不定期分享一些本人原创文章、说题短文或者专家系列讲座，主要对象针对初中学生，尤其是初三学生，对于解题研究展开系列探究！
前面提到了三个有趣的本质问题，笔者这里将它们归拢在一块，作为本文的《番外篇》，这样的探索过程极其有趣，希望带给大家数学探索之路、解题反思之路等方面一定的启示之效，看下面的问题：
问题1：在△EPF中，∠EPF=60°，E、F为两动点，但始终有PE+PF为定值8，求EF的最小值及EF中点Q的轨迹长.
问题2：在△EPF中，∠EPF为定值2α，E、F为两动点，但始终有PE+PF为定值a，求EF的最小值及EF中点Q的轨迹长（用α与a的代数式表示）.
简析：先来解决特殊情形下的问题1中EF的最小值；
第一步（画出符合题意的图形分析）：如图18-20，画出符合题意的△EPF，其中∠P=60°，且PE+PF=8；
第二步（构造平四+三等边）：如图18-21，构造出□PECF，分别延长PE、PF并分别截取EA=EC、FB=FC，则由∠EPF=60°易证明△EAC、△FCB以及△PAB都是等边三角形；
易知PA=PE+EA=PE+EC=PE+PF=8，故PA=PB=AB=8；
第四步（“斜大于直”得最值）：如图18-23，再过点E作ET⊥FH于点H，则由“斜大于直”易知EF≥ET=GH=3；
当且仅当EF∥AB时，由“超级对称”易知此时点C恰好处于AB的中点处取等号，此时易知PE=PF=4；
故所求EF的最小值为4，当且仅当“超级对称”，即点PE=PF=4时取到最小值，问题得解；
再来解决特殊情形下的问题1中EF中点Q的轨迹长；
第一步（构造平四+三等边）：同上可以构造出如图18-24有趣的基本图形；
第二步（利用“同一法”转移中点Q）：同例18中的分析一样，连接PC，利用“平行四边形对角线互相平分”易知EF的中点Q亦为PC的中点，只要计算PC的中点Q的轨迹长即可；
第三步（利用“平行距离法”或“瓜豆秒杀法”确定路径）：同例18中的分析一样，无论是通过更揭示本质的传统“平行距离法”，还是用比较现代化的“瓜豆秒杀法”都可以确定所求路径是“直线型”，其实这个问题跟例18中知识应用的问题一模一样；
第四步（利用“极限法”确定中点Q的起点及终点）：如图18-25，当PF=0时，找到点Q的第一个临界位置Q1；当PE=0时，找到点Q的第一个临界位置Q2，则Q1Q2即为所要找的轨迹，且其恰为△PAB的中位线，长为4，问题得解；
有趣的是，这个轨迹恰好也是前一问EF取得最小值时的位置，因而EF中点Q的轨迹长与EF的最小值正好相等，真是TMD的有趣，哈哈！
解题后反思：至此，问题1得到了完美演绎，笔者通过巧妙的几何构造法，几乎无任何计算掺杂，解决了此最值问题及路径长问题；
说实话，笔者也想不到上面的构造法，之所以能提出问题并解决问题，全部来源于对例18的解题后反思之功、反思之效，从这一点上，我们可以体会到，解题后反思的重要作用！解题后反思、解题后琢磨、解题后变式、解题后联想，无一不是我们必须要去培养的重要解题品质，同学们一定会有更深刻的体会的！
由特殊到一般，从特殊情形的解法类比、推广到一般情形下的求解，下面我们紧扣问题1的解法来“生搬硬套”，解决问题二，旨在巩固方法，体现类比思想的重要机制！
先来解决一般情形下的问题2中EF的最小值；
第一步（画出符合题意的图形分析）：如图18-26，画出符合题意的△EPF，其中∠P=2α，且PE+PF=a；
第二步（构造平四+三等腰）：如图18-27，构造出□PECF，分别延长PE、PF并分别截取EA=EC、FB=FC，则易证明△EAC、△FCB以及△PAB都是等腰三角形；
第三步（“三线合一”确定底边）：易知PA=PE+EA=PE+EC=PE+PF=a，如图18-28所示，过点P作PO⊥AB于点O，由“三线合一”知∠APO=α，则AO=APsinα=asinα，从而AB=2asinα；
再来解决一般情形下的问题2中EF中点Q的轨迹长；
第一步（构造平四+三等腰）：同上可以构造出如图18-31有趣的基本图形；
第二步（利用“同一法”转移中点Q）：同例18中的分析一样，连接PC，利用“平行四边形对角线互相平分”易知EF的中点Q亦为PC的中点，只要计算PC的中点Q的轨迹长即可；
第三步（利用“平行距离法”或“瓜豆秒杀法”确定路径）：同例18中的分析一样，无论是通过更揭示本质的传统“平行距离法”，还是用比较现代化的“瓜豆秒杀法”都可以确定所求路径是“直线型”，其实这个问题跟例18中知识应用的问题一模一样；
第四步（利用“极限法”确定中点Q的起点及终点）：如图18-32，当PF=0时，找到点Q的第一个临界位置Q1；当PE=0时，找到点Q的第一个临界位置Q2，则Q1Q2即为所要找的轨迹，且其恰为△PAB的中位线，由前一个问题易知，此中位线长为asinα，问题得解；
有趣的是，这个轨迹恰好也是前一问EF取得最小值时的位置，因而EF中点Q的轨迹长与EF的最小值正好相等，真是TMD的有趣，哈哈！
解题后反思：由特殊的问题1到一般的问题2，求解思路几乎一成不变，这种类比推理的思路在解决综合题中，尤其是几何变换大题中有着极其重要的作用，值得每一位学生用心体悟；
另外，如果再细心一些，你会想到动点Q路径的两个端点都不能取得，即PE与PF都不能为0，不然△EPF就不存在了，与题意不符.因此笔者猜想，原题例18这道中考真题正是考虑到了端点取不到这种情形的漏洞，才在线段AB上又取了两个定点C与D，这样才能更准确些.虽然端点即便取不到也不影响计算轨迹长，但毕竟给人留下一个小小的“把柄”不太好！中考命题启示我们，作为数学人应时刻都要抱以严谨的治学态度！
（第七集 番外篇1完！）
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