课堂教学质量的核心是课堂教学的有效性。为提高课堂教学的有效性，我们在教学中实施“变式与联结”教学方法。“变式与联结”教学主要体现在概念和几何形体的教学及相应的练习设计中，通过控制概念的内涵和外延、对几何形体的“转化”、练习形式和呈现方式的有效设计来帮助学生在“变”中求“联”。在研究中我们探索了“变式与联结”教学的一般模式，而且通过研究我们发现变式与联结教学有效地提高了教学效果，使教师的教学思想和学生的学习方式都发生了改变。教师不再唯“教材”是“命”，而是以学生为本设计教学活动和思路；学生的学习也不再“唯唯诺诺”，而是在活动中学习，在学习中得到发展。
1、问题的提出
1.1、课题研究的目的与意义.
⑴长期以来，由于师资、教育观念、教学方法等各种各样的原因，使我们的数学课堂教学曾一度出现低效现象，不得不靠“加大”练习量而维持较好的“教学质量”。
①随着新课程标准的实施，以人为本、学会学习、终身学习的思想已成为教育界同仁的共识，我们的课堂出现了一些可喜的变化：课堂似乎变“活”了、变“热闹”了.
②由于部分教师对新的教育理念领悟不透,又出现了许多花拳绣腿式的“优质课”：有的为了讨论而讨论，有的为了合作而合作，有的为了创设情景而设计了花里胡哨的情景。所有种种，都不可避免地降低了课堂教学的有效性。
⑵大量成功的教学案例已经证明，课堂教学质量的核心是课堂教学的有效性，即指在有限的时间和空间内，教师采取恰当的教学方式，激发学生学习的积极性，让学生主动参与学习的过程，获取大量真正理解的有效知识.
①充分培养和锻炼学生的创新精神和实践能力，形成良好的情感、正确的态度和价值观，促进学生全面发展的一种教学。新课程标准中提出：要使数学教育面向全体学生，实现“人人学有价值的数学，人人都学必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”。
②为帮助学生实现自身的发展，我们从“外因通过内因发挥作用”的教育心理学角度进行论证，认为在教学中恰当、合理地运用“变式与联结”教学方法对于有效学习不可或缺。
⑶本课题系2005年度市规划课题。课题组负责人：鄂爱生顾问：程安鼎 课题组成员：陈亚娟（执笔）沈云香 方 玲 毛美法 袁 丹
⑷鉴于这样的观念的认识，我们从2005年秋季开始，我们开展了为期一年的《在 “变式与联结”中实现课堂有效教学的实践与研究》活动，研究对象是本校四年级的三个平行班165人，401班为实验班，402班、403班为对照班。
1.2、国内外有关的研究现状的综述.
⑴国内外对于“变式”和“联结”分别研究的较多，但专项研究还不多。早在十九世纪初就有心理学家提出了“联结说”。他们认为：学习就是刺激和反应形成联结的过程，S-R学习理论就是研究刺激和反应形成联结的规律。最早的S-R学习理论是桑代克的联结主义，认为低级动物和人类学习的最典型的方式是试误式学习，或称选择和联结学习。
⑵国内对于变式教学的研究较多，一般运用在数学上是从多个侧面将无关因素或关键特征设计习题,让学生加以辨别,从而消除干扰、把握关键，明确问题方向，对于含有较多共同要素的同一知识点的两个难易不同的变式间的学习,又常兼用比较的方法，帮助学生更灵活地掌握知识。
2、课题的界定与预期目标.
2.1、课题主要概念的界定.
⑴变式与联结：“变式”主要是指“教学变式”。在《教育大辞典》（顾明远主编）中是这样解释的：在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一，即在教学中用不同形式的直观材料或事例说明事物的本质属性，或变换同类事物的非本质特征，以突出事物的本质特征。
①所谓“联结”是指挖掘知识之间、事物之间的相互关联的内涵或外延，从纵向或横向等多侧面、多角度去把握知识体系、构建新的知识网络。
②这里所说的“变式与联结”是把二者结合起来。但要让小学中段学生学会、运用“变式与联结”方法是比较困难的，所以我们研究的重点放在教师的教学上，在教学中不断地变换知识点的非本质属性，而突出本质属性，并使有关的本质属性相互“联结”，形成“主心骨”，让学生领略“万变不离其宗”的奥妙。
⑵课堂有效教学：主要研究在课堂上如何让学生用较少的时间和空间获取相对较多的学习收获。衡量有效教学时，既要看学生可测量的知识技能，更要看学生学习过程中情感、态度和价值观的变化、学习方法的掌握情况和学习能力、习惯等内隐的难于测量的变化，看教学预设以外的目标生成情况，特别是学生的学习实践能力、创新意识和能力的变化。新课程背景下，只有学生在上述各方面都发生了积极的变化，才能说是有效教学。
2.2、课题研究的预期目标.
