悖论（二）

悖论的含义

在目前的用法中，悖论一词至少有以下4种含义：

1、违反常识，有悖直观，似是而非的真命题。

例如，在数学上喧嚣一时的所谓“无穷小悖论”就是如此：在微积分中的无穷小似零（作为加项可以略去），但又非零（可以作为分母），（表面上）自相矛盾。

2、与公认的看法或观点相矛盾的命题或原则，似是而非，但其中潜藏着深刻的思想或思想。

最典型的古希腊哲学家芝诺提出的四个“芝诺悖论”即“二分法”、“阿基里斯追上龟”、“飞矢不动”、“一倍的时间等于一半”。这里仅以“二分法”为例：假定某个物体向一个目的运动，在它达到该目的之前必须走完这段路程的一半，而要走完这段路程的一半，又要走完这一半的一半；要走完这一半的一半，则要走完这一半的一半的一半，如此类推，以致无穷。

3、从一组看似合理的前提出发，通过有效的逻辑推导，得出一对自相矛盾的命题，它们与当时普遍接受的常识、直观、理论相冲突，但又不容易弄清楚问题出在哪里，这时我们称导出了悖论。

意外考试悖论是这样的：某位教对学生们说，下周我将对你们做一次意外考试，你们在考前不能预先知道考试在哪一天。学生们如此思考：既然下周有考试，该考试必定在周一至周五的某一天。问题：该考试能够安排在周五吗？如果它被安排在周五，则周一至周四都未考试，我们就可推算出考试在周五，该考试不再令人意外。故该考试不能安排在周五。

故该考试不能安排在周五。同样，该考试也不能安排在周四。因为，如果它被安排在周四，则周一至周三都未考试，我们就可预先推算出在周四或周五；已知考试不能在周五，故只能在周四，该考试也不再令人意外。类似地，可以论证其余三天都不可能安排考试。学生们由此得出结论：这样的意外考试不可能存在。但事实是：该教授在下周随便某一天突然宣布：现在考试，也确实大大出乎学生们的意料之外。由此得到一个矛盾：意外的考试既可以进行，又无法实施。

4、悖论是指从一组看似合理的前提出发，通过看似正确有效的逻辑推导，得出了一个由互相矛盾的命题构成的等价式：P←→¬P.

这种悖论最典型的是“强化的说谎者悖论”和“罗素悖论”。前者是指这样一种情形：一个人说了唯一一句话：“我正在说的这句话是假的”。请问这句话究竟是真还是假？如果这句话是真的，则它说的是真实的情形，而它说它本身是假的，因此它是假的；如果这句话是假的，而它说它本身是假的，因此它说了真实的情形，因此成了一句真话。