角的概念与任意角的三角函数、同角三角函数关系式与诱导公式

 

二. 本周教学重、难点：

1. 理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切、余切的概念；了解余切、正割、余割的定义。

2. 掌握同角三角函数关系的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式。

 

【典型例题】

[例1] 角

的顶点与坐标原点O重合，其始边与

轴的正半轴重合。

（1）若角

的终边上有一点P（

）（

）求

；

（2）已知角

的终边上一点P的坐标为（

）（

）且

，求

。

解：（1）

   因为

所以当

时，点P在第四象限

当

时，点P在第二象限

（2）

由

，所以

所以当

时，

，

当

时，

，

 

[例2] 已知一扇形的中心角是

，所在圆的半径是R，（1）若

，R=

，求扇形的弧长交该弧所在的弓形面积。（2）若扇形的周长是一定值

，当

为多少弧度时，该扇形有最大面积？

解：（1）设弧长为

，弓形面积为

，因为

，R=10，所以

（2）因为扇形周长

，所以

，

所以

所以当且仅当

，即

（

舍去）时，扇形面积有最大值

 

[例3] 设

，

，求

的值。

解：∵

    ∴

    ∵

∴

同理，

∴ 原式

 

[例4] 如图所示，动点P、Q从点（4，0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转

弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转

弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P、Q点各自走过的弧长。

解：设P、Q第一次相遇时所用的时间是

，则

所以

（秒），即第一次相遇的时间为4秒

设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点已运动到终边在

的位置

则

，

所以C点的坐标为（

），P点走过的弧长为

，Q点走过的弧长为

。

 

[例5]（1）若

，求值①

；②

（2）求值

。

解：（1）① 原式

② ∵

∴ 原式

（2）∵

又 ∵

∴ 原式

 

[例6] 已知对于任意实数

，均有

，与

成立，当

时，有

，求

的值。

解：∵

    ∴

∴

∴

∴

∴

∴

 

[例7] 已知

，

，

，

，求

与

的值。

解：∵

    ∴

∴

∴

    ∴

∴

    ∴

    ∵

   ∴

∵

或

   当

时，

∴

    ∴

或

，当

时，有同样的结果

∴

或

，

或

 

[例8] 已知

（1）求

的值；

（2）求

的值。

解：（1）由

，

，得

∴

（2）由（1）知

∴

 

[例9] 已知关于

的方程

的两根为

，求：

（1）

的值

（2）

的值

（3）方程的两根及此时

的值

解：

（1）

 

（2）①式两边平方：

    ∴

由②：

    ∴

（3）当

时，原方程变为

∴

∴

或

    ∵

   ∴

或

 

[例10] 已知

的面积S满足

，且

，

与

的夹角为

（1）求

的取值范围；（2）求函数

的最小值。

解：（1）

①

 ②

：

   即

由

    ∴

    ∴

又

为

与

的夹角    ∴

    ∴

（2）

∵

    ∴

∴

即

时，

的最小值为3

 

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 若角

的终边与直线

重合，且

，又P（m，n）是角

终边上一点，且

，则

等于（    ）

    A.

    B.

    C. 2    D. 4

2. 若

为第三象限的角，那么

的值（    ）

    A. 大于零    B. 小于零    C. 等于零    D. 不确定

3. 已知

为第三象限角，则

所在的象限是（    ）

A. 第一或第二象限                          B. 第二或第三象限

C. 第一或第三象限                          D. 第二或第四象限

4. 对任意的锐角

，下列不等关系中正确的是（    ）

A.

B.

C.

D.

5. 若实数

满足

，则

的值等于（    ）

    A.

    B.

    C. 11    D. 9

6. 已知函数

（

为非零实数），且满足

，则

的值为（    ）

    A. 6    B. 3    C. 2    D. 不确定

7. 已知

，那么

的值为（    ）

    A. 6    B. 4    C. 2    D. 0

8. 若

，则

的值为（    ）

A.

    B.

    C.

    D.

 

二. 解析题：

1. 设

，且

不在同一象限，求

的值。

2. 已知

。

（1）求

的值；

（2）求

的值。

3.（1）已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的中心角；（2）已知扇形周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才使扇形面积最大？

4. 已知

是方程

的两个根中较小的根，求

的值。

【试题答案】

一.

1. C

解析：由

，知角

的终边在第三或第四象限或

轴的负半轴上，而直线

在第一、三象限。

故角

的终边在第三象限     ∴

又 ∵

在直线

上    ∴

同时，

，可得

由

，解得

或

（舍），故

2. B

    解析：

为第三象限的角，∴

，而

，

，故其值小于零。

3. D

    解析：特殊值法，取

或

，则

或

4. D

    解析：若

，

，则可淘汰A、B；若

，则可淘汰C。

5. C

解析：∵

   ∴

    ∴

∴

    

6. C

解析：由已知条件得

∴

7. B

解析：∵

    ∴

   

∴

    解得

或

（舍去）

由

，得

   ∴

8. B

解析：

 

二.

1. 解析：（1）当

在第一象限，

在第二象限时，

（

），

（

），则有

，

（2）当

在第一象限，

在第三象限时，

，

，则有

（3）当

在第二象限，

在第三象限时，

，

，则有

综上，得

2. 解析：（1）

，平方得

整理得

    ∵

又 ∵

    ∴

故

（2）

3. 解析：（1）设中心角是

，半径是

则

或4，故

或

（2）设中心角是

，半径是

，则

当且仅当

，即

时，

∴ 当

时，扇形面积最大。

4. 解析：∵

是方程

的较小根    ∴ 方程的较大根是

∵

   即

∴

   解得

或

，

当

时，

，

当

时，

，

，不合题意

∴

，