数学知识之间总是存在千丝万缕的“关系”，而万物在无穷的变化中总有不变的东西，通过在教学中实施“变式与联结”的教学方法和策略，培养学生在“变”中求“联”的意识，实现课堂教学的有效性。
⑴在日常教学中，让我们一线的数学教师更好地从整体上把握教材的编排体系，注重引导、挖掘可利用资源，让学生感悟、领会“变式与联结”的内涵，以逐步提高教师的教学业务水平。
⑵提高学生学习数学的能力，自觉地、主动地在学习过程中运用所学知识“举一反三”、“融会贯通”，并创造性地运用发散思维、统摄思维和逆向思维，进行判断、推理和整合。
⑶实现有效学习，促进不同程度的学生在原有基础上都有所发展、有所收获。
⑷丰富教学形式，体现并实现课堂教学中的分层教学。
3、课题研究的思路与框架
3.1、课题研究的操作措施及做法.
⑴课题研究通过对实验对象的控制来进行，在所确定的实验班采用本课题的研究思路与相应的教学方法，在教学设计中注重改变对象的表达形式和挖掘数学知识内在的本质的方法。
⑵在研究时主要分两个阶段进行，第一阶段时主要依靠教师设计、引导为主，重在让学生感悟；第二阶段以学生的自主探究、创造为主，辅之以教师适当的点拨，让学生领会“变式与联结”的内涵，并运用于其它知识甚至学科的学习。
⑶具体分以下几步进行：
①组长确定任务，然后每位教师就各个内容认真钻研，充分准备。
②集体研讨。在组长的组织、协调下进行商榷和探讨，各抒己见，最后共同比较、切磋和完善，确定最佳方案。
③试点实验。由一位教师根据研讨中达成的教学方案进行实际执教，其他课题组成员参加听课，并且邀请其他年级和其他学科的教师，甚至包括数学名师进行临堂听课。(一部分教师着重记录教师指导情况，另一部分教师着重记录学生学习情况。)
④全员诊断。组织所有听课人员对试点实验课进行审视和反思，并听听学生的声音，让学生谈感受，谈困惑，谈建议，并以数学日记或小论文的形式表现，最终得出改进意见，提出修订方案。
⑤实践推广。其他教师按照全员诊断达成的教学方案进行实施教学。
3.2、课题研究的步骤及人员分工.
⑴准备阶段。（2005.7——2005.8）
①责任人：鄂爱生.
②主要工作：前期论证、搜集文献、形成研究方案。在这一阶段，我们主要选择好实验对象，设计实验方法；制订观测指标，做好各项测试及学习培训工作，形成初步的研究方案；做好前测，组内成员商议研究方法。
⑵实施阶段。（2005.9——2006.6）
①责任人：课题组全体成员
②主要工作：深入课堂进行初探、举行教学设计比赛。各组员在教学中将“变式与联结”思想有计划、有目的的落实到课堂教学中，并提高学生运用数学、认识数学的能力与水平。在实施过程中，先后有17位数学老师（包括课题组成员）、165名学生参与我们的课题研究，收到学生有效问卷调查162份，收到课题组教师相关的论文、案例共15份，相关的教学设计7份，有一些论文、案例在县级及以上竞赛中获奖（见附件），许多教师感触很深。
⑶总结阶段。（2006. 7——2006.8）
①责任人：陈亚娟
②主要工作：资料整理、撰写结题报告。
③成果形式：研究报告。本着全面、客观、科学的眼光对研究情况进行分析，总结、研究值得推广的经验和收获，将研究成果整理成文。
4、课题研究的内容与方法
4.1、课题研究的内容.
⑴本课题主要研究在课堂教学中如何渗透、运用“变式与联结”教学方法，实现课堂教学的有效性。
⑵具体体现在新知的教学和课堂练习的设计中，我们把新知的教学分为三部分：概念性知识的教学、几何图形的教学、代数符号的教学；练习的设计分为问题的解决过程和习题的变式两方面。
⑶通过教学使教师更好地从整体上把握教材，挖掘利用教材资源，从而使“变式与联结”既适用于数学概念的辨析与掌握，也适用与数学活动经验的增长。
4.2、课题研究的方法.
⑴实验法：选定实验班，根据研究目标，对研究过程中涉及的变量作出分析和控制，确认“变式与联结”教学方法与学生素质发展、教师教学水平之间的因果联系。
①期间，运用问卷调查学生实验前后的情况，以便作进一步的研究。在研究过程中采取多种方法（定量与定性相结合）进行分析.
②能用科学的眼光、辨证的观点正确分析现象和结果，做出正确的判断，并坚持理论研究与实践探索相结合，边实践边思考提炼，及时总结、及时推广。
⑵实验以自然实验法对下列变量进行控制.
①自变量：教学中教师的指导程度和时间安排。在实验班中教师注重对教材教学内容进行分析，有意识地在教学中体现“变式与联结”方法，并引导学生参与、模仿、运用。
②因变量：学生的学习方式、参与探究的意识、自主发展的程度。
③协变量：学生原有的学习水平、学习基础、学习能力等。
5、课题研究的实施过程
5.1、课堂教学中灵活运用“变式与联结”的方法引导学生学习.
