第五章  平面向量总结

 

二. 知识分析：

1. 向量的有关概念

定义既有大小又有方向的量叫做向量（自由向量）

记作：	或
表示：	有向线段
向量长度（模）
单位向量：	（与 同向的）
相等向量：
共线向量：	若 ，则 与 共线（平行） （ 唯一）
相反向量：	的相反向量
加法：
减法：
实数与向量的积：
数量积：
向量垂直：	非空向量

2. 向量的加法与减法

（1）加法法则：三角形法则与平行四边形法则

   

三角形法则：首尾相接     平行四边形法则：起点相同

（2）运算性质：

，

，

（3）减法法则：

是起点O连接

终点指向被减数的向量

（4）常用结论：

  

；

；

3. 实数与向量的积

（1）定义：

   ①

时，

与

同向，②

时，

与

反向，③

时，

。

（2）运算律：①

②

     ③

    ④

（3）

有且只有一个实数

，使

注：此条件应用非常广泛，是证明三点共线的重要依据。

（4）平面向量的基本定理

为一组基底，平面内任一向量

，有且只有一对实数

，使

，

（5）几个重要结论

① 已知

，

，C是A、B中点，则

② 以原点为起点的三个向量

的终点A、B、C在同一条直线上的充要条件是

，其中

，

4. 线段的定比分点

（1）定义：设

是直线

上的两点，点P是

上不同于

的任意一点，则存在唯一实数

，使

，

叫做P分

所成的比

（2）设

、

、

且

则

时，P为线段

的中点，则

（3）

的重心坐标公式

、

、

、重心

则

（坐标表示）或

（向量表示）

常见题型：① 求有向线段的比；② 证明三点共线；③ 求

的角平分线长；④ 求

的内心

5. 平面向量的数量积

（1）两平面向量的夹角

，

，

范围：

（2）非零向量

与

垂直：

（3）

与

的数量积（内积）

（非零向量）① 定义：

②

的几何意义：<1>

等于

的长度与

在

方向上的投影的乘积

<2>

在

上的投影为

（4）

的性质，设

，

是两个非零向量，

是单位向量

①

②

③ 当

与

同向时，

；当

与

反向时，

④

（实现模与向量内积的相互转化）

两点间距离公式：若

、

，则

⑤

（

与

的夹角

）

⑥

；

（5）

的运算律

①

②

③

注：

（a）

不满足结合律

（b）数量积的多项式乘积类似实数多项式的乘积

6. 平移

（1）图形平移的定义：设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有点按同一方向，移动同样长度，得到图形

，这一过程叫图形的平移。

（2）平移公式

设

，按

平移，对应点

则有

  或

理解：公式中反映的平移可以分解为两步进行。

① 沿x轴正方向平移h个单位

② 再沿y轴正方向平移k个单位

（3）点的平移关系

① 点

按

平移得

② 点

按

平移得

，则

③ 点A按

平移，得

，则

（4）函数、曲线的平移关系

① 图形F：

按

平移，得图形

；

② 图形F：

按

平移，得图形

；

则

③ 图形F按

平移得

则F：

 

【典型例题】

[例1] 设两非零向量

和

不共线

（1）若

，

，

，求证A、B、D三点共线；

（2）试确定

，使

和

共线。

解：（1）

            

故

，所以A、B、D三点共线

（2）

和

共线，则存在

，使

即

，又由

与

为不共线向量，则

且

，解得

 

[例2] 已知

，

（1）计算

和

；

（2）当

为何值时，

与

共线。

解：（1）由

则

，

（2）由

，

            

此时

与

反向共线

 

[例3] 已知向量

，

（1）若

与

共线，求x，y的值；

（2）若

，求x，y的值。

解：（1）由

               

               

（2）

 

[例4] 已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），试求AC与BD交点的坐标。

解：设AC与BD相交于M点，由A、M、C三点共线，设

，则

同理

故

由（2）×2+（1）得

故

，即AC与BD相交于M（6，4）

 

[例5] 在

中，已知

，

，

，过A作AD交BC于D，若AD把

的面积分成

两部分，求D点坐标。

解：

或

由定比分点公式，有

，

故

，

，即

或

，

，即

 

【模拟试题】

一. 选择题

1. 已知

，

，又

为第三象限，则

的值为（    ）

A.

          B.

              C.

              D. 0

2.

，

，

，且

，则

（    ）

A. 5               B.

          C.

           D. 1

3.

，

，

三点共线，则

（    ）

A.

        B.

             C.

          D. 13

4. 已知

，

，若线段与y轴交于点M，则M分

所成的比为（    ）

A.

            B.

            C. 2               D. 3

5. 已知

，

，且

，则锐角

等于（    ）

A.

          B.

          C.

          D.

或

6. 已知

关于点

的对称点是

，则点

到原点的距离是（    ）

A. 4               B.

         C.

        D.

 

二. 填空题

7.

的重心是G，CA中点为M，且A、M、G三点坐标分别为（6，6），（7，4），

，则

         。

8. 平行四边形ABCD中，已知顶点

，B（3，1），对角线AC与BD交于点M（2，2），则顶点C、D坐标分别为          和          。

9. 已知A（2，3），B（1，4），且

，

，则

      。

10. 已知

，

，

，且

，则

         。

11. 已知

，

，

三点共线，则

       。

12. 已知

，

，若线段与

轴交于点M，则M分

所成的比为     。

 

三. 解答题

13. 在

，已知重心G（1，1），BC的中点

，AC的中点E（2，0），求

各顶点坐标。

【试题答案】

一.

1. A  提示：

，又

为第三象限，故

2. D  提示：

，

，

3. C  提示：由

4. C  提示：设

，由

5. B  提示：

，又

，则

6. D  提示：由

，

，

 

二.

7.

  提示：先求C坐标，

，

，再求

，则

8. C（3，5）；D（1，3）  提示：由中点公式

9.

或

  提示：

，又

，则

，

10. 1  提示：

，

，

11.

  提示：由

12. 2  提示：设

，由

 

三.

13. 解：重心G分

所成的比是2，设A点坐标是

，则

即A（3，5）

又由E是AC中点，故C坐标

由D是BC中点，故B点坐标为