2014届高中数学复习知识点：圆锥曲线概念、方法、题型、易误点技巧总结

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1.圆锥曲线的两个定义：

　（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点

的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于

，当常数等于

时，轨迹是线段

，当常数小于

时，无轨迹；双曲线中，与两定点

的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于

，定义中的“绝对值”与

不可忽视。若

，则轨迹是以

为端点的两条射线，若

，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如：
①已知定点

，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是
A．

          B．

C．

         D．

（答：C）；
②方程

表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）
　（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
  如已知点

及抛物线

上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）


2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
　
（1）椭圆：焦点在x轴上时

（参数方程，其中

为参数），焦点在y轴上时

。方程

表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。比如：已知方程

表示椭圆，则k的取值范围为____（答：

）；
　（2）双曲线：焦点在x轴上：

，焦点在y轴上：

。方程

表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。比如：双曲线的离心率等于

，且与椭圆

有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：

）；
　（3）抛物线：开口向右时

，开口向左时

，开口向上时

，开口向下时

。


3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
　（1）椭圆：由

分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
　　 如已知方程

表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：

）
　（2）双曲线：由

项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
　（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
　特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点

位置，焦点、的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，

，在双曲线中，c最大，

。


4.圆锥曲线的几何性质：
　（1）椭圆（以

为例）：①范围：

；②焦点：两个焦点

；③对称性：两条对称轴x=0,y=0，一个对称中心（0,0），四个顶点

，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线

； ⑤离心率：

，椭圆

，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。
    比如：若椭圆

的离心率

，则m的值是__（答：3或

）；
　（2）双曲线（以

为例）：①范围：

；②焦点：两个焦点

；③对称性：两条对称轴x=0,y=0，一个对称中心（0,0），两个顶点

，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为

；④准线：两条准线

； ⑤离心率：

，双曲线

，等轴双曲线

，e越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：

。
     比如：双曲线的渐近线方程是

，则该双曲线的离心率等于______（答：

或

）；
　（3）抛物线（以

为例）：①范围：

；②焦点：一个焦点

，其中p的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴y=0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线

； ⑤离心率：

，抛物线

。
　如设

，则抛物线

的焦点坐标为________（答：

）；


5、点

和椭圆

的关系：
（1）点

在椭圆外

；
（2）点

在椭圆上

；
（3）点

在椭圆内

6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：

直线与椭圆相交；

直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有

，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故

是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；

直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有

，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故

也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
比如：若直线y=kx+2与双曲线

的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______（答：

）；
（2）相切：

直线与椭圆相切；

直线与双曲线相切；

直线与抛物线相切；
（3）相离：

直线与椭圆相离；

直线与双曲线相离；

直线与抛物线相离。


特别提醒：
　（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；
　（2）过双曲线

外一点

的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；
　（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。比如：
　　①过点(2,4)作直线与抛物线

只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；
　　②对于抛物线C：

，我们称满足

的点

在抛物线的内部，若点

在抛物线的内部，则直线

：

与抛物线C的位置关系是_______（答：相离）；    ③求椭圆

上的点到直线

的最短距离（答：

）；[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址   www.yaoxuexi.cn    手机版地址 wap.yaoxuexi.cn]


7、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径r=ed，其中d表示P到与F所对应的准线的距离。比如：
　①已知椭圆

上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为____（答：

）；
　②椭圆

内有一点p(1,-1)，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使

之值最小，则点M的坐标为_______（答：

）


8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点

到两焦点

的距离分别为

，焦点

的面积为

，则在椭圆

中， ①

，且当

即P为短轴端点时，

最大为

；②

，当

即P为短轴端点时，

的最大值为bc；对于双曲线

的焦点三角形有：①

；②

。
   比如：短轴长为

，离心率

的椭圆的两焦点为

，过

作直线交椭圆于A、B两点，则

的周长为________（答：6）；


9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为

，若P为

的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。
10、弦长公式：若直线

与圆锥曲线相交于两点A、B，且

分别为A、B的横坐标，则

，若

分别为A、B的纵坐标，则

，若弦AB所在直线方程设为

，则

。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
   比如：过抛物线

焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______（答：3）；


11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆

中，以

为中点的弦所在直线的斜率

；在双曲线

中，以

为中点的弦所在直线的斜率

；在抛物线中，以

为中点的弦所在直线的斜率。
  比如：如果椭圆

弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是        （答：

）；
12．你了解下列结论吗？
（1）双曲线

的渐近线方程为

；
（2）以

为渐近线（即与双曲线

共渐近线）的双曲线方程为

（

为参数，

≠0）。
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为

；
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为

，焦准距（焦点到相应准线的距离）为

，抛物线的通径为2p，焦准距为p；
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物线

的焦点弦为AB，

，则①

；②

（7）若OA、OB是过抛物线

顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点(2p,0)


13．动点轨迹方程：
  （1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；
  （2）求轨迹方程的常用方法：
　　 ①直接法：直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0；
　　   如已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：

或

）；
　　 ②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。
　　   如线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0）(m>0)，端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为       （答：

）；[要学习网,只做中学生最喜欢、最实用的学习论坛，地址   www.yaoxuexi.cn   手机版地址 wap.yaoxuexi.cn]
　    ③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
　　   如点M与点F(4,0)的距离比它到直线

的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______ （答：

）；
　　④代入转移法：动点P(x,y)依赖于另一动点

的变化而变化，并且

又在某已知曲线上，则可先用x,y的代数式表示

，再将

代入已知曲线得要求的轨迹方程；
　　   如动点P是抛物线

上任一点，定点为A(0,-1),点M分

所成的比为2，则M的轨迹方程为__________（答：

）；
       ⑤参数法：当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x,y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。
　　   如若点

在圆

上运动，则点

的轨迹方程是____（答：

）；
   注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。
　　如已知椭圆

的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足

点P是线段

与该椭圆的交点，点T在线段

上，并且满足

（1）设x为点P的横坐标，证明

；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S=

若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. （答：（1）略；（2）

；（3）当

时不存在；当

时存在，此时∠F1MF2＝2）

　
　　②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
　　③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
　　④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.


14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：　
　（1） 给出直线的方向向量

；
　（2）给出

与AB相交,等于已知

过AB的中点;
　（3）给出

,等于已知P是MN的中点;
　（4）给出

,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;
    （5） 给出以下情形之一：①

；②存在实数

；③若存在实数

,等于已知A,B,C三点共线
　 （6） 给出

，等于已知P是

的定比分点，

为定比，即

　 （7） 给出

,等于已知

,即

是直角,给出

,等于已知

是钝角, 给出

,等于已知

是锐角。
　 （8）给出

,等于已知MP是

的平分线;
　 （9）在平行四边形ABCD中，给出

，等于已知ABCD是菱形;
　 （10） 在平行四边形ABCD中，给出

，等于已知ABCD是矩形;
　 （11）在△ABC中，给出

，等于已知O是△ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
     （12） 在△ABC中，给出

，等于已知O是△ABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
　  （13）在△ABC中，给出

，等于已知O是△ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
　 （14）在△ABC中，给出

等于已知

通过△ABC的内心；
　 （15）在△ABC中，给出

等于已知O是△ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
　 （16） 在△ABC中，给出

,等于已知AD是△ABC中BC边的中线