在数学知识网络中，可以说每块知识都存在一些相关联的内容。正因为数学知识是相互联系、有机发展的，如果在各知识点之间建立适当的“联结”，在教学中灵活地“变式”，则能帮助学生构建更完整的知识体系，给实现有效教学创造有利条件。
⑴从教学内容上考虑，“变式与联结”的运用可分三类.
①在数学概念的变式与联结中实现有效教学.在数学概念的学习上，变式与联结的目的是帮助学生排除概念的无关特征，抓住事物的本质特征，这对有效地学习知识、理解事物的本质特征、实现有效教学有着现实意义。
ⅰ通过直观或具体材料的变式引入概念.数学概念的一个基本特征是抽象性，但许多数学概念又直接来自具体的感性经验，因此，有效学习的关键是建立感性经验与抽象概念之间的联系，即建立“联结”。
a如教学“平行与垂直”的概念时教学的难点有两个：理解概念（内涵）、建立空间观念。为突破难点，我们可通过以下两类变式：一是利用学生生活中的直观材料，如学生的课桌、尺、教室中的门窗等物体上存在的平行或垂直现象，帮助学生理解概念的内涵；二是利用不同的图形变式（如图），作为直观材料与抽象概念之间的过渡，使学生原有的感性经验从具体直观上升到抽象图形的水平，进而掌握概念图形的基本特征，准确把握概念的外延空间。
b必须注意的是，在概念的引入阶段，这些材料的主要作用是建立感性经验与抽象概念之间的联系，帮助学生有效地、主动地投入到学习中去。而当学生已经理解了概念、建立的相应的空间概念后应马上摆脱具体或直观的背景，使概念上升到抽象水平。
ⅱ通过控制数学概念的外延突出概念的本质属性.作为概念一般都具有内涵和外延两部分，数学概念也不例外，它具有自己的外延。也就是说，掌握一个概念就意味着能通过内涵去确定某具体的对象是否在这个边界内.
a如果在这个边界内则属本概念，如果在这个边界外则属概念的外延。如认识“三角形”时，可设计二至三题如下辨析题组：(a)由三条线段组成的图形是三角形；(b)等边三角形是特殊的等腰三角形；(c)有两条边相等的三角形一定是等边三角形。
b通过这样的辨析、讨论，有意识地引导学生从“变”中发现“不变”的本质，从“不变”中探求规律，逐步培养学生灵活多变的思维品质，激发其学习数学的积极性和主动性，提高其数学素质，从而真正把对能力的培养落到实处。
②在几何形体的变式与联结中实现有效教学.在我们现行的数学教材中，关于几何形体方面的知识上蕴涵着许多有利于“变式与联结”的信息，特别是图形的周长、面积和体积等，教材的编写中明显地体现了“转化”思想，转化思想其实就是对形体的变式与联结，通过形体的方位、形状等的变式与联结教学，可帮助学生“打通”各外表形状不同、实质有联系的形体的“关节”，有效运用变式与联结教学提高教学的实效性。
ⅰ通过“等积变形”加强形体间的变式与联结。几何形体的等积变形在平面图形的教学中尤显突出，在教学中我们可以通过几何形体的变式与联结，让学生感悟“形在变、积未变”的思想。
a如学习《三角形面积》时，可以引导学生在一组平行线之间画出面积相等但形状不同的三角形（如下左图）.
b学了《平行四边形的面积》后，则可以在两者之间建立“联结”：如何在一组平行线间画出面积相等的三角形和平行四边形？从而引导学生探究“高”相等的情况下，怎样变“底”，才能使它们的面积相等（如下右图）。
ⅱ通过“化归”加强形体间的变式与联结。从教材的编排体系上看，先安排学习长方形的面积，而此后的正方形、三角形、平行四边形、梯形甚至圆形面积的学习，都是通过割补、平移、旋转等方法转化成已学过的图形，即运用“化归”的思想进行学习的。
作为教师就要运用好教材，驾驭好教材。在教学和设计学习活动时充分发挥学生的主体作用，教师充当好“引导者”的角色，当学生发现三角形可割补成长方形时，让学生思索是否可以转化成其它图形？是否还有其它方法？加上教师“若隐若现”的点拨，相信学生自己会有更多发现的。而当学生在老师的引导下通过自己的探索、尝试，找到解决新问题的方法时，我想学生必会“欣喜若狂”：对付新问题我有办法了。
学生在割补、平移、旋转的同时，不仅实现了新旧知识的迁移，学会了面积的计算方法，更重要的是学会了数学思想方法的运用，理解了数学知识之间的相互联结的趣味和奥妙，给学生的轻松学习奠定了学习基础。
③在代数符号的变式与联结中实现有效教学.数学知识体系中包含着代数和几何两大部分内容，而这两部分内容都离不开“符号”这一元素，而数学符号是很抽象的东西。
ⅰ我们知道小学生的思维多以具体形象为主，抽象思维能力还有待于发展或正在发展形成中，因而他们学习数学总是跟具体形象的物体联系在一起，为让学生理解并接受抽象的数学，我们应该依据学生的年龄特点设计有效的教学情景，引导学生在“变”中求“联”，在具体的（实物）、半具体半抽象的（图）、抽象的（数学符号）之间建立联结。
ⅱ例如：在学习并理解“1000”时，可以先从实物小棒引入，到看着小棒图读数，再到计数器拨数，最后到写数。在此基础上再把材料的序进行颠倒，即开始引入时可以从具体到抽象，最后应用时可以从抽象到具体，从写数、拨数、看图读数，到看数拿小棒等，最后把所有不同形式的物、图、符号联系起来。
ⅲ教学中我们要把握还知识点与知识点之间的关联，要把握好知识点的各要素之间的关联进行有效教学。
⑵从学习过程上分，“变式与联结”又体现在问题的解决过程和练习的设计形式两个方面。
①在问题的解决过程中运用好“变式与联结”。数学问题解决的一种基本思路是“将未知问题化归为已知问题，将复杂的问题化归为简单的问题”（弗里德曼）.
