作为当代数学哲学研究的重要议题，对数学真理困境的求解始终是数学实在论和反实在论的论争焦点。随着求解该困境的不断深入，当代数学实在论与数学反实在论之争也不断升温，各自面临的新难题又反映为该困境在当代哲学视阈下的进一步升级。数学实在论作为探讨数学本质的特定视界，不仅能确保数学家在一个确定的、坚实的基础上开展工作，而且为科学家把数学直接应用于科学探索活动中奠定了坚实的哲学基础。因此，本书主要着眼于剖析当代数学实在论发展现状及其难题，深入透视其最新发展和进路，以数学与科学实践为基础挖掘数学与科学的内在结构关联，揭示数学的本质特征，为数学与科学提供恰当的、一致的本体论、认识论以及语义说明，为数学真理困境寻求可能的出路。
对数学真理的探寻与反思一直是数学哲学家研究的主要动力，也是数学哲学研究的核心内容。回答“什么是数学真理”这一问题，关键在于如何为数学本体进行定位。前溯至古希腊时期，柏拉图秉承毕达哥拉斯万物皆数的观念，提出数学是一类特殊对象（抽象对象），独立于物理实例以及人类思想而存在。与之相反，亚里士多德则强调数的从物属性，主张数学应如日常对象那样得到分析。基于柏拉图与亚里士多德对数学先物/从物的不同定位，对其后各时期数学真理观的形成与变迁都具有深刻影响。
这两大传统之间的冲突直至近代在康德那里得到整合。康德将数学定位为先天综合判断，试图在先物与从物之间找到一条中间道路，为数学知识何以可能提供直观说明。康德的《纯粹理性批判》之后直到蒯因的“两个教条”，关于数学是先天综合的这一论断是否正确成为定位数学的焦点论题。经验主义对此提出否定，主张数学真理不是先天综合的，要么是分析的，要么只能是经验的。逻辑主义及某些版本的形式主义等基础主义采取了第一种选择，密尔等经验主义者则采取第二种选择。20世纪30年代初哥德尔提出的不完全性定理宣告了基于逻辑化、形式化、封闭性和完备性的数学基础主义计划无法实现。另一方面，经验主义面临的难题是，如果所有数学知识都是基于对经验的归纳概括，那么数学在极限上的精确性和可能性从何而来？
由此对数学本体先物/从物的定位，呈现为对数学知识进行分析/综合定位的不同真理观，哲学家研究的重点由单纯考察数学本体特征，转移到对数学知识的获得与把握之上。在维特根斯坦的影响下，数学哲学中也出现了语言学转向，卡尔纳普将数学视为一种语言，将数学真理视为由语言约定而来的真理。但数学的约定真理定位，遭到蒯因为代表的经验主义与哥德尔基于直觉概念的批判。蒯因强调所谓先天的与后天的、分析的与综合的真理之间没有明确界限，提倡用包括逻辑、数学和自然科学的整个信念网络来应对自然，主张所有真理都应由经验决定。哥德尔则根据不完全性定理指出，数学真理的内容要超出任何可能的语言约定，它是关于一个独立于物质世界，也独立于我们心灵的数学世界的真理。哥德尔把对数学真理的认识理解为基于我们对抽象数学概念的直觉，试图对这种所谓的数学直觉做出合理说明。尽管蒯因与哥德尔如何获得数学知识的解释各异，但都直接或间接地拥护数学真理的客观实在性。与之相对，一些哲学家在数学本体与真理性问题上放弃了对客观实在性的要求。以布劳维尔为代表的直觉主义者提出，数学没有逻辑上的推演或预先存在的基础，而是依赖直觉获得的、纯粹心灵的构造物。社会建构论者则指出数学只是数学家们的行为，是实践过程中人类思想的自由创造物。
纵观不同时期哲学家对数学真理的揭示，从最初关注数学本体的定位到向对数学知识进行解释的焦点转移，实质上正是数学实在论与反实在论在本体论、认识论与语义学等不同层面的理论探索。以此为基础，我们可把现有数学真理解释大致归为两大类：一类强调数学真理的实在性和客观性，认为数学真理不依赖于人脑的意识而存在，这一思想最早可以追溯到柏拉图，并得到大多数数学实在论者的拥护，如哥德尔、蒯因、弗雷格等，尽管对数学真理的本质有不同定位，但其基本立场是一致的，即数学的真理性以数学对象的存在性为基本前提，无论是一种先物真理、概念真理还是经验真理，他们都承认数学真理的实在性和客观性，为数学提供的是一种实在论的真理解释；另一类真理解释则反对数学对象的客观存在性，反对把数学对象的存在性作为数学真理的基本前提。当然，在这种共识下，这两类数学真理解释间存在着很大差异。比如希尔伯特的形式主义强调数学的真理性在于数学形式体系的一致性，从而也承认数学真理具有客观性，而卡尔纳普的约定论则主张数学的真理性在于数学语言框架内部的协调性，直觉主义者和建构论者则强调数学真理是人类智能的结晶。但可以肯定的一点是，他们一致地否认数学实体的存在性，为数学提供的是一种反实在论的真理解释。两类数学真理解释的本质差异是实在论与反实在论之争在数学真理性问题上的体现。
