第十九章 多变量数据的统计描述与统计推断

多变量数据（multivariate data）:所有指标数据是对同一对象的不同属性进行测量的，它们之间必然有密切的联系，并且往往是作为一个整体来描述观察对象的。与多因素实验数据不同的是，多因素试验的反应变量只有一个，仍然属于单变量方差分析（univariate ANOVA）。

第一节  描述统计量

一、均数向量与离差矩阵

二、协方差矩阵

三、相关矩阵

四、多变量数据的多元正态分布

在多变量统计描述和推断中，通常假定数据服从多元正态分布。多元正态分布也是由总体均数值向量μ和总体协方差矩阵完全决定。

第二节   组间差别分析

一、单组资料比较

1. 对于单变量资料，假定样本观察值服从正态分布，根据样本均数服从正态分布，可采用单组资料的t检验。

2. 当有多个反应变量时，样本均数改为样本均数向量，总体均数改为总体均数向量，样本方差改为样本协方差矩阵，t²即推广为Hotelling T².

3. 根据数理统计结果，当n较大时，F（m，n-m）分布近似地服从自由度为m的χ²分布。

4. 多变量假设检验与单变量假设检验在使用时常常是相辅相成的，多变量检验具有概括和全面考察的特点，而单变量检验容易发现各指标间的关系和差异，两者结合起来所得的结论更加可靠和有意义。

二、两组资料的比较（检验方法为Hotelling T²）

当n较大时，F值近似地服从自由度为m的χ²分布。

与单变量检验类似，在进行两组比较时，仍要求两组总体协方差相等，因此在比较前应作协方差矩阵的检验。

三、多组资料的比较

1. 多变量方差分解

（1）在单变量多个均数的比较中，采用单变量多个均数比较的方差分析的方法。同理，当多个反应变量时，相应的假设检验的方法采用多变量方差分析（multivariate analysis of variance, MANOVA）。

（2）多变量方差分析与单变量方差分析基本原理相同，即将实验结果总离差平方和SS_总分解为SS_组间和SS_组内两部分，只不过多变量方差分析的SS_总、SS_组间、SS_组内均用矩阵表示。

2. 多变量方差分析∧* 统计量

∧* 统计量是Wilks于1932年提出的一种广义方差比，也称Wilks' Lambda 统计量。

∧* =|E|/(|E+H|)

当∧*很小时，说明组间差异H大于随机效应E，应怀疑零假设是否正确。

对两组均数向量做假设检验时，除Hotelling T²外，亦可用多变量方差分析，正如单变量两组均数假设检验，除可用t检验外，也可用方差分析一样。

四、多变量分析与单变量分析的区别与联系

1. 多变量分析是对m个反应变量进行一次假设检验，多采用Hotelling T²检验或MANOVA方法，对组间差别作出推断。在大多数情况下，多变量假设检验结论与对m个反应变量进行m次单变量假设检验（t检验或ANOVA）的结论是一致的，即多变量假设检验拒绝H₀，m次单变量假设检验至少会有一次拒绝H₀。 SPSS、SAS等统计软件也是先给出多变量假设检验结果，再给出单变量假设检验结果，作为多变量分析的补充。

2. 在理论上，单变量假设检验不能代替多变量假设检验，主要因为：

（1）m次单变量假设检验会增加假阳性错误的概率；

（2）单变量假设检验只能说明某一变量在数轴分布上的组间差别，不能反映多个变量在平面或空间上的差别，两者的意义不同，不能相互代替。

第三节  重复测量资料的多变量分析

一、重复测量资料的Hotelling T²检验

1. 重复测量的含义：

（1）在试验条件相同的情况下，对同一总体中的n个受试对象进行r次观测，其目的是为了降低个体差异；

（2）将一个受试对象分成k份，在试验条件相同的情况下观察k次，目的是减少操作中带来的误差；

（3）在部分试验条件变动时，从同一个受试对象身上重复测量m个数据，其目的是为了比较试验条件不同时的差异。

通常把由情形（3）中重复测量所得到的数据称为重复测量资料。

2. 重复测量资料可用方差分析的方法进行处理。

3. 把每个观察对象的m次重复结果看做一个向量，直接采用多变量的Hotelling T²检验^。

Hotelling T²检验是一种常用多变量检验方法，是单变量检验的自然推广，常用于两组均向量的比较。

多元方差分析(multivariate analysis of variance, MANOVA)是单变量方差分析和Hotelling T²检验的推广，用于多组均向量间的比较。

二、重复测量观察资料的轮廓分析

轮廓分析（profile analysis）是其中一种有效的多元分析方法，它可以从总体特征上较快地反应变量随重复因素水平变化的组间比较结果，还可进行重复观测资料的组间轮廓性以及与水平轴（重复因素水平变化轴）的平行性检验。

轮廓分析通常进行（1）组间轮廓相似性或平行性，（2）组间平均水平差异显著性，（3）组内条件变异显著性三个方面的假设检验，如果组间轮廓相似，可进一步分析其他变异，也就是了解组间轮廓是否完全一致（即重合）以及各组的轮廓图是否与水平轴（表示组内因素水平间差异）平行。因此，轮廓分析首选进行的是轮廓相似性检验。

1. 平行检验：检验两总体轮廓是否为平行轮廓。（Hotelling T²检验）

2. 相合检验：检验两个总体的轮廓是否为重合轮廓（coincident profile）。（单变量t检验）

3. 水平轮廓检验：检验两个总体的轮廓是否为水平直线轮廓（level profile）。（Hotelling T²检验）