2018年山西数学中考试题分析（5）
sdfd
作为一名初中数学教师，有必要对中考题进行认真分析，希望可以给今后的教学一些指导，同时也希望给有心的人一点启示。现在正是假期，可以作点实事。
22．综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延长线上一点，且BE=AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．
探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：
证明：∵BE=AB，∴AE=2AB．
∵AD=2AB，∴AD=AE．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．
即AM是△ADE的DE边上的中线，
又∵AD=AE，∴AM⊥DE．（依据2）
∴AM垂直平分DE．
反思交流：
（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；
（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；
探索发现：
（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．
【解答】解：（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）．
依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的“三线合一”）．
②答：点A在线段GF的垂直平分线上．
理由：∵DG∥AM∥EF，DE∥FG，
且AM垂直平分DE，
∴AM也垂直平分GF,
即点A在线段GF的垂直平分线上．
（2）证明：如图2，过点G作GH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，
∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°，
∴∠BCE+∠BEC=90°．
∵四边形CEFG为正方形，
∴CG=CE，∠GCE=90°，
∴∠BCE+∠BCG=90°．
∴∠2BEC=∠BCG．
∴△GHC≌△CBE．
∴HC=BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC．
∵AD=2AB，BE=AB，
∴BC=2BE=2HC，
∴HC=BH．
∴GH垂直平分BC．
∴点G在BC的垂直平分线上．
（3）答：点F在BC边的垂直平分线上
（或点F在AD边的垂直平分线上）．
证明：如图3，过点F作FM⊥BC于点M，
过点E作EN⊥FM于点N．
∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°．
∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，
∴∠CBE=∠ABC=90°，
∴四边形BENM为矩形．
∴BM=EN，∠BEN=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∵四边形CEFG为正方形，
∴EF=EC，∠CEF=90°．
∴∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠3．
∵∠CBE=∠ENF=90°，
∴△ENF≌△EBC．
∴NE=BE．∴BM=BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC．
∵AD=2AB，AB=BE．
∴BC=2BM．
∴BM=MC．
∴FM垂直平分BC．
∴点F在BC边的垂直平分线上．
【点评】此题是几何综合题，以特殊矩形与正方形为背景，围绕判断点在线段的垂直平分线上展开探究，主要考查了正方形、矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，构造全等三角形是解决问题的关键．
sdfd
【总评】2018年山西数学中考试题中的几何压轴题并没有以平移、旋转、轴对称构图,而是以变换顶点、变换相对位置进行构图；在第（1）小题中还对证明过程中的依据进行了考查，特别是“依据1”考查了“平行线分线段成比例定理”还很容易填错，再次提醒我们虽然证明过程中的依据不要求写，但你必须清楚地知道依据是什么；勾股弦图不仅给我们提供了证明勾股定理的方法，还提供了以正方形的边为斜边的全等三角形的构造方法；第（3）小题中“点A在线段CE的垂直平分线上”是错解，这儿就需要我们严谨的求学态度，而决不能是看见像。
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