不定期分享一些本人原创文章、说题短文或者专家系列讲座，主要对象针对初中学生，尤其是初三学生，对于解题研究展开系列探究！
本集在第六集判断直线型路径“平行距离法”的基础上引进“夹角定位法”及“解析法”，这是传统三大“战法”，最后还会引出现代化地“朋成秒杀法”，盼读者辨析好这几种方法的解题模式及各自优势与劣势，在“传统法”与“现代法”之间找到合适的桥梁！
方法二（夹角定位法）：
（一）模型构建：
直观上，大家就能感知到这样一个简单的结论：平面内，过一个定点并且与一条定直线夹角确定的点一定也在一条直线上运动.但这样一个简单的直观结论，就可以引出本文直线型路径的第二种说理方式，笔者将之命名为“夹角定位法”.
如下图所示，有一条定直线l以及存在某个定点A，若目标动点B与定点A的连线与该定直线l的夹角α是一个定角，则目标动点B一定也在一条定直线上运动.
无论定点A是在定直线l上（如左图），还是定点A在定直线l外（如右图），只要能找到这个定点A与定直线l，再证明出一个定角α，就能断定动点的运动轨迹是直线型了，可形象地称之为“夹角定位法”.
“夹角定位法”是传统意义上证明直线型路径最重要方法，很多直线型问题都可以用此法加以说理.因为此法与最后一种方法，即解析法结合在一块，经常可以实现一题多解，所以笔者下面紧接着先介绍下解析法，再统一进行实战分析！
方法三（解析法）：
在一维数轴上，每一个动点对应着一个实数；在二维平面（直角坐标系）里，每一个动点对应着一个坐标.
如果题目中已有平面直角坐标系或者方便构建平面直角坐标系的话，我们可以想办法引进参数，然后将目标动点的坐标用该参数表示出来，进而得到目标动点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；或者直接设出目标动点的坐标为（x，y），然后列出y与x的关系式.
如果y是x的一次函数，则该动点一定在某一条直线上运动，且该直线的解析式就是前面求出的函数关系式，并且可以由题意得知t或者x的取值范围，这样就能确定动点的起始位置与终止位置对应的点坐标，最后求出这两点之间的距离，即为目标动点的轨迹长（当然，还有可能存在“来回运动”），这种方法可称之为“解析法”或“代数法”.
上面介绍的三大方法就是解决直线型路径问题传统“套路”，最后还有一个比较现代化的处理方式，即“瓜豆秒杀法”，“传统”与“现代”间有力的碰撞，必然会擦著一串明亮的花火，下面请看实战分析！
（二）实战分析：
例19.如图19，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB－BC向终点C运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E运动的速度为每秒1个单位，求在整个运动过程中，点F所经过的路径长．
简析：此轨迹题有三法！
方法一（夹角定位法）：
首先，动点E从点A出发，沿边AB－BC向终点C运动，即主动点E的轨迹在一条折线段上运动，宏观上我们就要对此题分两大类进行处理，这种直观的分类意识是一项重要的基本功，学生需留意；
第一阶段：当点E在边AB上运动时：
第一步（确定目标动点的起始位置）：如图19-1，当主动点E在起始位置A点处，从动目标点F返回到点B处，即为其起始位置；
第二步（作目标动点的“过程点”及起点间的连线）：如图19-2，连接BF，锁定夹角∠FBC，下面证明其为定角；
第三步（构全等，导边长，证定角）：“见等腰直角，造K字型全等”，作如图19-3所示的辅助线，易知Rt△ADE≌Rt△KEF；
“导边”易得AE=KF，AD=KE，又因为AD=AB，从而有AB=KE，故AB-BE=KE-BE，即AE=KB，因此有KF=KB；
如图19-4所示，易知△KBF为等腰直角三角形，故有∠KBF=∠FBC=45°；
由此我们得知目标动点F的轨迹一定是“直线型”；
友情提醒：这里取的定点是目标点F的起始位置B点，与第二阶段会有鲜明的对比；
第四步（找到目标动点的终止位置，连接起点与终点，确定所需路径长）：
如图19-5，当点E运动“拐点”B时，此时的点F即为这第一阶段对应的终点，第三步已通过“定夹角”证明了动点F的路径是“直线型”，因此BF即为此种情形下所要寻找的路径长；
其实这时候整个图形是“死的”，所求BF=BD=2根号2；
方法小结
通过上面两个阶段的证明，我们再巩固下“直线型路径”的一般求解步骤：
第一步：先找定点（一般为目标动点的起点或终点或某个特殊的临界位置）；
第二步：再找到目标动点的一个过程点（一般为题目所给），然后连接该过程点和上面的定点，证明此连线与某条定直线夹角确定；
第三步：最后采取“临界点法”，找到目标动点的起点与终点，求该两点之间的距离即可.
