理论空间的几何结构

（图片来源：Davidope）

在20世纪60年代，知名物理学家Geoffrey Chew提出了一种激进的宇宙观，并以此为基础发明了研究物理的新方法。当时人们已经发现了许多粒子，物理学家正试图寻找其中的规律。他们想知道哪些是基本粒子，哪些不是。但加利福尼亚大学伯克利分校的教授Chew，反对这种区分。他当时写道，“自然之所以是这个样子，因为这是能够让自然自恰的唯一可能。” 他相信仅仅依赖这个思想，就可以推导出自然的定律。

自德谟克利特以来，科学家就采取了还原论的方法来理解宇宙，认为所有事物都由不能进一步解释的基本物质构成。但是，Chew的自我决定的宇宙观认为所有粒子既是复合的也是基本的。他推测每种粒子（暂且称作粒子A）都由其他的粒子组成，并且这些粒子通过传递相互作用力的过程交换粒子A而结合在一起。因此，粒子的性质由自洽的反馈回路产生。 Chew说，“自洽地显示出其性质。”

Chew的研究方法，被称为“自举哲学”（bootstrap philosophy）或“自举法”。这种方法没有详细的操作步骤，要点是应用任何可用的普遍原理和自洽的条件来推测粒子应有的性质（进一步推出整个世界）。Chew的学生曾使用自举法预言 ρ 介子（由 π 介子组成，而 π 介子通过交换 ρ 介子结合在一起）的质量，这个早期的胜利为自举法赢得了许多追随者。

但是后来人们知道，ρ 介子只是一种特殊情况，然后自举法很快失去了发展的动力。另外一个竞争的理论认为复合粒子（诸如质子和中子）由称作“夸克”的基本粒子组成。这种夸克相互作用理论称为“量子色动力学”，能够更好地解释实验数据，很快成为粒子物理学标准模型的三个支柱之一。

但每种夸克的性质似乎是任意的，在另一个宇宙，它们的可能拥有不同的性质。物理学家被迫认识到，宇宙中的这些粒子并不反映唯一可能的自洽理论。相反，人们可以想象存在无穷多种可能的粒子可以可以在任意维度的空间中相互作用，每种情况可以用对应的“量子场论”描述。

在几十年中，自举法被物理学家束之高阁。但最近，物理学家发现了有潜力解决许多问题的新型自举法，这个领域再次活了起来。尽管自洽的条件对于分析复杂的核粒子动力学仍然没有多大帮助，但是自举被证明可以理解更加对称、更完美的理论的有力工具。专家说，自举法对于所有可能的量子场论就像是“指示牌”或“基础材料”。

△ Chew在加州伯克利的一场讲座。（图片来源：Lawrence Berkeley National Laboratory）

Chew现在已经92岁，早已退休了。在自举法领域，新一代研究人员继续探索这个抽象的理论，他们似乎正在验证Chew在半个世纪前的愿景——但他们发现了一种意想不到的研究方式。他们的发现表明，所有量子场理论的集合形成一个独特的数学结构，即所谓的“自力更生”，也就是说可以它的条件理解它。

在物理学家使用自举来探索这个理论空间的几何性质，他们指出了“普适性”的根源，一种值得注意的现象，比如像水和磁铁这样差别很大的物质却存在相同的行为。他们还发现量子引力理论的一般特征，对我们自己宇宙中的引力的量子起源和时空本身的起源具有明显的暗示。耶鲁大学的David Poland和新泽西州普林斯顿高级研究所的David Simmons-Duffin是自举法领域的重要科学家，他们在最近的一篇文章中写道：“这对自举法的来说是一个令人激动的时代。”

