杨忆鸿
在高中学物理时，只有基础的圆周运动，万有引力、向心力的简单计算。随着对天文兴趣的增加，发现天体都是椭圆运动，须要有高等物理的知识才能进一步了解。许多人问：为什么天体都是椭圆轨道？水星会不会坠入太阳？地球何速才能逃逸出太阳系？促使我们要进一步了解更多的高等物理知识。
一、为何天体都是椭圆轨道而没有纯圆轨道
纯圆周运动的苛刻必要条件：1、初速或速度要与向心力垂直，2、以距离作半径所求出的向心力与万有引力相等。
天体运动不可能恰巧满足此苛刻条件，首先初速往往与引力有一个不垂直的角度，径向速度会拉长距离变得不圆。其次，若此半径需要的向心力与引力不等，会促使改变曲率半径才能相适应。所以，天体运动轨道都是椭圆。椭圆每点的曲率半径是变化的。
只是不同的椭圆，偏心率有大有小，决定扁的程度。偏心率e就是焦点与中心的距离c在半长轴a上所占的比例c/a。圆为0，越大越扁，越小越圆。
开普勒三大定律就是椭圆运动的总结性规律，高等物理上对三定律有严格证明。 可以用极坐标系求出椭圆具体方程。
地球虽为椭圆轨道，但接近正圆。平均半径为r=1.5亿公里，平均速度v=30公里/秒，周期为恒星年T=365.2464天。
问题1：为何初速或速度与向心引力一旦不成90度，其轨道肯定不是纯圆，为什么？
掌握了行星椭圆规律后知道，因为机械能必须恒定，切向速度所需向心力还必须等于引力。
行星机械能E=-GMm/2a （见第四节）， a为半长轴, v切^2+v径^2=v^2,
mv切^2/r=GMm/r^2, v切与半径的向心力首先与引力相等（否则必椭圆）。
则1/2mv切^2=GMm/2r，又 E=1/2mv切^2+1/2mv径^2 -GMm/r，则有
GMm/2r+1/2mv径^2-GMm/r=-GMm/2a
得到： v径^2=GM(1/r-1/a) 。径向速度造成径向距离的变化即势能的变化。
若v径>0, 肯定r不等于a，这不可能是圆。
若v径=0，才有r=a，所以，速度与力成90度交角是纯圆轨道的必要条件。
第五节的末尾有证明，问题2：为什么半径所需的向心力与引力相等是纯圆轨道的必要条件。
二、椭圆运动是否遵守向心力公式且与引力相等
向心力是圆周运动所必需的，根据半径r和切向速度用公式计算出来的向心力必须等于实际引力，如果不等，曲率半径r就会自动调整以相适应，半径或曲率才是结果。
百度上有一篇论文《论行星运动时其向心力与万有引力间的关系》（参考文献2）专门讲这个问题，写的非常好，有推导与证明。向心力公式可有条件地继续使用，仍等于万有引力。分解成切向速度v，向心a=v^2/r, 问题麻烦在这个半径r上，需要另计算曲率半径，而不是矢径或距离。椭圆的曲率半径要一阶、二阶导数，r=|((1+y')^1.5)/y''|。特殊地，椭圆长轴两端的曲率半径Ra=b^2/a，短轴两端的曲率半径Rb=a^2/b。下面以下图的椭圆图示为例：
F1=GMm/d^2=mv1^2/Ra。 d为距离，Ra为曲率半径b^2/a，注意d≠Ra。
F2=GMm/r^2=mv2^2/Ra。从两式得到新等式 v2 r=v1 d 。
这是用向心力公式得到的比值结果与角动量结果完全一致，未出现矛盾的地方。也可直接用角动量守恒。
三、椭圆运动遵守的规律
椭圆运动遵守机械能守恒和角动量守恒及向心力公式。
1.机械势能以无穷远为参照零点，则势能都是负值，Es=-GMm/r，r为距离，
机械能 E=1/2mv1^2-GMm/r1=1/2mv2^2-GMm/r2, 注意：E一般为负值，否则将逃逸。
2.角动量p=r x mv, 为矢量叉乘，大小mvrsinq, r为矢径，大小为距离。比向心力半径要简单直接。 r1 x mv1=r2 x mv2，大小有 mvr1sinq1=mv2sinq2。角动量守恒表现在开普勒定律在单位时间内扫过的面积相等。
四、如何求出椭圆轨道方程
有了以上预备知识，参照高等物理（东南大学马文蔚编）的思路，尝试求轨道方程了。先假定肯定是椭圆，就能简单地用高中一元二次方程韦达定理知识求出椭圆轨道方程。若用极坐标系推导，会涉及有难度的积分，下一节讲。
1.椭圆的标准方程及重要参数
