3－p）3ⁿ⁺¹][ （2－p）2^n－1+（3－p）3^n－1]，

整理得

（2－p）（3－p）·2ⁿ·3ⁿ=0，

解得p=2或p=3.                                                 

（Ⅱ）设{a_n}、{b_n}的公比分别为p、q，p≠q，c_n=a_n+b_n.

为证{c_n}不是等比数列只需证

≠c₁·c₃.

事实上，

=（a₁p＋b₁q）²=

p²＋

q²＋2a₁b₁pq，

c₁·c₃=（a₁＋b₁）（a₁ p²＋b₁q²）=

p²＋

q²＋a₁b₁（p²＋q²）.

由于p≠q，p²＋q²>2pq，又a₁、b₁不为零，

因此

c₁·c₃，故{c_n}不是等比数列.                               

 

例题10. n²（ n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等

已知a₂₄=1，

求S=a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ + … + a_nn

解： 设数列{

}的公差为d， 数列{

}（i=1，2，3，…，n）的公比为q

则

= a₁₁ + （k－1）d ， a_kk = [a₁₁ + （k－1）d]q^k－1

依题意得：

，解得：a₁₁ = d = q = ±

又n²个数都是正数，

∴a₁₁ = d = q =

 ， ∴a_kk =

，

，

两式相减得：

 

例题11. 已知函数

的图象经过点

和

，记

（1）求数列

的通项公式；

（2）设

，若

，求

的最小值；

（3）求使不等式

对一切

均成立的最大实数

.

解：（1）由题意得

，解得

，

 

     

（2）由（1）得

，

        ①

 ②    ①－②得

.

，

设

，则由

得

随

的增大而减小

时，

又

恒成立，

    （3）由题意得

恒成立

    记

，则

是随

的增大而增大 

的最小值为

，

，即

.

 

（二）证明等差与等比数列

1. 转化为等差等比数列.

例题12. 数列

中，

且满足

，

.

⑴求数列

的通项公式；

⑵设

，求

；

⑶设

=

，是否存在最大的整数

，使得对任意

，均有

成立？若存在，求出

的值；若不存在，请说明理由.

解：（1）由题意，

，

为等差数列，设公差为

，

由题意得

，

.

（2）若

，

时，

故

 

（3）

，

若

对任意

成立，即

对任意

成立，

的最小值是

，

的最大整数值是7.

即存在最大整数

使对任意

，均有

 

例题13. 已知等比数列

与数列

满足

N*.

（1）判断

是何种数列，并给出证明；

（2）若

.

解：（1）设

的公比为q，∵

，∴

。

所以

是以

为公差的等差数列.

（2）∵

所以由等差数列性质可得

…

 

2. 由简单递推关系证明等差等比数列

例题14. 已知数列

和

满足：

，

，

，

（

），

且

是以

为公比的等比数列.

（I）证明：

；

（II）若

，证明：数列

是等比数列；

（III）求和：

.

解法1：（I）证：由

，有

，

.

（II）证：∵

，

，

，

.

是首项为5，公比为

的等比数列.

（III）解：由（II）得

，

，于是

      

      

.

当

时，

.

当

时，

.

故

解法2：（I）同解法1（I）.

（II）证：

，又

，

是首项为5，公比为

的等比数列.

（III）由解法1中（II）的类似方法得

，

，

，

.

∴

.

 

例题15. 设数列

（1）证明：数列

是等比数列；

（2）设数列

的公比

，数列

满足

，b_n=f （b_n－1）（n∈N*，n≥2），求数列

的通项公式；

（3）设

，

，求数列

的前n项和Ｔ_n.

（1）证明：由

相减得：

∴数列

是等比数列

（2）解：

是首项为

，公差为1的等差数列，∴

.

.

（3）解：

时

  ①

      ②

 ①－②得：

∴

所以：

.

 

例题16.

的各个顶点分别为

，设

为线段

的中点，

为线段OC的中点，

为线段

的中点. 对每一个正整数

为线段

的中点. 令

的坐标为

，

.

（1）求

及

；

（2）证明：

（3）记

，证明：

是等比数列.

（1）解：因为y₁=y₂=y₄=1， y₃=

，y₅=

，所以 得a₁=a₂=a₃=2.

又由

，对任意的正整数n有

a_n+1=

=

=

=a_n

恒成立，且a₁=2，   所以{a_n}为常数数列， a_n=2，（n为正整数）

（2）证明：根据

， 及

=a_n=2，  易证得y_n+4=1－

（3）证明：因为b_n+1=

=（1－

）－（1－

）=

，

又由b₁=

=1－

y₄=

，

所以{b_n}是首项为

，公比为

的等比数列.

 

【模拟试题】

一、填空题

1. 在等差数列｛a

｝中，已知a

=2，a

+a

=13，则a

+a

+a

等于=         .