可以说，实在论与反实在论的数学真理观影响着整个数学哲学研究的进展，而且在一定程度上指导着数学家的研究方法和工作思路。比如实验数学的出现，使得数学研究工作在“证明”之外，引入了同一般自然科学相同的实验方法；又如在微分方程研究领域中数学工作者大量使用构造的方法去探索新的结果。越来越多的数学工作者也逐渐开始关注数学的“证明”方法和“构造”方法的可靠性和真理性，在数学领域内部展开了对数学真理性问题的讨论，并进一步延伸到数学实在论与数学反实在论的论争之中。
正是在这样的背景下，贝纳塞拉夫意识到数学实在论与数学反实在论之争对于阐明数学真理本质所带来的便利及困惑。他把问题的关键聚焦于数学的语言学转向之上，通过对这两类真理观的深入考察，指出人们对于数学真理的解释所遇到的困境之所在。他从全面的哲学立场，探讨了恰当的数学哲学为数学真理提供的解释应该符合怎样的条件。在1973年发表的题为“数学真理”的论文中，他指出对“什么是数学真理”这一问题的回答，完全依赖于人们对数学真理的不同解释。这些解释出于两种截然不同的考虑，一种是想要有一种齐一的语义学理论，关于数学命题的语义学与关于语言中其余部分的语义学并行不悖；而另一种是想要使数学真理的解释与一种合理的认识论紧密地吻合。在他看来，“几乎所有关于数学真理概念的解释，都可被看作是奉行这两种考虑中的某一个，而舍弃了另一个”。①比如实在论的真理解释认为数学对象是客观存在的，是不依赖于人脑的意识而存在的，因而数学命题应该与其他科学语言的命题具有齐一的语义解释。这种以类似的方法看待数学与非数学命题的真理解释，所付出的代价是无法对“我们如何能获得数学知识”这个问题做出恰当的说明。而反实在论则强调数学真理必须具有合理的认识论意义，这样做所付出的代价是不能将这些条件与真正的真值条件联结起来。目前关于数学真理的解释要么是实在论的，要么是反实在论的，这就形成了关于数学知识的两类完全不同的理论。而实在论与反实在论的解释从本质上是不相容的，选择其中一种对数学真理的解释必然会以放弃另一种解释为代价，这一两难境地被人们称为贝纳塞拉夫的“数学真理困境”。
数学真理困境的提出不仅与数学实在论和反实在论之争本质相关，更为突出的特点是它关注数学与科学的关系，要求为数学与科学提供一致的真理解释理论。因此对数学与科学如何定位成为数学实在论与反实在论求解该困境的根本出发点。考察求解该困境的各种进路，表现为基于“科学”、基于“自然”、基于“语言”、基于“语境”与基于“数学”的不同定位。
基于“科学”是以科学实在论为标准或依赖科学实在论来阐释数学真理。蒯因、普特南、菲尔德等都是这一选择下的代表。以科学实在论为基础，蒯因、普特南提出著名的不可或缺性论证，指出数学对于科学是不可或缺的，因此可由科学的实在性确保数学的实在性。菲尔德、叶峰等则因对数学的解释不能满足其对科学实在论的强预设反对数学的不可或缺性与数学的实在性，从而提出数学虚构主义的反实在论。如菲尔德在其1980年的著作《没有数的科学：一种唯名论的辩护》及1989年著作《实在论、数学与模态》试图以时空点等基本物理概念重新书写经典力学，以完全代替数学在物理中的作用。对数学真理的彻底放弃是对数学真理困境的逃避，其方案的可行性与必要性也受到广泛质疑。
