赌博与投资：21点的老故事 & MIT的一位年轻数学讲师-Edward Thorp

1960年代初，一位名叫索普（Edward Thorp）的美国数学家利用刚出现不久的计算机找到了21点游戏中的机会，发展出一套通过计牌（card counting）打败赌场的方法。索教授理论付诸实践，用自己的计牌法连连大胜赌场，很快上了黑名单，眼看赌不成了，于是索某人就写了一本书！
 
索普的《战胜庄家》（Beat the Dealer）狂销70万册，荣登《纽约时报》畅销书榜（想起了我的《乱世华尔街》，惭愧中...），版税收入远远超过了赌博所得。 这也再次说明一个道理：卖铲子比挖金子容易赚钱。
 
索普计牌法的原理并不难。 先讲讲21点的规则：玩家和庄家（赌场）对赌，看谁手中牌的点数之和更接近（但不能超过）21点。 10，J，Q，K都算十点，2至9 按各自点数计算，A可以算1点也可以算11点。 例如下面的一手牌可以算8点，也可以算18点。
牌局开始，玩家和庄家各发两张牌，庄家的牌一明一暗（例如下图）。 然后玩家先做决定：可以抓牌，做加倍等特殊行动，或在任何时候选择“停”。如果玩家超过21点（爆牌）就直接输了，否则“停”后轮到庄家行动。 庄家不能“见机行事”，只能按固定规则：手中的牌达到17点或以上必须“停”，否则必须抓。最后双方比谁的牌更接近21点。
此外还有个特殊规定：一张A和一张十点牌（10，J，Q，K）叫“黑杰克”（Blackjack），拿到者直接取胜。 如果玩家拿到黑杰克，可赢取1.5倍筹码。庄家拿到黑杰克只能赢取1倍筹码。
 
很明显，21点游戏中庄家和玩家各有优势。 庄家的优势在“后发制人”：玩家如果先爆牌，庄家可以不战而胜。 而玩家的优势在于灵活机动，可以根据自己的牌和庄家暴露的那张牌决定战术。此外，黑杰克3：2的赔率也有利于玩家。
 
十点牌和A越多，出现黑杰克的机会越多，也越容易爆牌，玩家“机动灵活”的优势更有价值。 反之，3，4，5，6等小牌越多，爆牌的可能性越小，对庄家比较有利。索普时代的21点多用1副或2副扑克牌，当牌刚洗好时，赌场占据0.5%左右的概率优势。 妙处在于，随着牌局进行，某些时候大牌和A的比例会变高，概率会转为对玩家有利。 索普战胜赌场的方法就是：通过计牌估算概率，当形势有利时下大赌注！
 
一代宗师索普发明了计牌法，又写了一本畅销书，然后大彻大悟，上华尔街发财去了，后来又在对冲基金领域闯出了一片天地。 索某达人也！
 
至于赌场这边，从此出现了一批掌握了索氏武功的“计牌客”(card counters)。 赌场方面想尽办法将计牌客拒之门外，计牌客们则挖空心思突破封锁。 猫和老鼠的游戏玩儿了几十年，90年代前后，江湖上又出了一桩奇事。
话说索普之后，赌场多了个抓计牌客的麻烦事。 时间一长，赌场方面逐渐积累了一个黑名单。 如果名单上的人在21点牌桌上被认出来，通常会马上被“礼送出境”：您上别处玩儿去吧！
 
八十年代某个时期计牌“案件”高发，赌场雇来的侦探把各处收集的黑名单放在一起研究，发现了一条重要线索：不少计牌客的住址都在麻萨诸塞州剑桥市附近！ 麻省剑桥您也许没听说过，但位于此地的两所大学您不可能没听说过：哈佛、麻省理工（MIT）。 难不成那帮研究相对论的智力超常同学们盯上了赌场？
 
后来真相逐渐浮出水面，果然有个以MIT学生为主的计牌团伙！ 这是个“商业化”运作的组织：有人出赌本，有人负责管理，有人上阵计牌，整个“投资”和“风险控制”模式颇有对冲基金的风范。 团伙“作案”的最大好处是可以避免单个赌客面临的风险：21点输赢波动性很大，任你技术再高，短期内运气不好也可能输光赌本，集团作战能分散这种风险。 此外，MIT赌客们还使用了某些“多人战术”。 比如，迈克尔负责计牌，每把只押小注，当形势有利时就抛出预先约好的暗号，此时扮作阔少的詹姆斯走过来，一把押1000美元。
 