ⅰ未知问题与已知问题之间没有明显联系，就需要在两者之间进行适当铺垫，作为化归的“台阶”。即：
推出
化归
化归
推出
已知问题 变式与联结 未知问题
ⅱ由于数学知识具有逻辑性和严密性，使得这样的“台阶”犹显重要。特别在学习三步计算应用题时，一些思维能力较弱的学生往往会感到束手无策，或理解困难，而如果将中间问题找出来或分解成几道简单的一步或两步计算应用题，学生便会感到学起来轻松许多。
ⅲ如：食堂有一批煤，原计划每天烧1.2吨，可烧50天。实际每天节约0.2吨，实际可比原计划多烧多少天？变题：a食堂有一批煤，原计划每天烧1.2吨，可烧50天。这批煤有多少吨？b食堂有一批煤，原计划每天烧1.2吨，实际每天节约0.2吨，实际每天烧多少吨？c食堂有60吨煤，实际每天烧1吨，可烧多少天？d食堂有一批煤，原计划烧50天，实际烧了60天，比计划多烧多少天？
②在练习设计的变式与联结中实现有效教学。课堂教学的效果与练习设计的有效性是分不开的，为使练习的设计能更好地突出事物的本质特征或本质属性，我们要改变练习题的呈现形式和呈现情景。通过在“变”中抓“不变”的练习，可实实在在地帮助学生更深刻地理解数学问题，沟通数学知识间的内在联系。从而有效提高学习效果。练习的设计通常有下面几种方法：
ⅰ改变练习题的呈现形式。在数学的知识海洋中，有许多数学知识的趣味性不强，有的甚至可以说是枯燥乏味，怎样才能吸引学生的注意力和目光，让知识变活？变得有“味道”？这只有靠教师的设计了，除了要动脑设计有新意的情景，在练习的设计上也不容忽视，往往可运用口答、填空、自己出题等多种形式出题帮助学生巩固所学知识。
a如学了能被2、5、3整除的数的特征后，可设计:(a)口答题：能被2、5、3整除的数有什么特征？能同时被2、5整除的数有什么特征？(b)填空题：“12□7□”，要使它能被2整除可怎么填？要使它能被3整除呢？能同时被2、5整除呢？(c)判断题：连续三个非零自然数中必定有一个是3的倍数。（ ）;能同时被2、5、3整除的最小两位数是30。（ ）(d)选择题：能被2整除的数一定是（ ）A合数 B偶数 C素数
b如此种种，通过多种形式的练习，从不同角度、不同侧面考查了学生掌握知识的情况，学生的反馈不仅可以使教师随时调整教学方案，而且可有效促进学生主动学习，促使学生学习的课堂是有效的，教学是有效的。
ⅱ改变练习题的呈现情景。在练习设计中，教师应有目的地变换情节，帮助学生从不同角度、不同侧面去分析解决问题，提高学生的学习能力。
a如学习长方体和正方体的表面积和体积时，如果一味让学生计算“已知长宽高求表面积或体积”，学生肯定3题后变管自己玩了，但独立作业中肯定会错误百出——计算马虎、审题不清等的原因。这时我们应设计多种形式的变式题让学生“时时感到新鲜”而有吸引力。
b如可设计这样的一些题：“一个长方体金鱼缸……”学生便知道了要计算底面和侧面五个面的面积，而体积不变；“做一个长方体烟囱……”学生就会想到只有四个侧面要用材料；“把一个棱长8分米的立方体钢块，锻造成一个长6分米、宽5分米的长方体……”学生明白了形状变了而体积没变。
c这些问题其实“万变不离其宗”，都考察了学生理解特征的程度。但有这样不断变换的情景，学生感到新鲜，他们的学习积极性变会得以激发和保持，无疑对提高学习效果、实现有效教学是有极大的益处的。
5.2、在“变式与联结”教学中，实现有效教学的主渠道是师生互动.