基于“自然”是以数学的自然主义为宗旨，强调数学自身发生、发展所蕴含的哲学意义。绝大多数数学哲学家都宣称自己秉承着这一原则，但一以贯之的哲学家是麦蒂。1990年麦蒂在《数学中的实在论》一书中，对传统柏拉图主义进行修正，运用“集合实在论”将数学与感知更为紧密地联系在一起，但对集合论的依赖会面临数学真理的可判定性问题。1997年麦蒂修正了其集合实在论思想，在《数学中的自然主义》中提出数学的自然主义，进一步强调蒯因自然主义的科学实在论对于阐释数学实在论的重要意义，指出自然主义的基本特性是拒斥一切理论之上的或外部的评价。于2007年著作《第二哲学：一种自然化的方法》中她把自然主义贯彻到底，将实践中数学方法置于哲学问题的首位。但割裂数学与科学之间的联系，麦蒂仍需进一步说明何以数学如此特殊，数学方法和数学实践为什么不像其他“非科学”的方法和实践那样受外在观点的批评。
基于“语言”强调语言在阐释本体论问题上的理论优位。赖特和黑尔在其著作《弗雷格的作为对象的数概念》中提出了新弗雷格主义进路，试图重新赋予逻辑以数学基础的地位，对数学真理困境做出回应，指出依据抽象原则、语境原则以及类包含原则，能够为数字概念的获得提供语言学说明，但最终仍未逃脱“凯撒难题”的进一步拷问。
基于“语境”是把语境上升为整个世界观。将语境作数学与科学共同的探讨基底，尝试为数学与科学提供一致的语境论解释。1981年施莱格尔在《哲学与现象学研究》发表题为“语境实在论”的论文，首次提出使用“语境实在”的概念为科学实在论辩护，并在其1986年出版的同名专著中介绍了语境实在论作为现代科学的一种形而上学纲领在知识和真理性问题上的基本特征。1997年山西大学郭贵春教授在《哲学研究》上发表了《论语境》，指出语境实在论的提出既是实在论自身构建的需要，又是实在论与反实在论论争的迫切要求，它不可避免地成为实在论发展的一个极有前途的趋向。2009年郭贵春、康仕慧发表《走向语境论世界观的数学哲学》一文，试图为数学本质、数学的实在性提供一种语境范式。运用语境分析方法能够为数学和科学提供一致的语义解释和认识论说明，使数学语言与一般的自然科学语言具有同样的地位。但语境论在对数学对象实在性的解释中无法揭示对数学对象的认识与把握过程，只能是对已有理论进行诠释与解读，欠缺有效论证。此外，语境的无穷倒退问题也有待进一步阐明。
基于“数学”就是关注数学实践本身，从实践出发挖掘数学的本质。20世纪30年代由布尔巴基学派兴起的数学结构主义，正是这种方案的践行者。他们主张数学的本质在于结构，数学的本性不是抽象、孤立的个体对象，而是数学对象间的结构关系。该学派强调将结构关系作为实践研究方法，更启发一批哲学家与数学家从结构主义出发反思数学的基础以及数学的本质。基于对结构之本质的不同理解，主要出现了三种进路：先物结构主义、模态结构主义与范畴结构主义。在坚持“数学本质即结构”的同时，夏皮罗、雷斯尼克等学者进一步得到数学对象，即“结构中位置”的先物结构主义。但其对先物结构的强调与数学实践不符。事实上，结构主义的初衷正是遵循真正的数学实践，任何基于哲学上的考虑而设置的本体承诺并不值得坚守。换言之，在无须对数学本体做出任何先物承诺的情况下，结构主义仍可以符合真正数学实践的方式得到呈现。因此，可行的出路是要么放弃对数学实践的忠诚，显然没有人愿意选择这样做；要么放弃先物结构主义的本体论立场，进一步反思数学结构的本质，为数学实践提供新的解释，如赫尔曼的模态结构主义。在普特南模态思想的影响下，赫尔曼将模态逻辑与结构主义相结合，试图对算术、分析、代数与几何等数学理论进行重解，通过模态结构主义重塑数学。他强调，我们应避免对结构或位置进行逐个量化，而应将结构主义建立在某个域以及该域上恰当关系（这些关系满足由公理系统给出的隐定义条件）的二阶逻辑可能性上。赫尔曼反对任何形式的本体论化归，以消除对任何数学对象的指称，因此其模态结构主义亦被称为消除结构主义。但对二阶逻辑的依赖导致模态结构主义无法做到脱离对数学的集合论化归，且其重塑数学的动机与可行性也遭到诸多质疑。因此，我们的任务清晰起来，即从数学实践出发，揭示数学的本质特征，努力开拓数学实在论的全新领域，为数学提供恰当的真理解释。
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