一谈到数学，我们的第一印象就是严密的推理和演算，就是严谨的逻辑，尤其几何更是如此。培养学生超强的逻辑思维能力（也许还包括计算能力）是许多数学老师最迫切的愿望之一。其实，数学需要的并不仅仅是逻辑，更不仅仅是计算。
数学需要转化、需要演算和推理，这是一般人都能够想得到的，但数学需要联想、想象，甚至猜想却未必是每个人都同意的。因为在多数人的眼里，联想、想象和猜想这些思维方式往往和形象思维、直觉思维联系更为紧密。正因为如此，我们常常本能地、直觉地认为这些思维方式与以逻辑思维见长的数学没有太大关系——事情果真如此吗？
数学是一门由数字、字母、符号、图形和文字构成的特殊的语言符号系统。正因为这个系统的特殊性，使得数学问题的解决不仅仅需要逻辑推理，它还需要多种语言的阅读、理解、转换、表达能力；由于图形和符号在数学中的广泛存在与运用，解决数学问题不仅需要抽象思维，还需要形象思维，甚至是动作思维能力；而直觉又是广泛地存在于不同思维形式之间的特殊思维样式。由此可见，数学思维能力广泛依赖于不同思维形式，是一种整合多种能力和素质的综合水平极高的能力。
无论是综合法、分析法，还是分析综合法；无论是正向思维，还是逆向思维，当我们面对复杂的数学问题或者数学背景时，往往并不能实现思维的贯通和问题的解决。在这个时候，我们就需要联想和想象，通过类比，通过假设来探索思维的中间路径。如果这个问题更加复杂，这个时候，我们常常就需要拿出一点“大胆假设，小心求证”的精神，通过理想化的设计，猜想解决问题的路径，然后进行尝试。
这种猜想往往并不依赖于形象，也不依赖于逻辑，而是一种纯粹的有些“想当然”的设想，是一种以完美、和谐、统一为依归的“无依据”的假设，或者是仅仅依懒于不完全的归纳得出的假设，大概就是人们开玩笑常说的“做梦娶媳妇——尽想美事”的状态。这种猜想说到底是一种理想化的假设，虽然不能成为解决问题的依据，却常常可以帮助我们寻找到解决问题的正确路径。从这里出发，再回归到严密的逻辑，从而确证我们的结论。因此，它不失为一种有效的解题方法。
更重要的是，重视猜想在数学教学中的应用，经常引导学生学习和运用猜想，不但可以帮助我们提高解决数学问题的能力，更重要的是可以帮助我们的思维摆脱僵死的、呆板的状态，让我们的思想更具有活力，更具有灵性，从而提高我们的创造力。
下面我想结合新课程的新增内容《推理与证明》的教学，从它的数学意义与教育价值两个方面和大家一起分享“学会数学猜想、感受数学发现”的实践与探索。
一、《推理与证明》的数学意义
美籍数学家、数学教育家波利亚（1887～1985）的三部著作《怎样解题》、《数学发现》、《数学与猜想》早已风靡全球的事实，充分说明了人们已不再认为数学发现与创造的过程仅是世界顶级数学家的数学游戏，人们不想仅为那些“高深”的数学理论与发现欢呼雀跃，更希望能够分享数学发现的过程、数学探索的方法，即合情推理（归纳推理、类比推理）与演绎推理。由此可见“推理与证明”在数学发现与探索中的重要意义与作用。
通过对问题解决过程、特别是对已有成功实践的深入研究，波利亚发现：可以机械地用来解决一切问题的“万能方法”是不存在的；在问题解决的过程中,人们总是针对具体情况,不断地向自己提出有启发性的问题或提示,以启动并推进思维的进程；因此,他试图总结出一般的方法或模式,这些方法和模式在以后的问题解决活动中起到了重要的启发和指导作用。波利亚很早就注意到“数学有两个方面：用欧几里得方式提出的数学是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学。”因此,他明确提出了两种推理：合情推理与演绎推理，演绎推理可用来确定数学知识，合情推理可用来为猜想提供依据。而且在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。
许多数学问题、数学猜想，包括世界著名难题的解决，往往是在对数、式或图形的直接观察、归纳、类比、猜想中获得方法，而后再进行逻辑验证；同时随着问题的解决，使数学方法得到提炼、数学研究范围得到拓展、使数学不断地前进与发展。费马通过对勾股定理的研究大胆地提出了费马猜想！为了寻找这个猜想的证明方法，许多数学家投入了毕生的精力，在上世纪被英国数学家怀尔斯证明，最终形成了费马大定理。这个被数学家希尔伯特称作会下“金蛋”的老母鸡，本身是用合情推理的方法提出的。在长达几个世纪的探索中，数学家们的创造过程无不蕴涵着合情推理。因此，从某个方面来说，合情推理促进了数学的发现，更推动了数学的发展，最终形成了欧拉定理、哥德巴赫猜想、四色问题等诸多世界数学史上的奇葩。
哥德巴赫猜想是数学皇冠上一颗“明珠”。自1742年提出以来，已历经两个半世纪的探索。虽然至今尚未被人证实猜想的正确性，也无人能够给以否定，但围绕这个猜想所作的研究，却积聚了众多的资料与成果，可以说哥德巴赫猜想的研究，已达到了非常精深的境界。
1742年的一天，哥德巴赫在纸上写下了一串等式：
6=2 2 2,
他终于按捺不住，写信告诉欧拉，说他想冒险发表下列猜想：“大于5的任何自然数，都可以写成三个素数的和。”不久，欧拉回信说，他认为：“每一个不小于4的偶数，都可以写成两个素数的和。”
这就是著名的哥德巴赫猜想。
200年过去了，没有人能够证明这个猜想。
