复合函数的导数、对数与指数函数的导数

 

二. 本周教学重、难点：

1. 复合函数的求导法则

    设

在点

处有导数

，

在点

的对应点

处有导数

，则

在点

处也有导数，且

或

2. 对数函数的导数

    （1）

   （2）

3. 指数函数的导数

（1）

   （2）

 

【典型例题】

[例1] 求下列函数的导数

（1）

         （2）

         （3）

（4）

           （5）

（6）

           （7）

解：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

        

（6）

（7）

      

 

[例2] 若

，

解不等式

解：

  

∵

   ∴

    ∴

∴

或

    ∵ 两函数定义域为

   ∴

∴ 解集为（5，

）

 

[例3] 设曲线

在点M（

）处的切线

与

轴围成的三角形面积为

，求切线

的方程。

解：

  ∴

∴

    ∴

 

[例4] 曲线

在（0，1）处的切线与

的距离为

，求

的方程。

解：

      

        

∴ 曲线在（0，1）处的切线的斜率

∴ 切线方程为

设

的方程为

    ∴

   ∴

或6

当

时，

为：

当

时，

为：

 

[例5] 将水注入锥形容器中，其速度为

，设锥形容器的高为

，顶口直径为

，求当水深为

时，水面上升的速度。

解：设注入水

后，水深为

，由相似三角形对应边成比例可得水面直径为

，这时水的体积为

由于水面高度

随时间

而变化，因而

是

的函数

由此可得水的体积关于时间

的导数为

由假设，注水速度为

∴

即

∴ 当

时，水面上升的速度为：

 

[例6] 求下列函数的导数

（1）

   （2）

解：

（1）∵

   ∴ 两边取对数得

两边求导得：

∴

（2）∵

   

∴ 两边取对数：

                  

在上式两边求导得

整理后得

 

[例7] 已知曲线

与

，其中

，且都为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切。

证明：设两曲线公共点为（

）则

，

即

   ∴

   ∴

∴

（

）

对

有

对

有

∵

     

∴

   ∴ 两曲线彼此相切

 

[例8] 设曲线

在

处的切线为

，数列

中

，且点（

）在

上。

（1）求证：数列

是等比数列，并求

；

（2）求

的前

项和

。

（1）证明：由

得

时，

又 ∵

   ∴ 切线方程为

  即

∵（

）在切线

上   ∴

   则

即

    ∴

是以

为首项，2为公比的等比数列

∴

即

（2）解：由（1）知

                    

                    

∴

的前

项和

 

[例9] 已知

求

的反函数

及

解：设

   ∴

    ∴

∴

   ∴

∵

   ∴

 

【模拟试题】

一. 选择：

1. 函数

的导数是（    ）

    A.

    B.

    C.

    D.

2. 已知

，则

等于（    ）

    A.

    B. 2    C.

    D. 0

3. 函数

的导数是（    ）

    A.

   B.

    C.

    D.

4.

在

处的切线方程是（    ）

A.

                          B.

C.

                       D.

5. 若

，则

等于（    ）

    A. 5    B. 20    C. 40    D. 0

6. 已知

，则

等于（    ）

    A. 0    B. 1    C.

    D.

7. 已知某函数的导数是

，则这个函数可能是（    ）

    A.

     B.

    C.

    D.

  8. 函数

的导数

等于（    ）

A.

    B.

    C.

    D.

 

二. 解答：

1. 首先指出下列函数是怎样复合的，然后求导：

    （1）

；（2）

；（3）

2. 求下列函数的导数

（1）

        （2）

（3）

                         （4）

  3. 已知曲线C₁：

与C₂：

，直线

与C₁、C₂都相切，求直线

的方程。

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

一.

1. D

2. D

解析：

∴

3. C

    解析：

4. B

解析：

，

时，

    ∴ 切线方程为

5. D

解析：

            

            

∴

  

6. D

    解析：

    ∴

7. C

8. C

解析：

          

 

二.

  1.

（1）解：设

，则

   ∴

（2）解：设

，则

   

∴

（3）解：设

2.

解：

（1）

       

（2）由对数运算性质，有

（3）

（4）

      

      

      

3.

解：依题意，可设直线

与

相切于点

与

相切于点

，对于

，则与

相切于点P的切线方程为

，即

，对于

，则与

相切于点Q的切线方程为

，即

∵ 两切线重合     ∴

解得

或

      ∴ 直线

的方程为

或