定制的自举法

在技术层面上，自举法是一种计算“相关函数”（correlation function，由量子场论描述，包含粒子之间的关系）。考虑一个铁块，该系统的相关函数表示铁原子在相同方向磁性取向的可能性，作为它们之间的距离的函数。两点相关函数给出任何两个原子排列的可能性，三点相关函数包含任何三个原子之间的相关性等等。这些方程基本上能够告诉你关于铁块的一切信息。但是它们涉及无限多个充满未知指数和系数的项。一般来说，需要进行繁重的计算。而自举法试图对计算进行限制，通过考虑哪些函数中的哪些项可以用于解出未知变量。大多数时候情况自举法都不管用。但在某些特殊情况下，正如理论物理学家Alexander Polyakov开始在1970年推出的那样，自举法会一直引导你走下去。

当时朗道理论物理研究所的Polyakov，就被普适性的奥秘吸引到这些特殊情况。当时凝聚态物理学家刚刚发现，当在微观上完全不同的材料被进入相变的临界点时，它们突然表现出相同的行为并且可以由完全相同的数字描述。例如，将铁加热到临界温度时，其中铁原子之间的相关性可由“临界指数”描述，而这与水在临界点处的“临界指数”完全相同。这些关键的指数显然与任何材料的微观结构无关，而是来源于两个系统和其他“普适类”（universality class）的共同点。 Polyakov和其他研究人员想找到连接这些系统的普遍规律。“最终的目标，或者说圣杯，就是计算这些数字，”他说：研究人员希望能够从头计算这些临界指数。

Polyakov认为，材料在临界点上的共同点是它们的对称性：使这些系统保持不变的一组几何变换。他猜想临界状态的材料遵循一组称为“共形对称性”（conformal symmetry）的对称性，其中最重要的就是，尺度对称性。比如，在铁临界点上，用放大或缩小的视角观察，你总是看到相同的模式：一团指向上面的原子被相反方向的原子包围；这些又位于指上的原子的较大区域内，等等。尺度对称意味着在共形系统中没有“近”和“远”的绝对概念；如果你翻转一个铁原子，那么整个系统都会受到影响。“整个系统成为某种关联非常强的物体，” Polyakov解释道。

但是整个世界显然不是共形的。夸克和其他基本粒子的存在向自然中引入了基本质量和距离尺度，于是破坏了尺度对称，于是我们可以测量其他质量和长度。所以，由大量粒子组成的行星比我们更重和更大，而我们比原子更大，原子又比夸克更大。对称的破缺给大自然带来了不同的层次，并在相关函数中引入任意变量，这给Chew的自举法带来了困难。

△ 亚历山大Polyakov在2013年在瑞士日内瓦接受物理学边疆奖。（图片来源：Harold Cunningham）

但是，Polyakov发现由“共形场理论”（CFT）描述的共形系统自上到下都是均匀的，对它们应用自举法非常适合。例如，在磁体的临界点处，尺度对称性对两点相关函数做出限制：重新缩放两个点之间的距离时系统应看起来相同。另一种共形对称性要求，当反转三点相关函数中涉及的三个距离时，三点相关函数不能改变。在一篇发表于1983年的里程碑式文章（被称为“BPZ”）中，Alexander Belavin、Polyakov和Alexander Zamolodchikov证明在两个空间维度上存在无限数量的共形对称，可用于约束二维共形场理论的相关函数。作者利用这些对称性来计算著名的共形场理论——2维伊辛模型（Ising model，关于2维磁体的理论）——临界指数。BPZ为探索共形对称而定制的方法“共形自举法”，一举成名。

然而，在三维或更高维度中存在共形对称性很少。 Polyakov可以写下三维共形场的“自举方程”。本质上，这是一种写出四点相关函数（比如关于真实磁铁）的方法，而且不同的方法应该等价。但是这个方程太难解。

“我实际上开始做其他的事情，”Polyakov说，他继续对弦理论并做出重要贡献，他现在是普林斯顿大学的教授。共形自举法，就像十多年前的最初的自举法一样，已经被人抛弃了。这种局面一直持续到2008年，一组研究人员发现了一个强大的技巧，可以给出三维或更多维度共形场理论Polyakov的自举方程的近似解。 “坦率地说，我没想到这一点，我原本认为那个方法存在一些错误，” Polyakov说。 “在当时以为，放入方程的信息太少，得不到这样的结果。”