2. 已知数列的通项

，则其前

项和

         .

3. 首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差

的取值范围是      .

4. 在等比数列

中，

和

 是二次方程

 的两个根，则_{360docimg_501_}

的值为          . 

5. 等差数列{a_n}中，a₁=1，a₃+a₅=14，其前n项和S_n=100，则n=            .

6. 等差数列{a_n}的前m项和为30，前2m项的和为100，求它的前3m项的和为________360docimg_502_ 

7. 已知两个等差数列_{360docimg_503_}和_{360docimg_504_}的前_{360docimg_505_}项和分别为A_{360docimg_506_}和_{360docimg_507_}，且_{360docimg_508_}，_{360docimg_509_}= 

    ，若_{360docimg_510_}为正整数，n的取值个数为___________。

8. 已知数列_{360docimg_511_}对于任意_{360docimg_512_}，有_{360docimg_513_}，若_{360docimg_514_}，则_{360docimg_515_}  .

9. 记数列_{360docimg_516_}所有项的和为_{360docimg_517_}，第二项及以后各项的和为_{360docimg_518_}，第三项及以后各项的和为 _{360docimg_519_}，第_{360docimg_520_}项及以后各项的和为_{360docimg_521_}，若_{360docimg_522_}，_{360docimg_523_}，_{360docimg_524_}，

_{360docimg_525_}，则_{360docimg_526_}等于       .

10. 等差数列_{360docimg_527_}共有_{360docimg_528_}项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_____.

11. 等差数列_{360docimg_529_}中，_{360docimg_530_}，若_{360docimg_531_}且_{360docimg_532_}，_{360docimg_533_}，则_{360docimg_534_}的值为         .

12. 设_{360docimg_535_}为等差数列_{360docimg_536_}的前_{360docimg_537_}项和. 已知_{360docimg_538_}，则_{360docimg_539_}等于

          .

13. 已知函数_{360docimg_540_}定义在正整数集上，且对于任意的正整数_{360docimg_541_}，都有_{360docimg_542_}

_{360docimg_543_}，且_{360docimg_544_}，则_{360docimg_545_}__     __.

14. 三个数_{360docimg_546_}成等比数列，且_{360docimg_547_}，则b的取值范围是              . 

15. 等差数列360docimg_548_中，前360docimg_549_项和为360docimg_550_，首项360docimg_551_.

（1）若360docimg_552_，求360docimg_553_

（2） 设360docimg_554_，求使不等式360docimg_555_的最小正整数360docimg_556_的值.

点拨：在等差数列中360docimg_557_知道其中三个就可以求出另外一个，由已知可以求出首项360docimg_558_与公差360docimg_559_，把360docimg_560_分别用首项360docimg_561_与公差360docimg_562_，表示即可. 对于求和公式360docimg_563_，360docimg_564_采用哪一个都可以，但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更简单一些. 例如：已知360docimg_565_判断360docimg_566_的正负. 问题2在思考时要注意加了绝对值时负项变正时，新的数列首项是多少，一共有多少项.

16. 等差数列{_{360docimg_567_}}的前_{360docimg_568_}项和为_{360docimg_569_}，_{360docimg_570_}，_{360docimg_571_}.

（I）求数列{_{360docimg_572_}}的通项_{360docimg_573_}与前_{360docimg_574_}项和为_{360docimg_575_}；

（II）设_{360docimg_576_}（_{360docimg_577_}），求证：数列{_{360docimg_578_}}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

17. 在直角坐标平面上有一点列_{360docimg_579_}，对一切正整数n，点_{360docimg_580_}位于函数_{360docimg_581_}的图象上，且_{360docimg_582_}的横坐标构成以_{360docimg_583_}为首项，_{360docimg_584_}­为公差的等差数列_{360docimg_585_}.

⑴求点_{360docimg_586_}的坐标；

⑵设抛物线列_{360docimg_587_}中的每一条的对称轴都垂直于_{360docimg_588_}轴，第_{360docimg_589_}条抛物线_{360docimg_590_}的顶点为_{360docimg_591_}，且过点_{360docimg_592_}，设与抛物线_{360docimg_593_}相切于_{360docimg_594_}的直线的斜率为_{360docimg_595_}，求：_{360docimg_596_}.

⑶设_{360docimg_597_}，等差数列{_{360docimg_598_}}的任一项_{360docimg_599_}，其中_{360docimg_600_}是_{360docimg_601_}中的最大数，_{360docimg_602_}，求{_{360docimg_603_}}的通项公式.

18. 已知数列_{360docimg_604_}满足_{360docimg_605_}，

（1）求数列_{360docimg_606_}的通项公式；

（2）若数列_{360docimg_607_}满足_{360docimg_608_}（n∈N^*），证明：_{360docimg_609_}是等差数列.