椭圆标准方程是 x^2/a^2+y^2/b^2=1 。焦点距2c , c^2=a^2-b^2 , 偏心率e=c/a,
长轴两端点的曲率半径或焦点垂直矢径Ra=b^2/a，短轴曲径Rb=a^2/b，焦点的两水平矢径 r1=a-c，r2=a+c。
椭圆的极坐标(r,θ) 标准方程 r=Ra/ (1±e cosθ)。 -左焦为原点，+右焦为原点。Ra为长轴曲径或垂直矢径b^2/a。若推导出的方程有sinθ，是因为没有右旋90度。当取负号时，其相当于直角坐标系 (x-c)^2/a^2+y^2/b^2=1 。
2. 计算椭圆轨道的参数
已知条件：在椭圆轨道的质点机械能 E0和角动量L0，及天体大小质量M、m。
先求出长轴两点的v和两矢径r。
在长轴两端点，据机械能 1/2mv^2-GMm/r=E0，角动量 mvr=L0，
为简化计算令K=GM, L=L0/m, E=-E0/m >0，则有方程组
v^2-2K/r+2E=0, 1/r=1/L v ，方程有两变量v, 1/r，二式代入第一式，
得二次方程: v^2-2K/L v+2E=0 不需要解方程，两根v1、v2恰是两长轴两端的速度,
r1=a-c, r2=a+c。据韦达定理有 v1+v2=2K/L, v1v2=2E, 再据方程组二式
有： 1/r1+1/r2=1/L (v1+v2)=2K/L^2, 1/r1.1/r2=2E/L^2
得到关键的： r1 r2=L^2/2E, r1+r2=K/E 又知 r1=a-c, r2=a+c，开始求椭圆参数：
2a=(a-c)+(a-c)=r1+r2=K/E, 2c=r1-r2=√(r1-r2)^2=√((r1+r2)^2-4r1r2)
a=K/2E, c=√(K^2-2EL^2) /2, c^2=(K^2-2EL^2)/4E^2
b^2=a^2-c^2=r1.r2=L^2/2E, Ra=b^2/a=L^2/K, e=c/a=√(K^2-2EL^2) /K
则x-y系方程： x^2/a^2 + y^2/b^2=1
其中a=K/2E=-GMm/2E0, b^2=L^2/2E=-L0^2/2mE0 (注: E0<0)
极坐标r-θ方程： r=(L^2/K)/(1±ecosθ) , -左焦点为原点o，+右焦点o，
取负号时相当于直角坐标系 (x-c)^2/a^2+y^2/b^2=1。
其中 Ra=L^2/K=L0^2/GMm^2 而书P228的系数A却是这倒数。
e=c/a=√(K^2-2EL^2) /K=(1+2E0 L0^2/G^2 M^2 m^3)^1/2
注： 发现书上P228的G丢了平方，共两处印刷错误。
另： 据a=K/2E 得重要通用公式： 行星机械能E=-GMm/2a
v1=√(GM/a r1/r2)，v2=√(GM/a r2/r1), r1=a-c, r2=a+c
角动量 L=m√(GMRa) , Ra=b^2/a
五、椭圆轨道的推导
上节已计算出椭圆轨道，但必须推导其过程才能证明是椭圆轨道，步骤如下：
为简化过程，令 K=GM, L=L0/m, E=E0/m <0
L=L0/m=ωr^2， 有 ω=L/r^2
E=E0/m=1/2v^2-K/r, v^2=(dr/dt)^2+(ωr)^2
有 E=1/2(dr/dt)^2+1/2L^2/r^2-K/r
dr/dt=√(2E-L^2/r^2+K/r) dθ/dt=ω=L/r^2 两式相除
dθ/dr=L/r√(2Er^2+2Kr-L^2) 这就是不定积分，查常用不积分表恰有公式：
因r>0, 得sin(θ+C)=(Kr-L^2)/r√(K^2+2EL^2)，C为待定常数，表示角度可旋转。
1/r=K/L^2 (1-√(1+2EL^2/K))sin(θ+C)， 取不定常数C=±π/2,
方程有 r=(L^2/K)/ (1±√(1+2EL^2/K)cosθ)
这就是椭圆的标准方程 r=Ra/ ( 1±e cos(θ)) , - 表示左焦点为原点，+右焦点
Ra=L^2/K=L0^2/(GMm^2) , e=√(1+2EL^2/K)=√(1+2E0 L0^2/G^2 M^2 m^3)