惊喜扭结

2008年，大型强子对撞机即将开始寻找希格斯玻色子，这种基本粒子与其他粒子的质量有关。瑞士的理论家Riccardo Rattazzi、意大利的Vyacheslav Rychkov和他们的同事想知道，如果不引入希格斯粒子，是否可能存在一个可以赋予质量的共形场理论。他们写下了一个满足条件的自举方程。因为这是一个四维共形场理论，描述一个四维时空的宇宙中的假设量子场，但这个自举方程太复杂了。不过研究人员发现了一种方法来约束该理论的可能性质。最后他们得出结论，不存在这样的共形场理论（事实上，LHC在2012年发现了希格斯玻色子）。但他们的自举法打开了一个金矿。

他们的办法是把自举方程的约束转化为几何问题。想象一下四点相关函数的四个点（其几乎包含了关于共形场理论的所有信息）作为矩形的角；自举方程要求，如果你对保角系统的角 1 和 2 进行微扰，并计算对角 3 和 4 的影响，或者微扰 1 和 3 计算 2 和 4 受到的影响，两种情况下的相关函数都成立。写下函数的两种方式都涉及无限项的级数；它们的等价意味着第一个无限级数减去第二个等于零。为了找出哪些项满足这个约束，Rattazzi，Rychkov和同事呼吁另一个称为“幺正性”（unitary）的自洽性条件，这要求方程中的所有项的系数必须为正。这使得他们能够将这些项视为向量，或者从中心点沿无限多个方向延伸的小箭头。如果可以找到一个平面，使得在维度的有限子集中，所有矢量指向平面的一侧，则存在不平衡；这个特定的术语集合总和不能为零，并且不表示自举方程的解。

物理学家开发了算法，可以他们搜索这样的平面并能够以极高的准确性约束可行的共形场理论空间。该过程的最简单版本产生“排除图”，其中两条曲线在称为“扭结”的点处相遇。如果共形场理论对应的临界指数如果在曲线之外，就意味着它被排除。

（图片来源：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine. ）

这些图中出现了令人惊讶的信息。在2012年，研究人员使用Rattazzi和Rychkov的方法来计算三维伊辛模型中的临界指数数值（三维伊辛模型是一种非常复杂的共形场理论，与真实的磁铁、水、液体混合物和许多其他材料属于同一个普适类）。到2016年，Poland和Simmons-Duffin计算了理论中两个主要临界指数到小数点后六位。但是，比这种计算精度更加惊人的地方是，三维伊辛模型落在所有可能的三维共形场理论的空间中。它的临界指数可以出现在三维共形场理论的排除图上的允许区域中的任何地方，但是出乎意料的是，这些数值完全落在图中的扭结处。对应于其他众所周知的普适类的临界指数位于其他排除图中的扭结上。不知何故，通用的计算精确定位出现实世界中的重要理论。

这个发现让人意外，甚至Polyakov最初都不相信。他和许多人都怀疑，“这种情况的出现也许是因为存在某些尚未被发现的隐藏对称性”。

高等研究所物理学教授Nima Arkani-Hamed说：“每个人都很兴奋，因为这些扭结是意想不到的而且非常有趣，它们告诉你有趣的理论生活在哪里。它可能反映了允许的共形场理论的空间的多面体结构，有趣的理论并不存在于其内部或一些随机的地方，而是生活在顶点处。” 其他研究者认同他的看法。Arkani-Hamed推测，多面体与“放大形体”（amplituhedron，他和合作者在2013年发现的几何对象，它包含了不同粒子碰撞结果的概率）有关，或者甚至可能包含“放大形体”——相关函数的具体例子。

