数列（二）等比数列

 

二. 知识讲解：

1. 判定

（1）定义法

（

）（

）

（2）等比中项法

（

）

（3）通项法

（4）前

项和法

（

）

2. 性质

为等比

（1）若

，则

（

）

（2）

为

的子数列，

，若

为等差，则

为等比

如

则

仍为等比数列；公比

（3）

中依次

项和仍成等比，公比

如

仍为等比数列；公比

（4）

中依次

项积仍为等比，公比

    

（5）

由

（6）

左式

 

【典型例题】

[例1] 若等比数列

前

项和

，则常数

的值是（    ）

A.

    B. 1    C.

    D. 2

解：

，故

 

[例2] 等比数列

中，已知

，求

解：由

成等比且公比为

可求

 

[例3] 数列

的前

项和记为

，已知

（

），求

的和。

解：当

时，

由已知

于是

故

由

故数列

是以

为首项，

为公比的等比数列，所以数列

是以

为首项

为公比的等比数列

[例4]（96全国文）设等比数列

前

项和为

，若

，求数列的公比

解：若

，则有

，但

，即得

，故

又依题意

，可得

即

由

即

    

∵

    ∴

     ∴

 

[例5] 已知数列

满足条件

，

（

），且

是公比为

（

）的等比数列，设

（

）

（1）求出使不等式

（

）成立的

的取值范围；

（2）求

；

（3）设

，求数列

的最大项和最小项的值。

解：

（1）由题意

，由

上式

，又

，故

（2）∵

   ∴

，故

是首项为

公比为

的等比数列，从而

当

时，

；

当

时，

（3）由

故

记

从上式可知，当

即

（

）时，

随

的增大而减小，故

当

，即

（

）时，

也随

的增大而减小，故

综上知，对任意正整数

，有

故

的最大项

，最小项

注：设

，此函数图象是将

的图象向右移20.2个单位，向上移一个单位而得的。

 

[例6] 设

是由正数组成的等比数列，

是其前

项和，证明

证法1：设

的公比为

，由题设知

（1）当

时，

，从而

（2）当

时，

，从而

由（1）和（2）得

，又根据对数函数的单调性，

得

即

证法2：设

的公比为

，由题设知

，

∵

∴

即

 

[例7] 已知数列

是首项为

，且公比

不等于1的等比数列，

是其前

项和，

成等差数列。

（1）证明：

成等比数列；

（2）求和：

证明：由

成A.P

或

（舍去）

由

即

，所以

成G.P

（2）

 ①

①

得：

②

①－②有：

故

 

[例8] 如图是一个计算机装置示意图，

，

是数据输入口，C是计算结果的输出口，计算过程是由

分别输入正整数

和

，经计算得正整数

，然后由C输出，即

，此种装置完成的计算满足以下三个性质：

① 若

分别输入1，则输出结果为2，即

；

② 若

输入1，

的输入由

变为

，则输出比原来大2，即

+2

③ 若

输入

，

的输入由

变为

，则输出结果为原来的3倍，即

试回答下列问题：

（1）若J₁输入2，J₂输入3，则输出的结果为多少？

（2）若J₁输入1，J₂输入

，则输出的结果为多少？

（3）由C能输出多少个不同的两位数？

解：

（1）由

则

（2）数列

是以

为首项，2为公差的等差数列

其输出结果为

（3）

是关于

的等比数列，首项

，公比3

当

时，

表示的两位数组成了以10为首项，98为末项的偶数数列共45项，当

时，

所表示的两位数已在上述数列中

综上，由C能输出45个不同的两位数。

 

【模拟试题】

一、选择题。

  1. 无穷数列

为等比数列的充要条件是（    ）

    A.

                                  B.

    C.

                   D.

2. 下列叙述中正确的是（    ）

A.等比数列的首项不能为零，但公比可以为零

B.等比数列的公比q＞0时，是递增数列

C.若数列{a_n}为常数列，则此数列为等比数列

D.已知等比数列{a_n}的通项公式a_n= （－2）ⁿ，则它的公比q=－2

 

  3. 一个等比数列的第三、第四项分别是4和8，那么它的第一、第五项分别是（    ）

    A. 2，12               B. 1，12        C. 2，16        D. 1，16

4. 已知{a_n}是等比数列，则在下列数列①{

}②{c－a_n}，c为常数 ③{a_n²} ④{a_2n}⑤{a_n+a_n－1} ⑥{lga_n}中，成等比数列的个数为（    ）

A.2                              B.3                              C.4                              D.5

5. 已知数列a，a（a－1），a（1－a）²，…是等比数列，则实数a满足（    ）

A.a≠1                         B.a≠1或a≠0             C.a≠0                         D.a≠1且a≠0

  6. 某林场计划第一年造林a亩，以后每年比前一年多造林20%，那么第五年造林的亩数是（    ）

    A.

                        B.

    C.

                        D.

  7. 在8和5832之间插入5个实数，使它们构成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是（    ）

    A. 1168                 B. 846                   C. 832                   D. 648

  8.

，则数列a，b，c（    ）

    A. 是等差数列但不是等比数列               B. 是等比数列但不是等差数列

    C. 是等差数列又是等比数列                 D. 既不是等差数列又不是等比数列

  9. 等比数列

，若

，那么这个等比数列的公比等于（    ）

    A.

                 B. 2               C.

                   D.

二、填空题。

  10. 在等比数列中，已知首项为

，末项为

，公比为

，则项数

____________。

11. 已知数列{a_n}中，a₁=2，

=

（n∈N^*），则数列{a_n}的第20项a₂₀=__________.

12. 已知

五个数成等比数列，则

________，

________，

________或

________，

________，

________。

13. 已知等比数列{a_n}中，a₃=－4，a₆=54，则a₉=__________.

三、解答题。

  14. 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数。

 

15. 在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，已知a₁=b₁=1，a₂=b₂≠1，a₈=b₃.

（1）求数列{a_n}的公差和数列{b_n}的公比.

（2）是否存在常数x、y，使得对于一切正整数n，都有a_n=log_xb_n+y成立?若存在，求出x和y；若不存在，请说明理由.

 

【试题答案】

一、

  1. C            2.D         3. D    4.B     5.D     6. B          7. D      8. A      9. D

二、

10.  4              

11.  2²⁰

  12.

  13. －729

三、

    14. 设四个数依次为

    依题意有

    由<2>得：

代入<1>

    整理得：

    解得：

    从而

    故这四个数为0，4，8，6或15，9，3，1。

 

15. 解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

则

或

（2）假设存在x、y，使得a_n=log_xb_n+y成立（n∈N^*），

即1+（n－1）×5=log_x6^n－1+y，

所以5n－4=（n－1）log_x6+y，

（5－log_x6）n－（4+y－log_x6）=0对一切正整数n都成立.

所以

即存在常数x=

，y=1，使得对于一切正整数n，都有a_n=log_xb_n+y成立.