'我想对数学和物理学之间的关系发表一些看法'
1965年，理查德·费曼（Richard Feynman）在康奈尔大学（Cornell University）举行的'数学与物理学的关系'信使系列讲座中，'伟大的解释者'谈到了他发现的数学与物理学之间的主要区别。 他的思想总结如下。
'数学家准备了可以被'使用'的抽象推理，即使他们不知道它被用于什么。'
首先，费曼解决了研究数学的人在认识论分析水平上的差异，特别是选出了数学家：
数学家仅处理推理的结构，他们并不真正在乎他们在说什么。他们甚至不需要知道自己在说什么，也不必知道自己说的是真的。
接下来，他将描述形式系统的可计算性的性质，以及人造机器推论人类自己无法理解的定理的理论可能性：
现在，我解释说，如果您说公理说“某某事物如此”和“某某事物如此”，那该怎么办？这样就可以在不知道“某某某物”一词含义的情况下进行逻辑运算。也就是说，如果有关公理的陈述是正确的，即经过精心制定和完善，那么进行推理的人就不必具有对这些词的含义的任何了解。他将能够用相同的语言得出新的结论。如果我在其中一个公理中使用三角形一词，结论中可能会有一些关于三角形的陈述。而做推理的人甚至可能不知道三角形是什么！但是，然后他可以读回自己的东西，然后说：“哦，一个三角形，那只是一个三边形的东西，等等”，所以我知道了这个新事实。换句话说，数学家准备的抽象推理就是准备“被使用”。
这与物理学分析的认识论水平相反：
物理学家对所有短语都有意义，而且有一个非常重要的事情是，许多学习物理学但不来自数学的人都不懂：物理学不是数学，数学不是物理学。一个可以帮助另一个。但是，您必须对单词与现实世界之间的联系有所了解。如有必要，最后将您想出的内容翻译成英文，再放入要进行实验的铜块和玻璃块的世界中，以找出后果是否正确。这是一个根本不是数学问题的问题。我已经提到了唯一的其他关系. 当然，很明显，已开发的数学推理是如何发挥巨大作用并在物理学中得到使用的。另一方面，有时物理学家的推理对数学家很有用。
费曼停在那里没有做进一步的解释，但其中包括的一个相关示例是爱德华·维滕在正能量定理方面的工作，他因此被授予菲尔兹奖。 在关于爱德华·维滕作品的论文中，数学家迈克尔·阿提亚（Michael Atiyah）随后描述了其对数学的重要性：
他以数学形式解释物理思想的能力非常独特。 他一次又一次地通过对物理洞察力的出色应用，而产生了新的深刻的数学定理，使数学界感到惊讶。[H] e对当代数学产生了深远的影响。 在他的手中，物理学再次为数学提供了丰富的灵感和见解。' —迈克尔·阿迪耶（Michael Atiyah）
'数学家喜欢使他们的推理尽可能地笼统'
Feynman继续幽默地讨论数学的适用性，与大多数物理学家的兴趣形成鲜明对比的是：
如果您说“我有一个三维空间”，然后问数学家有关定理，然后他们说“现在看，如果您有n个维的空间”，那么这里就是这些定理。”我只想要三维的情况……”“好吧，然后代换n = 3！”。事实证明，它们具有的许多复杂定理要简单得多，因为它们恰好是特殊情况。物理学家总是他对特殊情况感兴趣，对一般情况不感兴趣，他在谈论某些事情，他不是在抽象地谈论任何事情，他知道他在说什么，他想讨论新的引力定律，他不想要武断的力量因此，要进行一定程度的简化，因为数学家已经为各种各样的问题准备了这些东西，这是非常有用的，后来总会发现，可怜的物理学家必须回来并且说“对不起，您想告诉我这四个维度。”
'可怜的数学家没有指导，但论点上精确的数学严谨和谨慎'
Feynman接下来谈到了这两个主题的发现过程，强调物理学家从某种本质上说，应用了他们的主题而不是纯粹抽象的优势：
当您知道您在说什么，这些东西是力量，这些东西是质量，这是惯性等等时，您就可以使用很多常识性的，关于凭借经验的感觉世界。您已经看过各种各样的东西，或多或少地知道了现象的表现方式。可怜的数学家他将其转换为方程式，符号对他没有任何意义，他没有指导性，但精确的数学严谨性和关心论点。鉴于物理学家或多或少地知道答案的去向，他们会走出来并进行一些猜测，然后很快就进行下去。精确度很高的数学上的严格性在物理学中不是很有用，现代态度也不是。在数学中看公理。现在，数学家可以做他们想做的事，不应批评他们，因为他们不是物理学的奴隶。不必要仅仅因为这对您有用，他们就必须这样做。他们可以做自己想做的事，这是他们自己的工作，如果您想要其他东西，那么您可以自己解决。