研究人员正在从各个方向推进。一些人正在应用自举法来研究特别对称的“超共形”场理论（称为“(2,0)理论”），其在弦理论中扮演重要作用并且被推测为存在于六维中。但Simmons-Duffin解释说，探索共形场理论的努力将需要物理学家超越这些特殊的理论。更一般的量子场理论如量子色力学可以通过从共形场理论开始，并使用称为“重整化群”的数学方法导出其性质。Simmons-Duffin说：“共形场理论在量子场论的中就像路标一样，重整化群中的流图就像道路。所以你必须先了解路标，然后尝试描述它们之间的道路，这样多多少少就可以绘制出理论世界的地图。”

康奈尔大学的自举法研究人员Tom Hartman说，绘制量子场理论的空间是“自举法的大目标”。他说，共形场图“是那个终极图的一个非常模糊的版本。”

揭示代表所有可能的量子场理论的多面体结构，在某种意义上，将会把夸克相互作用、磁铁和所有观察到或者预言的现象统一在一个结构中——这个图景就是Geoffrey Chew的“唯一可能自洽的自然”的21世纪版本。但是Hartman，Simmons-Duffin和世界上其他研究人员都在追求这种抽象的物理，他们也使用自举法研究共形场理论和许多物理学家最关心的理论之间的直接联系。“探索可能的共形场理论也是在探索可能的量子引力理论，” Hartman说。

自举量子引力

共形自举法成为研究量子引力理论的有力工具。在1997年的一篇论文（也是现在是物理学史上最引人注目的论文之一），阿根廷-美国理论家Juan Maldacena证明共形场理论和引力时空环境（至少多一个空间维度）之间在数学上的等价。 Maldacena的二元性，称为“AdS / CFT对偶”，将共形场理论与相应的额外维度反德西特空间联系在一起，反德西特空间就像全息图一样从共形系统突然出现。反德西特空间具有与我们自己宇宙中的时空几何不同的鱼眼几何形状，然而引力的作用方式与它类似。例如，这两种几何形状都产生了黑洞——一种极端致密的天体，没有任何物体能够逃脱它们的引力。

现有的理论在黑洞内部失效；如果你试图将量子理论与爱因斯坦的引力理论（它将引力看作时空结构）相结合，就会产生矛盾。一个主要的问题是黑洞如何管理保存量子信息，即使爱因斯坦的理论都认为信息蒸发了。解决这个矛盾需要物理学家找到一个量子引力理论—— 一个更基本的理论，而时空图景只出现在低能下（如黑洞外部）。“关于AdS / CFT的惊人之处在于，它给出了一个有效的量子引力的实例，其中的一切都是明确定义的，我们需要做的是研究它并找到这些悖论的答案，”Simmons-Duffin说。

如果AdS / CFT对偶为理论物理学家提供了一个关于量子引力理论的显微镜，共形自举法则允许他们打开显微镜的照明灯。在2009年，理论家们使用自举法来找到证据，证明每个满足某些条件的共形场理论在反德西特空间中具有近似的双重引力理论。从那以后，他们就拥有了一个精确的词典，能够理解临界指数、共形场理论的其他属性以及反德西特空间全息图的等价特征之间的联系。

在过去一年中，像Hartman和约翰·霍普金斯大学的Jared Kaplan这样的自举法研究人员在理解黑洞在这些鱼眼宇宙中如何工作方面取得了快速进展，特别是在黑洞蒸发过程中如何保存信息。这会大大加深对我们自己宇宙中引力和时空的量子性质的理解。“如果我有一些小黑洞，它不在乎它是否处于反德西特空间；与它的曲率相比它很小，” Kaplan解释说。“所以如果你可以在反德西特空间解决这些概念问题，那么似乎很可能的同样的结果也适用于宇宙学。”

我们还远不清楚我们自己的宇宙是否是在反德西特空间宇宙中以共形场理论全息地显现出来，甚至这种思考方式是否正确都无从知晓。物理学家希望，通过自举法研究物理现实的统一几何结构，能够更好地从更大的图景了解我们的宇宙——以及什么是大的图景。 Polyakov为最近的理论空间几何的进展感到高兴。“发生了许多奇迹，” 他说。“也许，我们会知道其中的答案。”