解题后反思：对于此题，有两个值得一提；
一是在证明定角的方法上：上面采取了构造K字型全等，进而得到等腰直角三角形，说明45度的方式，其实若是你会“四点共圆”的知识，对图形稍加分析就会产生一个更简单的说理方式，分别如图19-7及图19-8所示，不再详述：
二是点G的运动路径其实也是非常有趣的：
当点E在边AB上运动时，如图19-9所示，易知Rt△ADE≌Rt△CDG（SAS），从而易得∠DCG=∠DAE=90°，从而∠DCG+∠DCB=90°+90°=180°，则B、C、G三点共线；
其实点C就是点G的起始位置，故点G的运动路径依然是“直线型”，且就在直线BC上运动；
当E点跑到点B时，画出点G的终止位置，就可以知道，此时点G的路径长等于正方形的边长2；
当点E在边BC上运动时，如图19-10所示，易知Rt△CDE≌Rt△G2DG（SAS），从而易得∠GG2D=∠ECD=90°，其实点G2就是点G的终止位置，是一个定点，故点G的运动路径依然是“直线型”，且易知此时点G的路径即为F2G2，也等于正方形的边长2；
综上所述：动点G的路径长为2+2=4.
方法二（解析法）： 题目中出现了诸如正方形、正方形、等腰直角三角形、直角三角形、等边三角形等，这就为建立平面直角坐标系奠定了天然的条件，无路可走时，一般可另辟蹊径，采取解析法尝试求解！
解题后反思：“坐标解析法”相比于“夹角定位法”，最大的优势就是没有什么太多的几何说理过程，重在计算说理；而且其另一个好处就是在起点与终点的寻找上，根本就不需要一步一步地去画图分析喽，只需要确定“主动参数t”的取值范围，代入目标点的坐标，即可确定起点与终点，再根据“两点间距离公式”，便可算出路径长！
其实，笔者曾反思过，几何里的动点就对应着代数里的参数t，在处理动态问题中，若能合理地由一些主动点引进相应的参数t，则几何问题就被代数化了，我们可以利用一系列的代数推理去进行几何证明，站在了这样的高度审视动点问题，当然就变得简单易行了，即动点问题变为了代数式计算问题，极其有趣！思想决定高度，站得高方能望得远，盼同学们在这方面多加反思、琢磨，你一定会有更多不一般的体会！
另外，此题也可以直接设出目标动点F的坐标为（x，y），然后利用图中的K字型全等去列等式，直接得到y与x的一次关系式，便可知动点轨迹为“直线型路径”！但这样设元，相对而言，在找起点找终点时，并没有上面设t法来的简单，但若只是想说明目标动点路径是直线型，则此法更显直接，请自行体悟！
解题后反思：朋成秒杀法最强大之处就在于求路径长，它几乎无视了画图过程，只需关注从动点与主动点之间的变换关系，即可口算出目标动点的路径长；
值得一提的是，在用图形变换的眼光看待两个动点之间的关系时，务必要将旋转中心以及位似中心作成定点，如若不然，很容易想象那时候“朋成原理”肯定就不成立了，这也是能用此原理解题的前提所在，即存在着某个定点可以作为从动点与主动点之间的桥梁作用，如旋转变换、位似变换，甚至于旋转加位似变换！
若用“朋成秒杀法”，再来看动点G的路径长，则问题简单的不可以道理记，如图19-15即图19-16所示，易知从动点G的路径长等于主动点E的路径长，值为4，Game Over！
最后来一首打油诗作为上面一段的小结：“传统技法定夹角，走投无路解析搞；苦思冥想不得法，神来之笔朋成秒”！
这是此种题型的第一道例题，讲解的比较细腻，下面再几例，简要分析，旨在强化巩固各种方法！（未完待续，敬请期待）
（第七集 完！）
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