1. 概念：设函数
的定义域为I
（1）增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值
，当
时，都有
，那么称函数
在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值
，当
时，都有
，则称
在这个区间上是减函数。
（3）单调区间：如果函数
在某个区间是增函数或减函数，则称函数
在这一区间上具有（严格的）单调性，该区间叫做
的单调区间。
注：① 中学单调性是指严格单调的，即不能是
或
② 单调性刻画的是函数的“局部”性质。如
在
与
上是减函数，不能说
在
上是减函数。
③ 单调性反映函数值的变化趋势，反映图象的上升或下降
2. 单调性的判定方法（定义法、复合函数单调性结论，函数单调性性质，导数，图象）
（1）定义法
[例1] 证明函数
在R上是增函数
证：设
，则
而分子
分母
故
得证
补：讨论函数
的单调性
解：设
时，对任
，
，设
，而
即
故在
单增，同理在
单减
当
时，同理在（
）单减，在（1，
）单增
[例2] 讨论
的单调性
解：设
，则
（1）当
时，
，
（2）当
时，
，
故
在
上是减函数，在
上是增函数
[例3] 试求函数
（
）的单调区间
分析：考虑到
以下分类讨论
（1）当
时
① 若
，则
，
增
② 若
，则
，
减
③ 若
，则
，
减
④ 若
，则
，
增
（2）当
时
① 若
，则
增
② 若
，则
增
综上所述，
时，
在
或
上是减函数
在
或
上是增函数
时，
在
或
上是增函数
函数
范围
定义域
值域
渐近线
及
奇偶性
奇函数
单调性
在
及
分别单调递增
在
及
上分别单调递减
在
上递增，在
上递增
另法，利用导数
（1）若
则
（2）若
，则
下证
高考分式函数试题类型与解法研究
[例4] 讨论分式函数
的单调性（
）
以下只研究
与
两种情形对于
与
可利用对称性得到。
解：当
时，由
利用导数可知
在
与
上为单增函数
在
与
为单减函数
当
时，由
知
在
与
上为增函数，图象如下
[例5]（1997全国）甲、乙两地相距
千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过
千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度
（千米/时）的平方成正比，且比例系数为
；固定部分为
元
（1）把全程运输成本
（元）表示为速度
（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶。
解：
（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
，全程运输成本为
，
（2）依题意
都为正数，故有
当且仅当
即
时，上式中等号成立
① 若
，则当
时全程运输成本
最小
② 若
，函数
在
上是减函数
那么当且仅当
时，全程运输成本
最小
综上所述可知，为使全程运输成本最小，当
时
行驶速度应为
；当
时，行驶速度应为
[例6] 在
中，
，现将
分别以BC、AC、AB所在直线为轴，旋转一周，设所得三个旋转体的体积依次为
。
（1）求
（用
，
表示）
（2）若
为定值，并令
，将T表示为
的函数，写出这函数的定义域，并求这函数的最大值
（3）当
在
内变化时，求
的最大值。
解：（1）设
的BC、AC、AB边上的高分别为
，由
，
，
得
，
，
于是得
（2）令
，则由
得
代入（*）得
当
为定值时，
即
又
，于是
（当且仅当
时，取等号）
又由
，知
，所以函数
的定义域为
因为
在
上递增，所以当
，即
时，T取最大值，此时
（3）由于
，
是减函数，从而当
时，
取最大值为
注：分式函数变通形式，函数
的单调性
将函数式变形为
令
，则
由单调性，在
即
上单减
在
即
上单增
在
即
上单减
在
即
上单增
（2）复合函数的单调性
在复合函数
中，设
和
都是单调函数
① 若
为增函数，则
的增减性与
相同；
② 若
为减函数，则
的增减性与
相反。
区间
单调性
函数
A
B
C
D
+
+
－
－
+
－
+
－
+
－
－
+
利用复合函数单调性的结论求单调区间的步骤
（1）先确定复合函数
的定义域
（2）在定义域内分别研究
及
的单调性（分拆）
（3）列表，得结论
[例7] 讨论函数
的单调性
解：由
知定义域
令
，
以下先研究，
的单调性
令
，
（0，1）
（1，
）
－
－
+
+
－
－
－
－
+
+
－
－
而
在R上为减函数，故利用复合函数单调性结论知
在
及
上是减函数，在（0，1）及（1，
）上是增函数。
补：（95高考）已知
在[0，1]是减函数，则
的取值范围是（ B ）
A.（0，1） B.（1，2） C.（0，2） D.