MIT团伙前后运营了十几年，MIT和哈佛等学校都有人参与，其中还有得过奥赛金牌的中国人。 铁打的营盘流水的兵，反正麻省剑桥一带最不缺的就是数理天才。 该团伙的盈利据说以百万美元计，后来还有个作家专门把MIT团伙的事迹添油加酱写成了一本书，也上了《纽约时报》畅销书榜 —— 又一个卖铲子挣钱的。
 
到了九十年代中期，美国经济一片荣景，团伙成员们纷纷前往硅谷、华尔街等处发展，MIT计牌团伙也就渐渐风流云散了。 这似乎也证明了一个道理：年轻人有正经事做，“犯罪率”就会降低。
 
又过了若干年，来自中国的渔阳同学偶然接触到21点计牌这回事，大感兴趣。 我那时候土，没听说过索普，也不知道索宗师的书只卖十几块钱一本，花了100美元从一个叫卡多萨的大忽悠手里买了本所谓“秘籍”。 虽然被卖高价铲子的宰了一刀，毕竟是有了铲子，我也要去赌场挖金了！
 
但此时的江湖，已不是当年的那个江湖了。
学会了计牌方法后，我兴致勃勃地前往拉斯维加斯小试牛刀。 结果还真不错，赢了厚厚的一叠百元大钞，这21点还真是个金矿啊！我住在纽约，不可能总去拉斯维加斯挖金，好在纽约附近也有美国第二大赌城大西洋城，于是我就成了那儿的常客。 赌了一段时间后，我渐渐发现大西洋城的“金砂”不好淘，我总体上只能小胜，而且输赢的波动性很大。 仔细研究了一番之后我才发现：这大西洋城跟拉斯维加斯可不一样。
 
前面讲过，计牌客主要是看大小牌在剩余牌张中的比例，大牌比例高于正常时就下大赌注。 显然，在两种情况下比例最容易变高，第一种是剩余牌不多的时候，第二种是21点游戏只使用1-2副牌时。 索普时代的21点赌局正好具有这两个特点：只用1-2副牌，而且发牌员（dealer）会将牌几乎用光才洗牌，所以大牌比例时常变高，计牌客有很多机会在形势有利时下大注。
 
赌场方面自然也有高人出谋划策，明白对计牌最好的“软防御”就是设法控制大小牌比例的波动，于是赌场就使出了两条毒计。 第一是增加21点的用牌，从1-2副普遍改为6-8副。 很明显，牌一多，大小牌比例就不容易变。 第二是提早洗牌，避开比例最容易波动的情况。 拉斯维加斯赌场多，竞争激烈，赌场为了揽客还保留了一些1-2副牌的21点游戏，我赢钱主要就是在那些赌局中。 而大西洋城地理位置得天独厚，纽约、华盛顿、费城三个人口密集区的赌客都往那跑，赌场不愁没生意，因此21点游戏的规矩特别“黑”：基本都是8副牌，而且洗的很勤。 大小牌比例变高的频率低了，自然也就不容赢钱了。
 
原来我的江湖，已不再是索普当年的江湖。
 
虽然如此，但比例还是有变高的时候，我对赌场也还有赢面。 前面讲过“大数定律”：只要有赢面，理论上讲一直玩下去最后还是我赢。 但理论归理论，实践中有个重要制约：我的赌本有限，输光了就不能玩儿了。大数定律只是说“革命最终会胜利”，可没担保你不会在“革命胜利前牺牲”。 21点输赢波动性那么大，要是赶上一只“黑天鹅”（Black Swan, 指微小概率事件）不就“光荣”了吗？
 
假设我只有一万美元赌本，好不容易等到我方对赌场占据了1%的概率优势，现在发牌员说：
 
“Place your bets.”（请下注。）
 
我押多少呢？ 20美元？ 平均才赢2毛钱，没啥意思。 押2000美元？ 赶上一只不太黑的天鹅（连输5把）我就输光了。 看来20美元太少，2000美元太多，最佳赌注应该在两者之间。 究竟应该押多少呢？
 
一位高人早就给出了答案。
上次说到，形势有利时如何下注很需要技巧。 押太少了浪费机会，押太多了“牺牲”的风险大增。 什么才是不多不少的合适赌注呢？ 1956年，科学家凯利（John Kelly）就此发表了论文，提出了著名的凯利公式。
 
f* = (bp - q) / b
           
其中，f* = 投注金额占总资金的比例
p = 获胜的概率
q = 失败的概率，q = 1-p
b = 赔率，例如在轮盘赌中押单个数字，b = 35，押红黑，b = 1。
 