教学是教师的教与学生的学的统一，这种统一的实质就是师生之间的互动，即相互之间交流、沟通及共同发展。在“变式与联结”教学中，教师必须引导学生去发现、探索知识，并和学生一起去研究“变式”，寻找“联结”，和学生共同感受数学的快乐、成功的喜悦，真正体现教学的有效性。
⑴在有效的问题情景中实现师生互动。在教学中，变式问题的创设与形成使学生感到一题多用、多题重组的趣味，有的题目似曾相识，却又有新鲜感，从而进一步唤起学生的好奇心和求知欲，产生主动参与的动力，更重要的是延续学生探究的热情、集中学生的思维资源。
⑵在小组合作中实现师生互动。课堂上有效的小组合作特别需要师生之间的互动。如果缺少师与生的相互配合、相互参与，而单靠其中任何一方都是不可能有效完成教学任务的。特别是当变式问题由学生自己提出、自拟习题、互相出题时，不仅可以检验学生对结论理解的深度，加强了知识形成的过程性，同时也才真正体现了课堂上的师生互动、交流。
⑶在学生交流中实现教学互动。课堂上学生与学生之间、学生与教师之间的交流是重要的一种活动形式。从个体外在的表现看，学生在交流过程中阐述观点，会对其他同学产生影响：认同了，相互理解，有争议，相互沟通；有问题，引发探究，实现人与人、人与文本、人与媒体之间的多次“对话”。从个体内在的变化分析，交流过程中学生会主动地将他人的观点与自己的观点进行对比分析：当观点被肯定时，会带着成功的体验进入下一个学习内容；当观点被否定时，会重新审视自己的观点并为之辩解。可见，交流能带动起教学中的交往互动。
⑷在课堂评价中实现师生互动。课堂教学评价将凸现学生的主体地位，也关注教师的主导作用，在实施运用“变式与联结”法进入课堂的研究过程中，我们觉得：在课堂上，不论学生的回答让我们教师满意与否，我们都应根据实际需要给学生以评价，如：一句肯定的话，一个会心的微笑，一个鼓励的目光等等，都会给学生积极的影响。同时，教师还应注重引导学生对其他同学进行评价，创设师生之间、生生之间相互评价的氛围，对于促进学生的全面发展、师生互动有着重要作用。
5.3、有效的课堂需要合理有效地使用教材.
教材是教师设计教学活动的蓝本。在新教材中，编者煞费苦心在大千世界中选取具有特定数学信息的现实背景，再根据班级、教学目标为儿童学习数学创设有趣、实用、可操作的数学情境。那么，如何根据学生生活经验利用好这些情境，使得我们的数学教学是有效的呢？值得我们教师探讨。
⑴改进加工教材。即充分利用教材提供的情景图，根据学生的生活实际和知识经验，创造性的进行改进和加工。如《乘法结合律》这节课，根据教学需要，我们可以把情境图进行创造性加工，让学生自主发现信息，提出学生最想解决的数学问题。这样加工的目的是为了培养学生的数学意识,逐步提高学生从生活中发现数学问题，提出问题的能力。
⑵丰富教材。教学时充分利用教材提供的资源，挖掘教材隐含的培养学生能力的因素，对教材内容进行丰富、拓展和引伸。如我们在推导平行四边形的面积计算方法时就运用了变式与联结的策略。在得出用“割补法”来推算出它的面积后，可启发学生继续思考“是否可以把平行四边形转化为其它图形？”现在的学生对于三角形、梯形是早就认识的了，这样的引导、延伸是可行的，还可使学生的学习热情得以保持、学习积极性继续延伸。
⑶开发教材。开发教材就是突破教材的束缚，根据教学要求重新设计教学情景。如在教学《乘法结合律》时，可以借助于学生熟悉的购买铅笔、橡皮等学习用品或生活用品，创设求“部分总数”的情景，让学生直观地感觉到：可以先根据“每箱10盒，每盒12枝”求一箱的枝数，再求4箱的总枝数，也可以先根据“有4箱，每箱10盒”求一共有多少盒，再求一共有多少枝。这样结合具体情境，能使学生充分感知从日常生活的事例中抽象出数和符号及乘法算式的过程，既符合课程标准的基本要求，又有利于学生对乘法结合律的理解和掌握。
⑷“一千个读者，就有一千个哈姆雷特”。同一个教学内容，不同的教师会有不同的理解。新课程标准理念下，作为教师对教材的研读和感悟是第一步的，只有品出了其中的内涵，悟出了其中的精髓，把握了新课程的脉搏，才能有效地实现教学这一“再创造”的过程。
5.4、有效的课堂教学需要有效的课堂调控.
课堂教学的成效不仅与课堂教学设计有关，还与教师的课堂调控的有效性有关，教师如何实现有效的课堂调控？
⑴“变式与联结”教学需以学生经验为有效教学的生长点.
