在平面直角坐标系xOy中，过定点C（p，0）作直线与抛物线y...

试题

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（p，0）作直线与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A，B两点，如图，设动点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求证：y₁y₂为定值；
（Ⅱ）若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求△ADB面积的最小值；
（Ⅲ）是否存在平行于y轴的定直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆相交的性质．

专题：综合题．

分析：（Ⅰ）分情况讨论：当直线AB垂直于x轴时，计算得y₁y₂=-2p²；当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为：y=k（x-p），代入抛物线方程得ky²-2py-2p²k=0，因此有y₁y₂=-2p²为定值．

（II）D（-p，0），DC=2p，

，当AB⊥x轴时，

=

．当直线AB不垂直x轴时，

，

，由此能求出△ADB面积的最小值．
（III）设存在平行于y轴的直线l，方程为x=t，M（x₁，y₁），圆心为C（x₀，y₀），l被圆C截得的弦长为q，则由圆的几何性质可得

=

=

．由此能求出存在直线l，其方程为

．

解答：解：（Ⅰ）当直线AB垂直于x轴时，y₁=

p，y₂=-

p，因此y₁y₂=-2p²
（定值）；…．（1分）
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为：y=k（x-p），代入抛物线方程得；
ky²-2py-2p²k=0
因此有y₁y₂=-2p²为定值．…（4分）
（Ⅱ）D（-p，0），∴DC=2p，

，
当AB⊥x轴时，

=

．
当直线AB不垂直x轴时，

，
∴

=

，
∴

，
综上所述，△ADB面积的最小值是

．
（III）设存在平行于y轴的直线l，方程为x=t，M（x₁，y₁），圆心为C（x₀，y₀）
l被圆C截得的弦长为q，则由圆的几何性质可得：

=

=

当

时，q=p为定值
故存在这样的直线l，其方程为

（12分）

点评：本题考查弦长的计算和直线与抛物线位置关系的综合运用，解题时要注意分类讨论思想和弦长公式的合理运用，注意合理地进行等价转化．

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