重庆市第八中学高2022届高三下第6次月考第16题：三角函数的最值

说起应用题，曾经的江苏高考发挥到了极致。函数、导数、三角函数、基本不等式、立体几何、直线与圆等等，什么都能考，什么都能应用。全国卷在这方面要逊色不少，这就给许多人一个错觉——全国卷不考应用题。于是出现一种奇怪的现象——应用题不讲，但凡涉及到就直接绕过。

事实上，应用题在全国卷中从未缺席，现在它有了一个好听的名字，叫“数学文化”。我没去考证二者的区别，看到文字叙述多的都归为此类。像作文似的长篇大论令人晕头转向，尤其以概率统计为最。

2022届重庆八中高三下第6次月考的16题，这算不算应用题？按照教材的要求，这可视为“导数在生活中的优化”，理所当然是应用题。然而，这个概念对解题有关系吗？谁会在乎那些无关紧要的话？好像，是的。

不过不要忘了，如果是生活中的优化，那么函数往往只有唯一的极值，而这个唯一的极值就是最值。

应用题多了“翻译”这个步骤，将实际问题转化为数学问题，这就是“数学建模”。剩下的与普通题毫无二致，该怎么做还怎么做。对应用题而言，翻译无疑是最难的，这涉及到如何设元，如何建参，以及如何构建目标。一旦突破这关，下面便可势如破竹。

导数是解决函数的工具，所以无论什么时候，导数都应当作为首选。这道题并非无源之水，无本之木，而是2018年全国1卷第16题（见文末）的仿制，连函数都没变。

现在你明白真题的价值了吧。

法2和法3都是构造“三元均值不等式”，差别只是对象不同。将函数转化为求积的最大值，所以目标就是在均值不等式中构造和的定值。所谓构造，就是变形、凑项和凑系数。

注意取等的条件。应用题有个特点，就是极值点一般都是唯一的，所以小题中可以直接略过检验。

法4的构思极其精巧，在小题中堪称秒杀。这里用到了一个结论——圆内接三角形中，正三角形的面积最大。这个看似简单的结论，证明却并不容易。他需要用到均值不等式，还需要借助琴生不等式。

既然这样，不如直接使用琴生不等式来得痛快，这便是法5的思路。