应用几何画板中的滑块使函数图象动起来  

几何画板中的滑块，如同电路中的滑动变阻器，在滑块的运动（拖动或定义动画）过程中，滑块对应的数会发生相应的变化，对应的函数图象也可动起来．

例1  分别就a=2， ， 画出函数y=a^x与y=log_ax的图象，并探究方程a^x=log_ax（a>0且a¹1）解的个数（江苏教育出版社《数学必修1》P80例5，以下例题出处相同）．

分析：当a变化时，互为反函数的两个图象究竟有几个交点？这是很具数学美的问题．在初等数学的范畴内用特殊值、靠纸笔作图难于解决这个问题．李巧文老师的列出了25篇相关文章，只有1998年《数学通报》第8期，余炯沛老师利用高等数学的方法得出的结论是对的．但对高一水平的学生，我们可借用几何画板进行讨论．

为能方便使用几何画板的滑块（4.06版几何画板中自带9种滑块工具）解决本例，可按如下步骤操作．

图1

（1）设置滑块：打开几何画板，在自定义工具栏的菜单下，选中滑块工具，在滑块工具栏菜单下，选中可调节的水平滑块（排列在第8个，使用时根据需要调节单位的大小），画板上就出现如图1，拖动空心点a，滑块a就可表示任意一个实数．

（2）作函数f（x）=a^x的图象：在图表菜单下选中新建函数，先选中（1）中的滑块a（画板的对话框中此时有个带阴影的a），再用键盘（也可选中对话框中的小键盘）输入^及x，画板会出现f（x）=a^x，选中f（x）=a^x，按Ctrl G（或选中图表菜单下的绘制函数）得到f（x）=a^x的图象，拉动a，函数f（x）=a^x图象也随之运动．

（3）作函数g（x）= log_ax的图象：几何画板新建函数小键盘上只提供10底和e底的两个对数函数，因此，要用换底公式才能得到g（x）= log_ax，选取函数lg（x）/lg（a），其中a必须是选取（1）中的滑块值，再绘制函数g（x）图象．再拉动a，就可得到表中各个图象．

本例的难点在于，当0<a<1时，函数图象到底几个交点？当 时， 以及y=x上的一个点．为观察3个交点，同时扩大坐标单位长度和滑块单位长度，当a<0.04时，3个交点“原形毕露”．以下是利用滑块和李老师的结论得到方程a^x=log_ax解的个数的结论．

a取值	a取值所对应的图象	交点数
a=2.08Î		0
a»1.45		1
a=1.39Î		2
a=0.52Î		1
a=0.02Î		3

例2：函数y=x²与函数y=2^x的两个图象有几个不同的交点？（P49思考题）

图2

分析：通过作草图和计算，可以找到（2，4），（4，16）以及在（-1，0）之间的一个根，但要相对正确地呈现大于0的，特别是2到4这段图象，手工作图有难度．如图2虚线画的就是两个函数的图象．为了更清楚地显示交点形成的过程，可将自变量用滑块表示，按下列操作可动态生成两个函数的图象．

（1）设置自变量滑块：在滑块工具栏菜单下，选中水平滑块（排列在第2个），按右键，选中度量结果的标签，将滑块命名为x，画板上就出现如图2滑块．

（2）设置函数值：在度量菜单下选中新建计算，依次选中2、^及滑块x的值，画板会出现2^x=1.67；同理依次选中滑块x、^及2，画板会出现x²=0.54，拉动滑块，函数值立即作出相应变化．

（3）绘制点并追踪点：先选中滑块对应的x值，后选中2^x=1.67，再在度量菜单下选中绘制点，画板上会出现一个点．按工具栏中A，再选中刚才画板上出现的点，画板将该点命名为P₁，选中P₁点（如果鼠标没有选中别的，那么P₁点显深红色，表示在自然选中状态），在度量菜单下选中坐标，画板上就显示如图2的点P₁：（0.74，1.76），再在显示菜单下选中追踪绘制的点（必须保证P₁在选中状态），拉去滑块，运动的P₁就可描出函数y=2^x图象．

同理得到P₂点，P₂可描出函数y=x²图象．

说明：①拉动滑块，也可以改成设置动画，具体操作：选中可以拉动滑块的空心点，在编辑菜单下选中操作类按钮，在其子菜单下选中动画，按需要选择各选项后按确定，在画板上就出现运动点按钮，点击按钮，P₁，P₂随x值的运动而运动；②要观察x>4的函数图象，可以将单位点左移（缩小单位）；③画直线P₁P₂的目的是便于观察．

例3  利用计算器分别计算x=1，2，3，……，10时，函数y=x²与函数y=2^x与函数y=log₂x的值，并分析判断当x无限增大时，这三个函数哪个增长得快一些？（P94第15题）

分析：在例2的画板上再添加函数y=log₂x的图象上的动点P₃，设置了滑块的动画，适当缩小单位长度，如图3，按运动点按钮，三个函数值都在增大，从动画中可体会到指数函数 “爆炸”式增长，对数增长的缓慢，幂函数增长速度居中间．

几何画板的滑块工具，体现了几何画板软件的精髓，可动态地提供一些数学情境，使函数图象“动” 了起来，为数学学习提供了一个理想的平台．

参考文献：《中学数学教学参考》06年第4期和第5期连载了李巧文老师的文章，《方程a^x=log_ax（a>0且a¹1）解的个数问题》．

附三个例题对应的课件．

 

编者按：如果你的画板中没有滑块工具，可以自己制作．例如基本水平滑块可以这样制作：

1．取自由点A，把A水平平移到B，作直线AB且在其上取点C，做线段AC（粗线），隐去点B和直线AB；

2．在以A为原点的坐标系中度量点C的坐标，将此坐标的标签改为a，并选中在自定义工具中使用标签，隐去坐标系及网格；

3．把点C向上平移0.4到C₁，以C为中心，把C₁转20⁰得到C₂，再把C₁转－20⁰得到C₂，作三角形CC₂C₃作为拖动的标尺，隐去点C₂、C₃；

4．取中点A、C（不显示标签），线段AC，标尺三角形，点C坐标值a=??，创建新工具即可．