希尔伯特23个数学问题与世界七大数学难题
而从数学史上看，某一阶段的数学猜想的总结与重接提出又往往引领着数学的发展与方向。
数学巨匠大卫·希尔伯特在1900年8月8日于巴黎召开的第二届世界数学家大会上的著名演讲中提出了23个数学难题。在过去百年中激发数学家的智慧，指引数学前进的方向，其对数学发展的影响和推动是巨大的，无法估量的。其中，除了第8、9、15、16个问题未解决或部分解决，其它大部分已经解决。
大卫·希尔伯特
然后，在过了百年后的2000年，根据数学一世纪以来空前的发展，美国克雷数学研究所的科学顾问委员会又选定了七个“千年大奖问题”，克雷数学研究所的董事会还建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得一百万美元的奖励。
这七个“世界难题”是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨·米尔斯理论、纳卫尔-斯托可方程、BSD猜想。这七个问题都被悬赏一百万美元。（下期推送介绍）
同样的，“千年大奖问题”一经提出，便在世界数学界产生了强烈反响。这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动。
至今，已有一个被解决，即庞加莱猜想由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼破解，还剩六个。
不过，现在看来，能解决这些猜想的数学家都不是一般的怪才。这位谜一样的天才格里戈里·佩雷尔曼同样不一般，千禧数学奖颁奖时他不在场，他还拒绝了数学界的最高荣誉——菲尔兹奖，这可是许多数学家们毕生所追求的无上荣誉。
格里戈里·佩雷尔曼
大数学家也有猜错之时
当然，既然是猜想，也就有猜错的可能。
更甚者，若是大数学家自己猜错，可能就带来后世数学家几百年的折腾。
下面，我们不妨领略一二。
毕达哥拉斯
首先出场的，就是大名鼎鼎的毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯学派是数学史上最早以理性的逻辑思维，即从数理的角度探求自然本原的学派。
不过，他们所谓的“一切数”是均可表成整数或整数之比的数（即我们所知的有理数）。得出这个结论，当然不是演绎推理的结果，而是基于经验基础和其哲学思想基础上的一个归纳总结。在数学层面上看充其量就是一个数学猜想。
因为毕达哥拉斯神一般的地位，当时，无人怀疑。
然而，戏剧性的是毕达哥拉斯学派从数学问题本身出发的推导出了毕达哥拉斯定理（即勾股定理），于是，注定成了自己数学信仰的“掘墓人”。
其学派中的一个成员希帕索斯在利用毕达哥拉斯定理研究边长为1的正方形时，发现其对角线的长度无法用整数或整数之比来表示，也就是说，这个数并非他们学派一直信仰的“数”。这就是数学史踢出的第一个乌龙球“根号2”。
不过，这个现在中学生习以为常的一个数，在当时社会的出现，不管是对数学，还是哲学，都是一个致命的打击。该学派领导人惶恐之余，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，也动摇了他们对数的信仰。于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒，于是希伯索斯被残忍地扔进了大海。这个希伯索斯算是史上有记载的第一位为真理献身的数学家了。
他们猜错了，还不认错，这才是真正可悲的事。
当然，数学真理终究是无法隐盖的。这个根号2最终导致了数学史上第一次数学危机的发生，也让人们发现了无理数的存在。
费马
还是那位提出费马大猜想的费马先生。他发现：
前5个都是素数，因为第6个数实在太大了，费马认为这个数也是质数。由此，费马于1640年提出了以下猜想：形如
的数都是质数的猜想。后来人们就把形如
大家要知道，探寻这个式子在数学史上的意义。几千年以来，人们都在苦苦探寻数学DNA——素数的普遍公式，甚至连这样的式子到底存不存在都是个问题，所以，当费马提出这样一个能表示素数的公式，必然引起人们的兴趣与关注。
1729年12月1日，还是那位哥德巴赫（哥德巴赫猜想的提出者）又给欧拉写了一封信，问道：“费马认为所有形如
这位数学爱好者哥德巴赫虽然没有研究什么大的数学问题，但绝对算是数学史上的一位福星，不断发现并提出问题，从而意外推进数学的发展。
再说这位欧拉，1732年，年仅25岁，但已经于前一年获得物理学教授的职位，再过两年就将接替他的老师丹尼尔成为数学所所长 。就这样，这个天才数学家在费马死后67年得出F5 =641×6700417，这一结果意味着F5 是一个合数，从而宣告了费马的猜想是错的。
马也有失前蹄的时候啊！
费马，这位伟大的数论天才看来过于相信自己的直觉，轻率地做出了他一生唯一的一次大的离谱的错误猜测——因为，迄今为止，费马数除了被其本人所证实的那五个外竟然没有再发现一个！
于是，人们又开始了另一猜想：在所有的费马数中，除了前五个是素数外，其他的都是合数。
至于这个猜想，至今，仍不得而知。
欧拉纪念邮票
欧拉在研究费马最后定理（前面提到的费马猜想）时引出一个猜想，每个大于2的整数n，任何n- 1个正整数的n次幂的和都不是某正整数的n次幂。即，
比如，当n=4时，即
二百年来，没有人能证明欧拉猜想，但也没有人能找出一个反例来否定它。
直到1966年，L. J. Lander和T. R. Parkin找到了第一个反例：
接着于1988年，哈佛大学的 Noam Elkies 又发现n=4时的一个解：
同时，Noam Elkies 也证明了这个方程有无穷多个解。
自此，欧拉猜想也有了结论，大数学家也有猜错的时候。
梅森
最后，我们再来提一下梅森数。
17世纪法国著名的僧侣数学家马林·梅森（Mersenne）在欧几里得、费马等人有关研究的基础上对2p－1（数学界把这种数称为 “梅森数”，并以Mp记之。）作了大量的计算、验证，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：
因为梅森的地位，同样地，250年来，人们对其断言也是深信不疑。
直到1903年，哥伦比亚大学的数学家科尔（Frank Nelson Cole,1861～1926）在美国数学会的一个会议上作了一篇《论大数的因式分解》。只见，科尔写下了267 -1=147 573 952 589 676 412 927=193 707 721×761 838 257 287。
于是，梅森猜想这个百年神话顷刻间破灭。
数学猜想的证明之路漫漫，数学猜想的提出也必将继续不断。只是正如Simon Singh在其所著的《费马大定理：一个困惑了世间智者358年的谜》所言：“这里的教训是，你不能通过只对前一百万个数字来证明一个猜想对所有的数都成立。”
数学就是这么较真！
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