①奥苏泊尔曾说过：影响学习的最重要的因素是学生已经知道了什么，即学生已有的知识背景和生活经验，然后据此进行相应的教学安排。有效的教学要以学生已有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生进行“变式与联结”，并在此基础上扎扎实实地“跳一跳，摘到桃”——“生长”新知识。
②如在教学《比例尺》时，学生已经有了关于比的知识和对地图、平面图的了解。这使教师很容易引导学生在纸上画出与手中三角板同样大小的三角形，通过比较，得出“图上的边长﹕实际的边长=1﹕1”；然后问：“你能把一个长50米，宽30米的篮球场同样大小的画在纸上吗？”学生面面相觑，小声议论着。有的在思索，有的边摇头边说：“篮球场太大，纸这么小，画不下——”这时，老师慢慢地说：生活中我们见到的地图是怎样的？很多学生马上意识到什么，露出了微笑。于是他们在老师没进行任何讲解的前提下，充分利用学过的比的知识，把它的长和宽缩小若干倍，又借助生活中的相关经验画了起来，很快就有的同学画好了——“比例尺”的概念自然生成。
③上述案例证明，只有当学生已有的经验被唤醒，并在所学内容与他们自己的认知结构之间建立“联结”时，才会有真切的体验，才会发生有效的学习。
⑵“变式与联结”教学需以数学活动为有效教学的载体.
①《课程标准》指出：教师要向学生提供充分的从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索与合作交流的过程中，真正理解和掌握数学的知识与技能、思想与方法，从而学习有价值的数学。学生的数学活动也离不开“变式与联结”方法的渗透，因为学生在思考如何进行有效的活动时，已经有意无意地在进行“变式”和“联结”了。
②如在教学《圆锥的体积》时，我把等底等高和不等底不等高的圆锥、圆柱、沙子、水“推”给了学生，让他们自己通过探究、交流，发现规律，生成圆锥体积公式；继而又让学生用不同的方法去测量、计算用沙子随机堆出的圆锥体的体积——整个过程都是学生自主活动的过程。
③好动是小学生的天性，面对枯燥、抽象的数学知识，要使他们乐于接受，能主动探索，最有效的教学是让他们参与到学习活动中，学生多种感官参与其中，身体力行知识的生成和发展，在知识的“联结”中主动地发现知识，有效的建构知识。
⑶“变式与联结”教学需以培养学生的深入思考为有效教学的内驱力.
①“学而不思则罔，思而不学则贻”，阐明“学”与“思”是辩证统一的关系，在“变式与联结”教学中必须在“学”和“思”之间建立联结，可以说没有思考就没有有效的教学。思考，是人类智慧的源流；思考，是一种深刻的体验；思考，是推进有效学习的内部动力。
②如教学《比例尺》时，当学生说出“篮球场太大，纸这么小，画不下——”时，说明思维矛盾已经产生了，我们要相信学生有能力借助思考予以解决。如果教师耐不住性子，作出讲解或提示，都会错过这一学习的有效时机而与精彩擦肩而过。
⑷“变式与联结”教学需以学生的数学再创造为有效教学的必经路.
①《标准》明确指出“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动、共同发展的过程”。教师的作用在于激发学生的学习兴趣，提供现实而有吸引力的学习背景，激活儿童已有的知识和经验储备，并向学生提供充分的从事数学活动的机会和空间，去“做数学”，完成 “数学的再创造”。学生在“再创造”的过程中，体验知识的由来，感知“变式与联结”的奥妙，诱发创造兴趣，成为自己的学习策略。
②如教学《圆的周长》，我注重知识的发生过程，创造条件让学生成为真实的探索者：通过充分操作，得出 “绕”、“滚”、“截”三种“化曲为直”的方法测出圆的周长，像数学家一样经历“问题——猜测——测量——再测量——归纳——验证”的探究过程，完成数学的再创造。
6、研究效果
“变式与联结”教学方法是运用变式的手段帮助实现学习目的的过程。在知识掌握的各阶段，运用概念正例的变化和比较，向学生提供丰富的思维感性材料，揭示并明晰概念的外延，这就有利于学生区分概念的本质特征和非本质特征，准确理解知识。我们对“变式与联结”教学方法的研究取得了一定的成果，主要有以下三方面：
6.1．探索了“变式与联结”教学的一般模式。
⑴课堂是开放的，学习内容是丰富多样的，这就决定了活动内容不同，相对应的活动形式也不尽相同，因此，我们针对活动内容的不同，吸收前人研究的经验，通过两年来的研究，我们基本形成了比较成熟地以学生为主体，教师为主导的教学“流程”：
程 序
创设
情景
提出
问题
讨论及
解答
解释或
修正
结论及
评价
拓展
提高
功 能
启迪
思维
获取新知提高能力
信 息 加 工
能 力 培 养
刺激思维
运用深化
引发新问题
⑵从整个过程看，创设问题情景和制造悬念是以教师的活动为主，其他几个程序都可以是师生共同参与，体现平等、民主的学习形式，无论是优等生还是后进生都有发表自己看法的机会：优等生可以提出更新的问题或更巧妙的解法，后进生可以进行解答或提力所能及的问题。
⑶教学《三角形的认识》时截取课堂教学片段如下：
①师：今天我们学习了三角形的认识，知道了什么是三角形及按角分可分哪几类。请听听这样说可以吗：“三条线段围成的图形叫三角形”？（提出问题）生：不行！
②师：为什么？（引导学生讨论解答）生1：应该说是“三条线段围成的封闭图形叫三角形”。生2：三条线段应该首尾相连。
③师：你能不能画几个三角形？（解释或修正）生独立或小组画三角形并相互交流。
④师：关于本课所学的知识，你能否提出这样的判断题请同学们来判断正误？引导生小组合作提问题，对后进生教师可以适当提示出题的方法。（引发新问题）生1：一个三角形不可能有两个直角。生2：等边三角形一定是等腰三角形。生3：有两个角是60゜的三角形是等边三角形。……
⑷经过学生相互讨论解答、修正及教师的评价、引导，一环一环地引导学生不断尝试、体味“变式与联结”，课后设计有关练习进行拓展提高，帮助学生辩明是非以更牢固地抓住事物的本质，实现有效教学。
6.2．教师的教学思想和理念得到根本的转变。
⑴经过这一年课题的实施与研究，我们的数学教师不仅改变了以往对“优质课”的教学评价观，重视抓课堂实效，还改变了唯“教材”是“命”的教材观，学会了更好地从整体上把握教材体系.