与上节计算的结果一模一样。 这就证明了开普勒第一定律。
另： 再讨论一下，轨道是纯圆的条件要求。 e=√(1+2E0 L0^2/G^2 M^2 m^3)
当e=0就是圆，有 r=a, 2E0 L0^2/G^2 M^2 m^3=-1
以E0=GMm/-2a， L0=mωr^2, r=a , 有 GMma=mω^2r^4
GMm/r^2=mω^2 r 这是必要条件: 万有引力F=向心力Fr
以半径为r的向心力必须一直等于万有引力。就是第一节提出的纯圆必要条件。
六、椭圆轨道的周期求法
仍用上面的一些椭圆参数,a、b、c 、Ra、L0、E0。
S表示矢径扫过的面积。则扇形面积dS有：
dS=1/2r^2dθ, dS/dt=1/2r^2ω , L0=mr^2ω, dS/dt=L0/2m
单位时间扫过的面积相等，这就证明了开普勒第二定理。
dt=2m/L0 dS, 求积分有 T=2m/L0 S=2m/L0 πab
T^2=-π^2 G^2 M^2 m^3 /2E0^3 可以求出周期T。
T^2/a^3=4π^2/GM=常数, 这就证明了开普勒第三定律。
T=2πa^(3/2) /√(GM)
从公式T和E可以看出，椭圆半长轴 a 具有轨道半径r的地位。
七、求地球的逃逸速度？地球多快就能逃离太阳系
高中学过第一宇宙速度7.9、第二宇宙速度11.2、第三宇宙速度16.7，但求地球的逃逸速度又略有点区别了。
地球的绕日公转平均速度v0约29.78公里/秒的， 实际在29.29到30.29之间变化，线速度够快的，为便于记忆都说30公里/秒。如果要能逃逸，它的轨道将成发散的，目标是无穷远，无穷远的势能已为参照值0点、动能为无穷小的0值，这是最起码的要求。
正常时，万有引力等于向心力，有 mv0^2/r=GMm/r^2
逃逸时，机械能守恒 1/2mv4^2-GMm/r=0 。 两式化简有，v4=√2 v0 。曾记得第二宇宙速度也是第一宇宙的 √2倍。原来逃逸速度都是公转速度的√2倍（即+41.4%），这是普遍规律。地球的逃逸速度为42.4公里/秒，比公转速度再快12.4就行了。求第三宇宙速度16.7时，就曾涉及过这12.4。
八、求地球坠入太阳时的最大速度？ 慢得掉进太阳了。
日地距离为1个天文单位，N=日地距离/太阳直径=107.5倍，这是太阳系基本参数。当地球公转速度v0=30公里，突然降到坠落速度v1时，将变成极扁椭圆轨道。近日点已触太阳表面，如图示。在近日点速度v2>v1。设地球远日点v1距离太阳中心距为d，太阳半径r, 已知N=d/2r=107.5倍。
角动量矢径就是距离，据角动量守恒有 v1d=v2r
据机械能守恒 1/2mv1^2-GMm/d=1/2mv2^2-GMm/r
又据地球正常公转有,向心力公式： mv0^2/d=GMm/d^2
消去中间变量，得通用公式： v0^2/v1^2=(d+r)/2r，即v0/v1=√(N+0.5)。
对于比值 (d+r)/2r=N+0.5，其实就是椭圆长轴与太阳直径的比108：1，
k=v0/v1=10.4，也就是说地球速度降到v0/k=30/10.4=2.88公里/秒。
如果以这样低的速度之前，地球的的近日点太近，等于太阳半径，地球早已被烤焦。
水星的公转轨道比地球更近更扁更快，公转半径0.3到0.5Au，取0.4Au公转距离，公转速度约为48公里/秒，N=107.5x0.4+0.5=43.5，k=6.6，降到7.3公里/秒才能坠入太阳，也不容易，毕竟距日有5000万公里远呢。
九、结束语
本篇介绍了行星椭圆轨道整个推导与计算的相关过程，证明了开普勒三大定律。并作了具体应用，求地球的公转速度范围。
地球公转的速度范围为(v0/√108，v0√2）。至此，我们对地球的速度范围有了深刻了解，这个公转速度范围很宽，杞人不用为地球的公转速度而纠结了。
参考文献：
1、高等物理上册 东南大学 马文蔚编 1993.2版
2、《论行星运动时其向心力与万有引力间的关系》 2011-4-6
安徽安庆第二中学 叶玉琴
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