 

 

 

360docimg_610_

【试题答案】

1. 42

2. _{360docimg_611_}

3. _{360docimg_612_}

4. _{360docimg_613_}

5. 10

6. 210

7. 8.5；5个

解法一：点拨 利用等差数列的求和公式_{360docimg_614_}及等差数列的性质

“若_{360docimg_615_}，则_{360docimg_616_}”

解析：_{360docimg_617_}=_{360docimg_618_}

解法2： 点拨  利用“若{_{360docimg_619_}}为等差数列，那么_{360docimg_620_}”这个结论，根据条件

找出_{360docimg_621_}和_{360docimg_622_}的通项.

解析：可设_{360docimg_623_}，_{360docimg_624_}，则_{360docimg_625_}，

_{360docimg_626_}，则_{360docimg_627_}=_{360docimg_628_}

由上面的解法2可知_{360docimg_629_}=_{360docimg_630_}，显然只需使_{360docimg_631_}为正整数即可，

故_{360docimg_632_}，共5个.

点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用.

反思：解法2中，若是填空题，比例常数k可以直接设为1.

8. 4

9. 解：_{360docimg_633_}.    

10. 解：依题意，中间项为_{360docimg_634_}，于是有_{360docimg_635_}解得_{360docimg_636_}.

11. 解：由题设得_{360docimg_637_}，而_{360docimg_638_}，_{360docimg_639_}，又_{360docimg_640_}，_{360docimg_641_}，_{360docimg_642_}.       

12. 解：_{360docimg_643_}， _{360docimg_644_}，

_{360docimg_645_}. ∴_{360docimg_646_}。

13. 解：由_{360docimg_647_}知函数_{360docimg_648_}当_{360docimg_649_}从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，_{360docimg_650_}形成一个首项为2，公差为4的等差数列，_{360docimg_651_}.   

14. 解：设_{360docimg_652_}，则有_{360docimg_653_}.

当_{360docimg_654_}时，_{360docimg_655_}，而_{360docimg_656_}，_{360docimg_657_}；

当_{360docimg_658_}时，_{360docimg_659_}，即_{360docimg_660_}，而_{360docimg_661_}，_{360docimg_662_}，则_{360docimg_663_}，

故_{360docimg_664_}.   

15. 解：（1）由360docimg_665_，得：360docimg_666_，

又由360docimg_667_.

即360docimg_668_，得到360docimg_669_.

（2）由360docimg_670_

若360docimg_671_≤5，则360docimg_672_≤360docimg_673_，不合题意

故360docimg_674_>5，360docimg_675_

即360docimg_676_，所以360docimg_677_≥15，使不等式成立的最小正整数360docimg_678_的值为15

16. 解答：（I）由已知得_{360docimg_679_}，_{360docimg_680_}，

故_{360docimg_681_}.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得_{360docimg_682_}.

假设数列_{360docimg_683_}中存在三项_{360docimg_684_}（_{360docimg_685_}互不相等）成等比数列，则_{360docimg_686_}.

即_{360docimg_687_}.

_{360docimg_688_}

_{360docimg_689_}，

_{360docimg_690_ 360docimg_691_}.

与_{360docimg_692_}矛盾.

17. 解：（1）_{360docimg_693_}

_{360docimg_694_}

（2）_{360docimg_695_}的对称轴垂直于_{360docimg_696_}轴，且顶点为_{360docimg_697_}. _{360docimg_698_}设_{360docimg_699_}的方程为：_{360docimg_700_}

把_{360docimg_701_}代入上式，得_{360docimg_702_}，_{360docimg_703_}的方程为：_{360docimg_704_}.

_{360docimg_705_}，_{360docimg_706_}

_{360docimg_707_360docimg_708_}

=_{360docimg_709_}.

（3）_{360docimg_710_}，

_{360docimg_711_360docimg_712_}

_{360docimg_713_}T 中最大数_{360docimg_714_}.

设_{360docimg_715_}公差为_{360docimg_716_}，则_{360docimg_717_}，由此得

_{360docimg_718_}

_{360docimg_719_}

18. （1）解：_{360docimg_720_  360docimg_721_}

       _{360docimg_722_}是以_{360docimg_723_}为首项，2为公比的等比数列.

       _{360docimg_724_}       即 _{360docimg_725_}.

（2）证：_{360docimg_726_     360docimg_727_}

       _{360docimg_728_}           ①

        _{360docimg_729_}     ②

       ②－①，得_{360docimg_730_}

       即_{360docimg_731_}③

_{360docimg_732_}④

      ③－④，得 _{360docimg_733_}

       即 _{360docimg_734_     360docimg_735_}

       _{360docimg_736_}是等差数列.