光电微课堂 |电磁理论（2）：散度、旋度与麦克斯韦方程组

注：本篇为个人温习记录，错漏之处请包涵，指正。

Bushido 音乐： Peter Roe;Uyanga Bold - Ronin

在描述一些物理现象如：流体力学、传热问题、电磁问题等，诸如此类随空间变化物理量问题时，引入了“场”的概念，采用的分析数学工具为“矢量”，因此，此类物理场也称为矢量场，与之区分的是数量场。

矢量场的研究有两个重要的数学概念：

1、矢量点乘

2、矢量叉乘

本篇只讨论这两种概念的数学计算方式，对物理概念不做探讨：

矢量点乘：

哈密顿算子与散度：

矢量点乘的计算方式给定后，再引入两个重要的概念“哈密顿算子”与“散度”

哈密顿算子：具有两重特性，微分特性与矢量特性。

散度：哈密顿算子与矢量场的点乘称之为矢量场的散度。

设矢量场：B

散度：

哈密顿算子与矢量场B的点乘为标量。

矢量叉乘：

在计算矢量叉乘之前，我们先了解一个重要的概念：右手定则

右手定则：

1、伸出右手，指尖的方向与矢量A同向，手指卷曲向B，大拇指指向的矢量为C，A矢量叉乘B矢量得到C矢量。

2、伸出右手，指尖的方向与矢量B同向，手指卷曲向A，大拇指指向的为-C，B矢量叉乘A矢量得到-C矢量。

注：A、B、C三个矢量相互垂直。

如下图：

同理，定义i、j、k三个单位矢量与坐标轴如下：

以上计算结果表明，矢量场的旋度是一个新的矢量场。

矢量场E旋度还另外的表达式：

真空中麦克斯韦方程组微分形式:

麦克斯韦方程组的微分形式：两组旋度，两组散度，本篇都有涉及介绍到计算方式，但是，仅仅运用矢量散度与旋度的基本计算方法，还不能直接解出麦克斯方程组，还需要进一步对麦克斯韦方程组进行变换，需要变换成波动方程的形式，然后推导出亥姆赫兹方程，对各类不同条件下进一步求解亥姆赫兹方程。