学习中经常遇到的数学空间有欧式空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间，今天系统的总结下：
在介绍空间之前，首先需要引入距离的定义（距离除了我们日常所用的直线距离外，还有向量距离、函数距离、曲面距离等等）
其实距离是一个抽象的概念，定义如下：
设X是一非空集合，对X中任意两点x,y，有一实数d(x,y)与之对应且满足：
1、d(x,y) ≥ 0 ，当且仅当x = y时，d(x,y) = 0；
2、d(x,y) = d(y,x);
3、d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y).
那么d(x,y)就可以称为x的一个距离。
一、向量空间
定义了距离后，附加一些线性运算比如：向量的加法、数乘、使其满足加法的交换律、结合律、零元、负元；使其满足书城的交换律、数乘与加法的结合律等要求，就形成了一个线性空间，这个线性空间就是向量空间。
二、范数+各类空间
在介绍范数之前我们需要明确，范数的概念是定义在向量空间中的。
我们来定义范数的概念，它表示某点到空间零点的距离：
1、||x|| ≥ 0;
2、||ax|| = |a| ||x||;
3、||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||;
对比之前所定义的距离的概念，两者的不同点主要在于范数增加了条件2，实际上是一个距离的特例。
其实对距离和范数进行扩展，就已经可以得到两个不同的空间了：
范数集合--->赋范空间+线性结构=线性赋范空间
距离集合--->度量空间+线性结构=线性度量空间
之后我们在线性赋范空间继续扩展，添加内积运算，这样空间中就有了角的概念，也就是：
线性赋范空间+内积运算=内积空间
此时的空间中有了距离、角度 的概念，有限维的内积空间也就是我们熟悉的欧式空间。
在内积空间上进一步扩展，使得内积空间满足完备性，就形成了希尔伯特空间，即：
内积空间+完备性=希尔伯特空间
完备性是指空间中的极限运算不能跑出该空间。
那么巴拿赫空间呢？它其实是对赋范空间的扩展，即：
赋范空间+完备性=巴拿赫空间
来源：数学与人工智能