费曼在这里认为，由于物理学关注自然现象，因此人类在这一领域具有更好的直觉倾向。 这与描述某些数学定理的过程有些相反，包括John Forbes Nash Jr.关于非线性偏微分方程的发现：
1950年代的数学家们知道使用计算机来求解常微分方程（ODE）的相对琐碎的例程。 然而，还没有建立解决非线性偏微分方程的方法，例如在喷气发动机的湍流运动中出现的方法。
然而，到1958年春季，纳什能够使用自己的发明方法获得基本的存在性，唯一性和连续性定理。 令人惊讶的是，这些方法涉及'将非线性方程式转化为线性方程式，然后通过非线性手段进行攻击' –彼得·拉克斯（Peter Lax）密切关注他的进步，这是以前从未有人想到的'天才之笔'。 关于这项技术，隆德大学数学教授，偏微分方程专家拉尔斯·高丁（LarsGårding）随后类似地宣布：'要做这一点，你必须是个天才'。
Feynman接下来讨论了物理中模型的有用性，以及它们在进行新发现的过程中似乎缺乏有用性：
接下来的问题是，我们是否应该在尝试制定新定律时进行猜测，是否应该使用凭借经验的感觉和哲学原理，即“我不喜欢最低限度的原则，我愿意例如最低限度的控制”或“我不喜欢远距离的动作，或者我喜欢远距离的动作”。问题是模型在多大程度上有所帮助。这是一件非常有趣的事情。模型经常会提供帮助，物理老师经常会尝试讲授如何使用这些模型，并对事情的发展有很好的物理感觉。但是，最伟大的发现总会从模型中抽象出来。它从来没有做过任何事情。麦克斯韦的电动力学发现首先是在惰轮和太空中的其他所有物体上，使用了许多假想的轮子完成的。如果您摆脱了所有的闲人和太空中的所有其他东西，那事就好了。狄拉克仅通过猜测方程即可发现相对论的量子力学定律。猜测方程式的方法似乎是猜测新定律的一种非常有效的方法。这再次表明，数学是表达自然的一种深层方式，而试图以哲学原理或在经验的机械感觉中表达自然并不是一种有效的方式。
奇怪的是，费曼继续预测，在将来的某个时候，世界的本质将不会以数学语言表达。 相反，将有其他表达自然如何运作的方法，这需要较少的计算：
我必须说，我经常做出一个假设，即物理学最终将不需要数学陈述。机械最终将被揭示。总是令我感到困扰的是，尽管有这些本地业务，但根据法律以及我们今天对它们的理解，无论一个空间区域多么微小，时间区域多么微小，发生的一切都需要计算。进行无数次逻辑运算以找出答案。现在，在这么小的空间中如何进行所有操作？为什么要花无穷的逻辑来弄清楚一小段时空将要做什么？因此，我经常做一个假设，即法律最终将变得像棋盘一样简单，并且所有复杂性都来自规模，但是，这与其他人做出的其他猜测具有相同的性质。 上面写着“我喜欢”，“你不喜欢”。对这些事情过于偏见是不好的。
接下来，Feynman引用了James Jean爵士的话，并提到了小说家和物理化学家C. P. Show在讨论物理数学时的著名著作'两种文化'：
总而言之，我想用詹姆士·简斯爵士的话说：“这位伟大的建筑师似乎是一位数学家，而对于那些不懂数学的人来说，要想真正地感受到一种真实的感觉是非常困难的。感受大自然的美。” P. Snow谈到了两种文化。我真的认为这两种文化是有过和没有过足够了解数学的经验，来一次欣赏自然的人，这很糟糕，必须要数学并且对某些人来说数学很难。当其中一位国王试图向欧几里得学习几何学时，他抱怨说这很困难，欧几里德说：“没有通往几何学的皇家之路”。
'也许视域有限，使这些人可以想象感兴趣的宇宙的中心是人。'
最后，费曼谈到了物理学家掌握数学的需求，以便能够发现有关自然的新发现，并指出数学对于我们当前对世界运转方式的理解至关重要：
作为观察这些事物的人们，我们不能像物理学家那样将其转换为我们拥有的任何其他语言。如果您想讨论自然，了解自然，欣赏自然，则有必要找出她所使用的语言。她仅以一种形式提供信息。我们并没有那么谦虚，以至于“要求她更改”，然后再进行任何关注。在我看来，您可以提出的所有理智论点很少会充耳不闻。世界上所有的知识论据都不会说服“其他文化”的论点。那些试图通过定性地告诉你这件事来教你的哲学家。我，正在尝试描述它，但是因为不可能，所以无法传播。我们正在充耳不闻地交谈，也许是因为视野有限，使这些人可以想象感兴趣的宇宙的中心是人。
本文是每周在中等刊物Cantor's Paradise上发表的一系列与数学相关的故事的一部分。 感谢您的阅读！
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