Manhattan Distance Calculation(曼哈顿距离算法)

Thu, 25 Sep 2008 13:59:17 GMT | Permanent LinkComments[1]Visit[69]

 

首先介绍一下曼哈顿，曼哈顿是一个极为繁华的街区，高楼林立，街道纵横，从A地点到达B地点没有直线路径，必须绕道，而且至少要经C地点，走AC和CB才能到达，由于街道很规则，ACB就像一个直角3角形，AB是斜边，AC和CB是直角边，根据毕达格拉斯定理，或者向量理论，都可以知道用AC和CB可以表达AB的长度。

在早期的计算机图形学中，屏幕是由像素构成，是整数，点的坐标也一般是整数，原因是浮点运算很昂贵，很慢而且有误差，如果直接使用AB的距离，则必须要进行浮点运算，如果使用AC和CB，则只要计算加减法即可，这就大大提高了运算速度，而且不管累计运算多少次，都不会有误差。因此，计算机图形学就借用曼哈顿来命名这一表示方法。

在我们常用的平面CAD中，都会有格点，他是基本单位，定义了格点大小后，就可以使用整数来表示和运算，不会引入计算误差，又快又精确。
与此类似，在3维图形学中，空间向量也是用3个单位向量的和来表示的。

欧氏距离：

在二维和三维空间中的欧式距离的就是两点之间的距离，二维的公式是
d = sqrt((x1-x2)^+(y1-y2)^)
三维的公式是
d=sqrt(x1-x2)^+(y1-y2)^+z1-z2)^)
推广到n维空间，欧式距离的公式是
d=sqrt( ∑(xi1-xi2)^ ) 这里i=1,2..n
xi1表示第一个点的第i维坐标,xi2表示第二个点的第i维坐标 

曼哈顿与欧几里德距离: 红、蓝与黄线分别表示所有曼哈顿距离都拥有一样长度(12)，而绿线表示欧几里德距离有6×√2 ≈ 8.48的长度。