上篇中讲到的21点下注问题，假设总赌本10,000美元，玩家取胜的概率是51%，赔率1：1（实际胜率和赔率略有偏差，但相距不大），那么凯利公式给出的最佳赌注是：
 
$10000 * (1 * 0.51 - 0.49)/ 1 = $200
 
 
我知道很多人看到数学公式就头大，但要玩好赌博和投资没法不用到数学。 最重要的不在于带公式计算数字，而是要弄明白公式背后真正的“意思”。
 
首先，公式中分子的bp - q 代表“赢面”，数学中叫“期望值”(expectation)，凯利公式指出：正期望值的游戏才可以下注，这是一切赌戏和投资最基本的道理，也就是前面讲的“没有把握，决不下注”。
 
其次，赢面还要除以“b”才是投注资金比例。 也就是说赢面相同的情况下，赔率越小越可以多押注。 这一点不容易直观理解，我们用个例子来说明。 下面三个正期望值的游戏，你看看选哪个：
 
1. “小博大”：胜率20%，赢了1赔5，输了全光。bp - q = 5*20% - 80% = 20%
2. “中博中”：胜率60%，1赔1。bp - q = 1*60% - 40% = 20%
3. “大博小”：胜率80%，1赔0.5。bp - q = 0.5*80% - 20% = 20%
 
三个游戏的数学期望值一样，都是20%，或者说押100元平均赢20元。 按大部分国人的赌性，恐怕会选“小博大”游戏吧？ 但是用凯利公式中的“b”一除，“小博大”游戏只能押总资金的4%，“中博中”可以押20%，“大博小”可以押40%。 赢钱速度“大博小”快多了！ 前面不是讲过“久赌必赢的游戏应该选波动性小的”吗？ 说的就是这个了。
 
现实中，爱玩“小博大”的多半是赌客。 谁爱玩“大博小”呢？ 赌场！ 华尔街的职业投资家们很多玩的也是“大博小”，因为便于使用杠杆（押大赌注）。 关于这点后面还要详细讲。
 
最后，凯利公式指明了风险控制的至关重要性：即便是正期望值的游戏也不能押太大的赌注。 从数学上讲，押注资金比例超过了凯利值，长期的赢钱速度反而下降，还会大大增加出现灾难性损失的可能性。 举个极端的例子，如果你每手都押上全部资金，那么不管你赢过多少钱，只要输一次就立刻破产。正所谓：辛辛苦苦几十年，一夜回到解放前。
 
为什么投资界赔到倾家荡产的尽是一些局部技术不错的老手呢？ 原因多半在“赌注太大”。 上世纪初有位大宗师级别的投机客一世英名就毁在了这上面。
在凯利公式问世16年前的1940年11月28日，一位曾经威震华尔街的独行侠在纽约沃尔道夫饭店的衣帽间里拔出了手枪，他匆匆给妻子留下了一张便条：“...我已厌倦了战斗...这是唯一的解脱。”然后饮弹自尽。
 
杰西-利弗莫尔（Jesse Livermore），不朽名著《股票作手回忆录》的主人公，就这样悲凉地结束了传奇的一生。
 
如果你还没看过《股票作手回忆录》（Reminiscences of a Stock Operator），我强烈建议补上这一课。 不少世界级的对冲基金经理都极为推崇此书。 跟随主人公的人生起伏，你可以领略百余年前纷乱而又生机勃勃的美国金融市场的风貌，并惊诧于世间竟有利弗莫尔这般奇才。 他身处“原始时代”，居然总结出了许多现代投资者奉为经典的规律：诸如赚钱时才可加码，亏钱时应当止损，不要轻信他人观点或所谓“内幕消息”，以及一套完整的“坐庄”手法。 更令人叹服的是，利弗莫尔不但是理论家，而且是实践家。 他的交易人生几起几落，从白手起家到1907年时的数百万美元身价，再到1929年时的1亿美元身价！ 那时汽车才卖几百美元一辆，利弗莫尔完全靠交易赚到的1亿美元相当于今天的100亿美元以上！
 
这样一位不世出的奇才后来却在市场上尽失巨额财富，最后演出了本文开始时那悲凉的一幕。利弗莫尔是怎么走的麦城呢？ 文献并无具体记载，但如果仔细分析他的交易习惯，就不难发现蛛丝马迹。
 
利弗莫尔的交易生涯始于Bucket Shop（可意译为“股票赌场”）。 19世纪末，美国股票市场十分活跃，而技术进步使远离纽约的普通人也有机会“实时”参与股票投机：与电报线相连的自动报价机可以随时将纽约交易所的最新成交价传遍全国。 当时很多人想参与投机，但缺乏买卖股票的资金，奸商们借机将这批人吸引到“股票赌场”。 赌场中有自动报价机，玩家们似乎在交易股票，实际上是在赌大小。 举个例子，某股票的最新报价是80美元，玩家只需交纳1美元保证金就可以买“大”，如果报价机上出现了79美元或更低的价格，那么对不起您输光了；如果报价机上打出了81美元，玩家可以兑现1美元盈利，也可以继续等。
 
