时钟问题

 

导言：

   钟面上的数学就是研究钟面上时针和分针的关系，如两针重合、垂直、成一直线、成多少度角及钟表快慢提出问题。因为时针和分针是朝向一方向移动，但速度不同，所以钟面上的数学类似于行程问题的追及问题。而追及问题最关键的概念是速度差，所以要解答钟面上的数学，首先要清楚时针、分针的速度。

 

    从格数上来看：时针每小时走1大格，而分针每小时走12大格，时针的速度是分针速度的1/12，分针每分钟走1小格,时针每分钟走1/12小格,每分钟分针比时针多走1- 1/12=11/12小格,所以，速度差=1- 1/12

    从角度上来看：钟面是个圆，360º，有12大格，时针每小时走1大格，即每小时走30º，每分钟走0.5º；两大格间有5个小格，分针每分钟走1小格，即每分钟走6º，所以此时分针、时针的速度差=6º-0.5º

 

  要解答时钟问题时注意事项：

   ①解题时，往往从时针、分针的初始位置开始考虑

   ②路程差÷速度差=追及时间

   ③在算速度差时，可以从格数上和度数上两个角度去思考

 

   例1．从时针指向4点开始，再经过多少分钟，时针正好和分针第一次重合？

 

   解析：

    方法（一）从格数上考虑。从时针、分针的初始位置：4点整开始入手

  4点整时，分针在时针后面20格，这是追及路程；速度差=1- 1/12

       追及时间=20÷（1- 1/12）= 21又9/11(分)

 

方法（二）从度数上考虑。从时针、分针的初始位置：4点开始入手

 

      4点整时，分针与时针的夹角是6º×20格=120º，这是追及问题；速度差=6º-0.5º

    追及时间=120º÷(6º-0.5º)=21又9/11(分)

 

  

思考：为什么题目中要有“第一次”这样的字眼，如果去掉又会怎么样？

 

  例2．在5时与6时之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？

 

解析：在5时与6时之间，时针与分针有两次出现相互垂直。

  （1）两针重合前成直角

     5点整时，分针与时针的夹角是6º×25格=150º，成直角时的夹角是90º

       追及时间=（150º-90º）÷（6º-0.5º）=10又10/11(分)

 

  (2)两针重合后成直角

        追及时间=（150º+90º）÷（6º-0.5º）=43又7/11(分)

 

  例3．在3点与4点间，时针和分针在什么时刻位于一条直线上？

 

    解析：时针与分针在一直线上，有两种情况：两针重合、两针成180º角

（1）两针重合

  3点整时，分针与时针相差15格，这是路程差

   追及时间=15÷（1- 1/12）=16又4/11（分）

 

（2）时针与分针成180º角。

   3点整时，时针与分针的夹角是6º×15格=90º

   追及时间=（180º+90º）÷（6º-0.5º）=49又1/11(分)

 

  例4．7时几分，分针与时针成30º角？

 

  解析：两针成30º分两种情况：重合前和重合后

（1） 重合前成30º

  7点整时，两针夹角是30º×7大格=210º

   追及时间=（210º-30º）÷（6º-0.5º）=32又8/11(分)

 

（2）重合后成30º角

   追及时间=（210º+30º）÷（6º-0.5º）=43又7/11(分)

 

  例5．2时40分，时针与分针的夹角是多少度？

 

   解析：2点整时，两针夹角是60º，40分钟后，分针转动了40×6º=240º，时针转动了40×0.5º=20º,所以2点40分时,两针的夹角=240º-60º-20º=160º

 

    例6.  4点过多少分时,时针与分针离”4”的距离相等,并且在“4”的两边？

 

    解析：这道题不太容易求出路程差，因此不好用追及问题的方法来解答。由题可知，此时分针与时针离“4”的距离相等，即，时针从正好指向“4”开始转动，顺时针转到现在时针位置所走的路程，和逆时针转动到现在分针所在位置所走的路程是相等的。所以我们不妨换个角度来思考，将原来分针和时针做顺时针方向运动，转化成分针做顺时间方向转动，而时针做逆时针方向运动，在现在分针的位置两针重合。这样，就把追及问题转化成了相遇问题

   路程和=5×4=20格，速度和=1+ 1/12

 相遇时间=20÷（1+ 1/12）=18又6/13（分）

 

    在时钟问题中，专门有一类题是研究与不准确时钟有关的时间问题，这类题是由于钟表或快或慢产生了误差而导致的，变化很多，无论怎么变，可以从以下两个方面入手考虑：①抓住单位时间内的误差，然后根据某一时间段内含有多少个单位时间，就可求出这一时间段内的误差②抓住不准确的钟与标准钟的速度比，通过解比例的方法，来解答这类问题

 

 

    例6．小明家的挂钟比标准时间每小时慢2分钟，小明早上7点上学时把钟对准，回家时挂钟正好指着12点。问：此时标准时间是多少？

   解析：方法（一）从单位时间误差入手考虑

   由题可知，挂钟走58分钟，实际标准钟已走了60分钟，挂钟走1分钟，标准钟就走了60/58=30/29分钟，即挂钟每走1分钟，会比标准钟慢30/29 – 1 = 1/29分钟。挂钟从早上7点到12点，共走了300分钟，这样总的比标准种慢了300× 1/29 =10又10/29分钟。

 所以，当挂钟指向12点时，标准钟应该是12点10又10/29分

 

方法（二）从两者的速度比入手考虑

   挂钟与标准钟的速度比是58：60，设此时标准走了x分钟

    58：60=300：x

  解得 x=310又10/29分钟，即5小时10又10/29分

 即此时标准钟是12点10又10/29分