⑵对现行数学教材中的内容及呈现方式进行再思考：或进行内容重组、或进行内容的重新选择、或优化内容的呈现方式等，以逐步提高教师的教学业务水平。
⑶通过课题研究的辐射作用以转变我校数学教师的教学观念，整体提高了数学课堂教学效果。
6.3．课堂教学的有效性得以体现。
在实施“变式与联结”教学方法进课堂时，我们定期地对实验班和对照班进行的检测、分析，研究两者在平均分、标准差、课堂思维能力等多方面的差异，具体体现在以下几个方面：
（1）丰富了教学的层次性、多样性、灵活性.在课题研究中，我们把“变式与联结”教学的基本策略定位在教学的层次性上，在不同层次、水平的学习中体现教学的多样性和灵活性。
①由于教学中重视了对概念和学习过程的“变式与联结”，加强了数学知识横向和纵向的联系，丰富了教学内容，使教学内容呈现了不同的“梯度”和“深度”，以备不同需要的学生选用。
②课堂上，随着教学活动的层层展开，教学内容的不断充实和生成，学生往往能体味到“根生藤，藤生瓜”层层递进的无穷奥妙，体味到一题多解、一题多变、多题同解等等变题的灵活与多样，促使学生在课堂的40分钟内进行紧张而又有趣的学习，提高数学教学的有效性，达到课堂教学的最优化。
（2）促进不同程度的学生得到不同的发展.新课程标准中提出：要使数学教育面向全体学生，实现“人人学有价值的数学，人人都学必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”。
①我们知道学生的发展是不均衡的，不同的家庭环境、文化环境，使每个学生积累的数学活动经验各有不同，所形成的思维方式也是各具特色。因此即使在相同的学习情景中，获得的体验、感情也富有个性。鉴于此，我们的教学应编制多样的讨论、交流等学习活动，传递他们富有个性的理解、感悟，促进自我反思，共享创造的快乐。
②在本课题的实施中，实验教师非常重视对学生的分层教学，极力在学习中设计一些难易程度不同的题组，分别让学生去解决，并尝试“跳一跳摘桃”的趣味，让优、中、差不同程度的学生有自己的“发展目标”，并向着目标“前进”。
③从听课教师的反映中及上课教师的反思中我们了解到，实验班与对照班的学生课堂氛围和学习的主动性是存在差异的。经过一年的“特别训练”，501班的学生中有4—5名学生脱颖而出，一般的思考题都难不倒他们，而且课堂上思维相当活跃，经常自觉、主动地用几种不同的方法解题；中等生也跃跃欲试，后进生也有了表现的机会。他们体味到了学习的成功和快乐，我们觉得这本身就是一种收获。
（3）提高学生对知识理解的准确性.理解是指个体运用已有知识经验去认识未知事物的联系和关系，直至揭露其本质和规律的一种思维活动，它通过教材的直观、概括两个认识环节实现。
①在直观这一环节上，直观对象变式对直观效果有着重要的影响。我们对401班、402班、403班的学生进行了“变式与联结”解题能力的全测，并进行数据统计、分析，结果如下：
表3-2 实验班与对照班解题能力前后测结果比较
| 班 级 | n | x | s | Z检验 |
前测 | 实验班 | 37 | 86.8 | 8.9 | Z=0.81 P>0.05 |
对照班 | 128 | 85.4 | 10.2 | ||
后测 | 实验班 | 37 | 93.5 | 6.6 | Z=4.57 P<0.01 |
对照班 | 128 | 87.1 | 9.8 |
②实验表明，在课堂教学中实施“变式与联结”教学方法具有明显效果。从统计结果来看，实验班与对照班在前测中无显著性差异（P>0.05）。实验班课上运用了“变式与联结”的教学方法后，学生的变式能力和对知识的理解能力确实得到了提高，经后测，两班差异达到非常显著水平（P<0.01）。
（4）增强了学习数学的兴趣.在本课题的研究中，我们立足构建以学习者为中心、以“变式与联结”为学习重点的新型教学过程，引导学生把静态的知识结论建立在动态的思考之上，把抽象的数学概念、规则建立在比较、类化的感知之上。
①由于教师在设计教学时已经把对教材知识内容的“变式”、“联结”渗透其中了，学生在学习时必然会有感悟——原来数学知识之间存在这么多“千丝万缕”的关系！特别是当学生自认为他们学会了老师的“小把戏”——编题术以后，更是积极、主动地去尝试、体验编题的本领.
