书上没写的行列式内容

1、关于行列式的含义

  关于“行列式”的定义，很多人都说有点莫名其妙，或者说不讲道理. 的确，行列式这个概念，与矩阵不同，有些不符合中国人的传统思维方式. 在浩如烟海的中文史料中很难找到与其对应的表述. 就算在相关的译文中，行列式最初也只是被称为“定准数”，其展开式更是被写成

怎么样？很有中国特色吧？！

  从历史来看，行列式和矩阵都是为解线性方程组而产生的，而且行列式概念的提出甚至早于矩阵，但行列式其实是方阵的一种的运算规则. 这有点像人们对“余弦定理”的认识过程. 远古人类已经会用12段等长的绳子构建直角，然后人们确定了勾股定理，再进一步的发现了余弦定理. 从应用开始，然后发展成较完整的理论. 行列式的发展也是这样一个过程. 在西方，1693年，德国数学家莱布尼兹在解方程组中首先使用了系数分离表示未知量，得到了行列式的原始概念. 随后，瑞士数学家克拉默、法国数学家范德蒙德、拉普拉斯等也对行列式理论进行了相关的研究并取得了包括：克拉默法则、子式、代数余子式和拉普拉斯展开定理在内的丰富而影响深远的成果. 法国数学家柯西在1813年最先使用“determinant”（行列式）一词，英国数学家凯莱于1841年首次使用两条竖线来表示行列式. 而在东方，日本数学家关孝和在1863年著作《解伏题之法》中就对行列式的概念和展开式进行了清楚的叙述. 与“微积分创立之争”一样，后世也普遍认为，关孝和与莱布尼兹 相互独立提出行列式概念的. 可见，行列式也是伴随解线性方程组产生的. 但由于行列式是对矩阵这一数学对象的二次抽象，也就导致人们对行列式的认识非常不直观.

  关于行列式的直观表述：一个线性变换的“体积”系数. 也就是一个“单位体（各边边长均为1的）”经线性变换后得到的新的“立体”的体积. 从我差2个月零10天就满六岁的儿子的视角看（他不让我说五岁半，因为说六岁能让他看上去更成熟些），就是一块边长为1的、正正方方的橡皮泥，在他的“精心”挤压后，得到的新形状的体积. 当然，这样的说法还是离不开“线性变换”的. 如果有兴趣可以去自行百度一下看看.

  其实最具有直观性的行列式的含义就出现在“二重积分的换元法”（高等数学中选学部分）. 二重积分的换元法公式为：

其中为雅可比式，其定义为：

特别地，当我们只考虑线性表变换:时，有. 这里有必要说明一下：线性变换习惯上被称为：从向量到向量的线性变换.

而从二重定积分的换元法公式(1)显然有：

从上式中可以很明确的得出：在坐标下的面积为“1”的积分微元，经线性变换后在坐标下的面积将变为，即.

2、行列式的另一种定义

设有个数字，排成行列的数表，

作出表中不同行不同列的个数的乘积，并冠以符号，得到个形如

的项，其中为自然数的一个排列，是这个排列的逆序数. 所有这的项的代数和

称为阶行列式. 即：

这个定义虽然用起来更麻烦，但它对行列式的项数、各项的符号和各项的一般形式都有较直观的说明，可以用来处理那些只研究行列式中某一项或某几项的情况.

  最后，给大家一个经典的行列式：