目前世界范围内的最佳结果是由我国著名数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理。
这道著名的数学难题引起了世界上成千上万的数学家的关注。这就是一个好问题的巨大价值，这就是一个好的猜想的历史意义。
1900年8月，不满40岁的数学大师希尔伯特，纵论全局、指点未来，发表了“数学问题”的经典演说，提出了著名的23个数学问题，并留下了一段关于问题（猜想）对数学发展的名言：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。数学研究也需要自己的问题。”
猜想既引导着研究的目标，又表明了社会发展的认知需要。数学史上充满着猜想，可以说：数学是伴随着对数学命题的猜想而发展的。
从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史。这里面，既有伟大的猜想、也有微不足道的猜想；有最终被证明了的猜想、也有最后被否定了的猜想；有很快被解决了的猜想、更有至今还“悬着”的猜想。有许多数学家是猜想家，他们既有非凡的直觉能力，为后世留下一个个饶有趣味的诱人的猜想。特别地，重大猜想的解决过程，往往也带来了数学发展的巨大推动力。
猜想使人的认识摆脱了消极等待的被动状态；猜想在人的认识发展过程中，功不可没、作用巨大。难怪科学家们总是感慨地惊叹：“人类每一次大的成功，都是开始于大胆的猜想。”
猜想的过程即为观察与实验、归纳、类比与联想、直觉与猜想的合情推理的过程，合情推理的实质就是“发现”，即发现新的关系、新的规律和新的方法等。在数学学习活动中，合情推理除了具有发现新的命题的重要作用外，还是探索解题思路，概括、解释新的数学事实和规律，扩展认知领域，促进知识的掌握和迁移，启迪思维和发展数学能力的重要方法和手段。
如果说通过演绎推理可以培养学生的运算能力、空间想象能力和严谨的治学态度，那么通过合情推理则可以培养学生的创新思维能力、创造想象能力、创新实践能力。因此可以说，合情推理是发展和培养学生创新能力的基础和必要条件，是21世纪新型人才应当具有的素质。
二、《推理与证明》的教育价值的实践与探索
著名的美国数学家、数学教育家波利亚提出：“对于学习数学的学生和从事数学工作的教师来说，猜想是一个重要的（但却通常被忽视的）方面，因为：在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容；在你完全做出详细的证明之前，你先得猜测证明的思路；你既要把观察到的结果进行综合，然后加以类比；又要一次一次地进行尝试……我们通常得到的那个证明（或解答），就是这样通过合情推理、通过猜想发现的。”
特别地，是否具有创造性已是衡量人才的重要标准、更是素质教育对能力培养提出的要求，而创造力的培养则有赖于教学中论证推理与合情推理同时并重的思维方法训练。
在第八届国际数学教育大会上，对于20世纪杰出的数学家、数学教育家波利亚建立的合情推理模式以及观察、实验、类比、归纳、化归、猜想等方法在数学发现和创新中所起的作用给予了高度的评价，在全世界范围内形成了广泛的共识。在布鲁塞尔的“发现学习”和上海教科院所推出的“研究性学习”中都对合情推理教学给予了高度的评价。合情推理教学符合我国素质教育的要求。
国际数学课程改革的研究表明：在处理中小学数学思想方法方面有两个基本思路:
第一,主要通过纯数学知识的学习,逐步使学生掌握数学的思想和方法；
第二,通过解决实际问题,使学生形成那些对人的素质有促进作用的基本思想方法,如实验、猜测、合情推理等。
两者相比而言, 后者更多的是一般的思考方法, 具有更广泛的应用性。主要的发达国家也倾向于采用第二个基本思路。
有研究表明：合情推理与演绎推理有着较高的相关性；学生的合情推理的发展与演绎推理的发展也有着密切的联系．因此，数学教学要促使学生的合情推理与演绎推理同步发展．
如果说通过演绎推理可以培养学生的运算能力、空间想象能力和严谨的治学态度，那么通过合情推理则可以培养学生的创新思维能力、创造想象能力、创新实践能力。因此可以说，合情推理是发展和培养学生创新能力的基础和必要条件，是21世纪新型人才应当具有的素质。
而合情推理的实质就是“发现”，即发现新的关系、新的规律和新的方法，在数学学习活动中，合情推理除了具有发现新的命题的重要作用外，还是探索解题思路，概括、解释新的数学事实和规律，扩展认知领域，促进知识的掌握和迁移，启迪思维和发展数学能力的重要方法和手段。
作为数学教育工作者，让我们畅想一下：
当学生感受到“高不可攀”的哥德巴赫猜想是那样“浅显易懂”时；当学生能够类比三角形的面积公式联想到三棱锥的体积公式，又经过思维实验、数据检测、调整证明得到时；特别是当学生能够类比哥德巴赫猜想而提出“自己的素数猜想”，类比自然数的求和公式而得到自然数的平方和公式，又由此猜想得到自然数的立方和公式时，学生的猜想、证明的方法、学生内心的感动、学生的收获与分享都着实地让我们感受到了数学的伟大，更感受到了数学教育的价值与意义！因此《推理与证明》一章的教育价值已经超越了知识与内容本身，而更在于数学的意义与方法！
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