股票赌场的奸商们怎么赚钱呢？ 除了利用群众们经常押错的特点外，他们还串通某些券商操纵市场。 比如在80美元的价位上很多玩家押了“大”，赌场庄家就指使纽约交易所的同伙打压股价，只要自动报价机上打出一个79美元的价格，赌场就通吃了押大的筹码。
 
当时还很年轻的利弗莫尔没什么钱，在股票赌场里混，逐渐练就了根据报价预测市场价格(Read Tape)的本领。 那时候没有电脑，更没有实时K线图，利弗莫尔的“读盘”功夫实际就是技术分析的原型。 但我很怀疑他也在股票赌场里养成了“坏毛病”：押注太大。
 
从凯利公式的角度分析，股票赌场的超低保证金其实是赌徒们的“杀手”。 杠杆那么大，押注远超凯利最优值，输光是迟早的事。那时的美国正规金融市场的交易保证金也很低。 利弗莫尔后来的交易经历表明，他一直保持了超大赌注的风格。 读他的交易历程简直令人心惊肉跳，股票、棉花、大豆，不管什么都是超高杠杆全仓操作，这固然成就了利弗莫尔的传奇伟业，也令他数次破产。 所幸几次都有贵人相助，利弗莫尔才得以抓住1907年，1915年和1929年几次重要机会屡攀高峰。 但智者千虑、终有一失，我很怀疑正是“押注太大”的毛病令利弗莫尔在身价达到1亿美元的短短数年后就输光了所有钱。 最后一次，他没能东山再起。
 
如果利弗莫尔将基于凯利公式的资金管理方法和他高超的市场把握能力结合在一起，这位天才会创造出怎样的奇迹呢？
 
历史没有如果。 利弗莫尔已如流星划过，也许他早生了几十年。 资金管理和风险控制的理论在50年代才开始成型。 凯利公式指出：赢面大、波动性小的游戏可以押较大赌注。 那么如何量化“赢面大，波动性小”呢？ 与凯利同时代的一位学者提出了一个著名的指标。 sharp ratio....
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大约50年前，MIT的一位年轻的数学讲师-Edward Thorp,发明了一种策略。其可以在21点
赌博中最大化盈利，并且有效的减少输光的可能性。这种策略包括，比庄家更精于算牌并且
从不下过大的赌注。他将这种策略写进了1962出版的《战胜庄家》书中。之后将其运用到华尔街，写了《战胜市场》。
Thorp运作了两只对冲基金，“Princeton-Newport Partners”和“ Ridgeline Partners”。这两
只基金运作了近30年，取得了年平均收益19%-20%并且没有一年亏损的业绩。安联债券基
金公司和太平洋投资管理公司（Pimco）的董事经理Bill Gross 是Thorp的一位追随者。他
在大学期间阅读了Thorp的书，并且运用了其风险管理的技术。
贝尔斯登的崩溃表明了风险管理比以往更加的重要。在以下的访谈中（在加州的Pimco's
Newport Beach）Messrs,Gross和Thorp将谈论风险管理，市场还有扑克。
 