解：依题意
，又
故
（也可由
，
，
（∵
）从而
）
[例8] 讨论
的单调性
解：由
定义域（
）令
，
而
当
时
是减函数，故
（
）
－
+
－
故
在其定义域（
）上是减函数
[例9] 讨论
的单调性
解：由
定义域
令
，
，以下先考虑
的单调性
由
结合定义域知它在
单减，在
上单增
－
+
－
－
+
－
故
，在
上是增函数
在
上是减函数
[例10]（1989全国）已知
，求
的单调区间。
解：依题意定义域为R，令
，
则
由
知其在
上单增，在
上单减
而
知，
在
单增，在
单减
又由
或
；
所以
单减区间
和
单增区间
与（0，1）
（0，1）
（1，
）
+
+
－
－
+
－
－
+
+
－
+
－
（3）利用单调性性质
结论1：两增函数的和在公共定义域上仍为增函数
[例11] 讨论函数
的单调性
解：定义域
① 若
，
与
均为减函数
故
也是减函数
② 若
时
由
与
都是增函数
且
，
是减函数
综上，
在R上是减函数，此结论用到以下事实。
又如讨论
的单调性
解：
利用反比例函数的单调性可知当
时，
在
与
上是减函数
当
时，
在
与
上是增函数
结论2：若函数
在区间
上是减函数，在区间
上是减函数，则
必是区间（
）上的减函数。
证：任取
且
若
，则
，若
，
若
，
，则
，
从而
综上，对
且
，总有
得证
上例利用定义法
对于
结论3：设
是单调函数，则其反函数
也是单调函数，且
与其反函数
有相同的单调性。
证：不妨设
是增函数，设
，
（用反证法）
如果
，则因
是增函数，故
即
这与
矛盾，故
，因此
单增
例子：对数函数与指数函数对底
的不同情形具有相同的单调性。
（4）利用函数的图象
[例12] 讨论函数
的单调性
解：
即
利用图象
（5）利用导数
函数
在区间
上连续，在
内可导，且在
内
① 如果
，那么函数
在区间
上单调增加
② 如果
，那么函数
在区间
上单调减少
由此得到确定单调区间的方法
① 确定函数
的定义域
② 求导数
③ 令
解此方程，求出在区间
内的全部实根，并按从小到大的顺序排列为
④ 确定区间
内导数符号
⑤ 在某区间内，若
，那么函数
在这个区间内递增，若
那么函数
在这区间内递减。
【模拟试题】
一、选择题。
1. 函数
的单调减区间为（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 设（a，b）、（c，d）都是函数f（x）的单调增区间，且x1∈（a，b），x2∈（c，d），x1＜x2，则f（x1）与f（x2）的大小关系是（ ）
A.f（x1）＜f（x2） B.f（x1）＞f（x2）
C.f（x1）=f（x2） D.不能确定
3. 下列函数中，在
上为减函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 函数y=
的单调递减区间是（ ）
A.［0，+∞］ B.（－∞，0）
C.（－∞，0），（0，+∞） D.（－∞，0）∪（0，+∞）
5. 设
是
上的减函数，则（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 设函数f（x）=（2a－1）x+b是R上的减函数，则有（ ）
A.a≥
B.a≤
C.a>－
D.a<
7. 若函数
是定义在R上的增函数；若
时，则下列各式成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 如果
是R上的减函数，
在
上是增函数，则函数
的单调性是（ ）
A. 在
上是增函数，在
上是减函数
B. 在
上是减函数，在
上是增函数
C. 在
上是增函数
D. 在
上是减函数
9. 已知
，则
与
（ ）
A. 函数值域相同，增减性不同 B. 为相同的函数
C. 函数值域不同，增减性相同 D. 函数值域、增减性都不同
二、填空题。
10. 已知函数f（x）=4x2－mx+1在（－∞，－2）上递减，在［－2，+∞］上递增，则f（1）=__________.
11. 二次函数
的单调区间，当
时，增区间是___________，减区间为___________。
12. f(x)是定义在（0，+∞)上的递减函数，且f(x)<f(2x－3),则x的取值范围是__________.
13. 函数
的增区间是___________，减区间是___________。
14. 一次函数
是增函数的充要条件是___________。
15. 已知函数
是在区间
上的减函数，则a的取值范围是___________。
三、解答题。
16. 求证：函数
在定义域内是减函数。
17. 求证：函数f（x）=x+
（a>0）在区间（0，
］上是减函数.
18. 设
是
上的增函数，a和b是实数。
（1）证明命题“如果
，那么
”；
（2）判断（1）中命题的逆命题是否正确，并证明你的结论。
【试题答案】
一、
1. D 2. D 3. D 4.C 5. D 6.D 7. B 8. D 9. B
二、
10．21
11.
12． (
,3)
13.
14.
15.
三、
16. 因为
的定义域为
，任取
且
且
又因为对任意
，都有
所以
，即
故函数
在R上单调递减
17．证明:设0<x1<x2≤
，则x1－x2<0,0<x1x2<a.
f（x1）－f（x2）=（x1+
）－（x2+
）=（x1－x2）+
=（x1－x2）·
>0，即f（x1）>f（x2）.
因此函数f（x）=x+
（a>0）在区间（0，
］上是减函数.
说明:用上述方法还可以证明函数f（x）=x+
（a>0）在［
，+∞］上是增函数，在
（－∞，－
）上也是增函数,在（－
，0）上是减函数，并让学生记住证法和结论.
18. （1）由
同理，
<1>＋<2>得：
（2）逆命题正确。
即若
，则
假设
，则（1）可证
矛盾。
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