②学生有体验就会有感悟、有思考就会有话说：课堂活动时敢于质疑、提出疑问，不愿意与别人的方法相同，总想另辟蹊径；平时善于观察身边的事物，会用数学的眼光看待身边的事物，会用类比、推理的方法去判断、去猜想。
③如今大部分学生不仅乐意学习数学，而且知道怎样学习数学，学生在主动参与、积极思考，与人合作交流等活动中获得了学习数学知识、能力、情感的全面发展。
（5）扩大了学生思维的开放度.我们进行了关于“变式与联结”解决问题能力的实证研究。
①为了便于分析、统计，在研究中，我们分别对实验班和对照班的165名学生进行教学测试，为使实验结论更趋向于正常水平，我们选取了二个难度水平差不多的教学内容：第一次教学测试：探究三角形三边的关系。第二次教学测试：探究三角形的内角和。
②教学测试的目的是考察学生在问题解决中，已有知识对学习新知识、探究新问题起多大作用。这是属于“跳一跳”能“摘到桃”的内容，通过前后二次实验、施教，执教的教师感觉在两次探究时实验班和对照班学生差距很大，主要表现在以下几方面：（具体见教师案例）
| 小组合作 | 探究的深度 | 汇报交流 | 自我反思 |
实验班 | 小组成员之间配合默契，大部分小组能相互商量、交流 | 学生的思维较活跃、开放，能主动用不同的方法解题，思维有“亮点”、系统性、逻辑性强 | 发言积极，大部分学生能理智、主动认可别人的正确想法，并相互补充 | 大多数学生能掌握学习内容，但是课堂上能说会道的学生易犯粗心的毛病 |
对照班 | 小组合作被动、勉强，有时需要教师指导、协调 | 学生思维较“固定”，大多属于同一思维层次，引导到其它方法时较困难 | 只是几个学生在“表演”，大多数学生在充当“观众”。 | 学生能完成课堂练习，但学习积极性不高、兴趣不大，有的学生学与不学没什么不同。 |
③综上所述，“变式与联结”策略与数学学习的关系非常密切，而通过教学中渗透这样的思想方法，引导、影响学生去感悟、去运用，这对学生本身是一种学习方法的训练、指导。
（6）改善师生、生生关系.苏霍姆林斯基说：“只有创造一个教育人的环境，教育才能受到预期的效果。”我们的课堂要有一种“美好和谐的课堂心境”，上课时除了理好路子、定好调子、写好“本子”外，还要走下台子、放下架子、蹲下身子，使课堂中师生、生生间保持着一种多边对话关系。
①在探究活动中，教师在努力创设一种互尊互爱、民主和谐的课堂氛围，积极为不同层次的学生寻找“最近发展区”，让学生敢想、敢说、敢问，学生间智慧的火花相互撞击、相互补充、相互启发、相互激励，使数学课堂成为“百花斗妍、百家争鸣”的乐园。
②如现在的501班学生，在课堂上经常能听到与众不同的解法，经常能看到“特别”的学生：他们时而高高地举手发表自己的见解，时而安静地“苦思冥想”，时而又自信地跑上来跟老师说“悄悄话”——解题方法。一个经常散发出开心的笑声的课堂，怎么不令人羡慕？
7、思考与问题的探讨
7.1、“变式与联结”作为教学方法在实际教学中有着广泛的应用.
作为事物的一种变式，它仅是相对于事物正例的非本质的变化，因此它并非在任何场合、任何时机都可用，也不可替代其它方法和手段，必须注意：
⑴明确“变式与联结”教学的根本目的.是为了让学生更好地掌握数学知识的本质，在引导交流时必须发挥教师的主导作用，不能远离学习目标而为“变式”而变式，为“联结”而联结。
⑵引导学生学习时，应注意选用有代表性的范例。学习的成效不在于运用的数量，而是看运用是否具有广泛意义上的典型性、创造性，能否有助于学生在理解概念时克服感性经验片面的、消极的影响。
7.2、通过本课题的实施，各参与课题研究的教师普遍收益很大.
⑴一些年轻教师，在课堂上对数学知识如何构建“变式与联结” 的网络有了进一步的认识，养成了写教学反思的好习惯，每一位成员均能结合教学实际和课题研究的目标及时发现问题、研究问题.
⑵在一年多的研究中已有多篇与课题研究相关的论文发表或获奖（获奖资料见附件），教育教学水平也有了进一步提高。
（来源：钟炜的博客 阅读原文）
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