华尔街日报：你是怎么对21点感兴趣的？
Edward Thorp：我在1958年去了拉斯维加斯。我学会了一种策略，可以使你你在21点中
公平的赌博。所以，我决定玩10美元。在赌桌上，我的10美元比其他人玩的时间更长。我
想存在着一种数学方法可以在赌博中获胜，这将是十分有趣的数学问题。我解决了这个问题，
多年后将其写入了《战胜庄家》。
华尔街日报：Bill，你呢？
Bill Gross: 1966年我偶然见到了Edward的书。那时，我出了车祸进了医院有机会练习他书
中的算牌技术。我成功了！我有200美元，所以去了拉斯维加斯，成功的将其变成了10000
美元。我并不在乎钱，只是想证明可以战胜系统。后来，我想可以用这个技术做什么呢？是
投资。
Thorp：他从200美元开始，现在已经管理近1万亿美元。
Gross：《战胜市场》更是十分偶然的成为了我受雇Pimco的原因。我完成了一篇关于可转债
和《战胜市场》的毕业论文。雇佣我的那个人说“我们有很多聪明的应聘者，但是，这个小
伙子对债券市场感兴趣。”所以，我是因为Edwrad才得到我的工作的。
华尔街日报：对于如何在现今的市场管理风险，你的21点策略能够告诉我们什么？
Thorp：你必须确定自己不要过度下注。假设在抛硬币的赌博中，你比对手拥有5%的优势。
如果你想变富，最优策略是将你财富的5%作为赌注下在每次抛硬币中，并且永远不要多下
注。如果你过度的下注，即使你有优势，你也可能输光。
华尔街日报：你最关键的风险管理策略就是凯利法则，是不是？
Thorp: 20世纪50年代，贝尔实验室的科学家约翰.凯利发明了一种可以最大化长期资本收
益的方法。它可以告诉你在可选择的条件下如何分配资金以及如何根据你的优势的增加，风险的减少来决定投资的金额。它也要求避免过度的下注，否则会使拥有优势的投资者毁灭。
Gross：Edward的基本要点是关于赌博者毁灭的观点，当你过度下注时，你将会失去一切。
在21点的赌博中，如果你从不一次下注超过你总筹码的2%，你永远也不可能输光你所有
的钱。在Pimco，你有多少钱不重要，不管是200美元还是1万亿美元。你可以从我们的组
合中看到，我们从不将超过2%的头寸暴露在任何一种风险中。在这个交易室中，我们将以
风险管理的观点进行职业的21点赌博。这是我们成功的重要原因之一。
华尔街日报：Bill，你比较了现今的信用市场正在发生的事和另一种扑克游戏“老处女”(抽
出的一张牌后分牌,然后对对子,类似中国的蹩七和蹩王八)
Gross：在老处女游戏中，有一张没人愿意要的牌-“老处女”。在今天的市场中，有很多老
处女。一个就是美国人知道的次级抵押债。它们已近蔓延到“最好的赌注”-美国市政债券
市场以及那些假设没有信用风险的神圣领域。在老处女游戏中，你要避免让你的对手知道你
手上有那张老处女牌。并且要引诱你的对手将这张牌抽过去。这样的事正发生在现今市场上。
华尔街日报：你怎么知道什么是安全的？
Gross：你不可能知道。那就是你为什么要选择高质量的投资的原因。最近，我们是市政债
券的大买家，超过10亿美元。我们如何能够知道我们付出的价格是最好的呢？我们没法确定。我们只知道这些债券是AA级的，只有非常小的机会破产。我们买了并且祈求好运！
华尔街日报：你怎么评价现在的对冲基金状况？
Thorp:最近15年，有大量的资金进入了对冲基金的领域，从21世纪90年代的1000亿美
元扩张到现在的2万亿美元。但是投资的机会却没有这么快的增加。这导致了我和Bill说的
过度下注的现象，或者赌博者的毁灭。对冲基金开始运用巨大的杠杆去增加收益。但是，如
果你赌的太激进，你就会被消灭。一个典型的例子就是长期资本管理公司（1998年这个巨
大的对冲基金毁灭了）。我们今后可能看见更多的例子。
Gross：原来存在的优势变小了，导致对冲基金增加杠杆去保持原来的收益水平。杠杆（过
度的下注）导致了大的逆转。稳定变成了不稳定。假设的稳定性欺骗了人们。
Thorp:任何好的投资，如果杠杆过高都可能导致投资者的毁灭。
华尔街日报：贝尔斯登是另一个例子。
Thorp:过度运用杠杆导致了贝尔斯登的失败，但是贝尔斯登的高管们并没有觉得自己应该
担负责任。
华尔街日报：现在是不是比过去更多的在市场上运用杠杆呢？
Gross：的确！当住宅的拥有者相对于其家庭的资产过高负债时（有很多情况是他们根本没
有资产，那就像运用了超级杠杆），致命的动荡将发生在房地产领域和真实经济中。最终，
利率水平和贷款者的谨慎程度降低导致了信用的扩张。就是我们现在看到的结果。
华尔街日报：在市场的扭曲中，你是不是看到了机会，Bill？
Gross：6个月已经改变了所有的事。我们在6.5%的利率水平买了AA级的市政债券（免税），
而国债的利率是3.5%。这是市场上明显扭曲的证据。风险资产（非国债资产）正在迅速重
新定价。6个月或者12月之前，我们发现没有什么好机会。但是，现在机会很多。我们正
在寻找进入的领域。
华尔街日报：但是，你们一定感觉到紧张。
Gross：我们谨慎的交易，从高质量的资产开始。我们不会进入高收益率或者次级市场。华尔街在流血吗？是的，但是，那里有很高质量的资产。
Thorp:恐惧带来机会。所以，像Bill说的，这可能是个伟大的时刻。