初中数学二倍角辅助线的添加规律

一些几何题中常含有一个角是另一个角的二倍的条件，处理这类问题常用如下的方法添加辅助线。

1.作二倍角的平分线，构成等腰三角形

如下图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的角平分线交AC于点D，则∠DBC=∠C，△DBC是等腰三角形。

2.延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形，利用等腰三角形的性质证题

如下图，在△ABC中，∠B=2∠C，可延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形。

【例】已知，如下图所示，在△ABC中，∠C=2∠A，AC=2BC，求证：∠B=90°

● 解(1)：要证∠B=90°，可设法证∠B等于某个直角。

由∠C=2∠A，可联想作∠C的角平分线CE，则△ACE是等腰三角形

如果作这个等腰三角形底边上的高ED，则出现直角，再证∠B=∠CDE即可

如下图，作∠C的平分线CE交AB于点E，过E作ED⊥AC于D

则∠ACE=∠A

∴AE=CE

∵ED⊥AC

∴CD=1/2AC

∵AC=2BC

∴CD=CB.

则可证得△CDE≌△CBE

即∠B=∠CDE=90°

● 解(2)：作∠C的平分线CD，将△CDA沿CD翻折过来，得△CDE

要证∠ABC=90°，需证CD=ED，BC=BE

如下图，作∠C的平分线CD，延长CB到E，使CE=AC

∴AC=BC+BE

∵AC=2BC

∴BC=BE

在△ACD和△ECD中，AC=EC，∠ACD=∠ECD，CD=CD

∴△ACD≌△ECD

∴∠A=∠E

又∠DCB=∠DCA=∠A，

∴∠E=∠DCB

∴DC=DE

∴∠ABC=90°

● 解(3)：延长AC到D，使CD=BC，连接BD，则△CBD和△ABD都是等腰三角形

由条件AC=2BC，可联想到取AC的中点E，连接BE，则∠DBE=90°

要证∠ABC=90°，只需证∠ABE=∠DBC

延长AC到D，使CD=CB，连接BD，取AC的中点E，连接BE，如下图

则EC=CD=BC

∴∠DBE=90°

∵CD=CB

∴ ∠D=∠CBD

∴ ∠ACB=2∠D

∵ ∠ACB=2∠A

∴ ∠A=∠D

∴ AB=BD 

又∵AE=DC

∴ △ABE≌△DBC

∴ ∠ABE=∠DBC 

∴ ∠ABC= ∠EBD=90°

总结

关于二倍角问题，上面介绍了两种添加辅助线的方法，其主要目的都是为了构造等腰三角形和全等三角形，然后利用它们的相关性质探求解题途径。