草根思索|“极端化思想”在处理动点平移问题中的探索

极端化思想是指把问题的某一条件引向极端来加以考察．数学中很多问题，若运用极端化思想去处理，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而使问题获得迅速解决。

对于动点来说，“极端化”一般是指邻界点或极限位置等等，他对于猜测问题结论，引导思考方向等方面起着重要作用。

“极端化”思想应用范例【1】

如图，已知：C，D是AB上两点，且AB=20cm,CD=6cm,M是AD的中点，N是BC的中点，求线段MN的长

分析

因为点C、D在线段AB上（如图所示点C在D左），而点C的极端位置之一就是与点A重合，考虑此极端位置可得：

可见在动点问题中运用极端化思想，使得动点与边界点重合，可以迅速使复杂问题简单化，其所得到的结论可以估计问题的答案，并运用于“填空”或“选择”题型中

类似的一个问题

在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在边BC上，过点D向AB、AC引垂线，垂足分别为点E、F，求：DE DF的值

分析

点D在边BC上，点B、点C是动点D的极端位置，移动点D与点C重合，则点D到AC的距离为零、而DE则成了等腰三角形腰上的高，于是可以猜测等腰三角形底边上的点到两腰距离和等于腰上的高。

“极端化”思想应用范例【2】

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，D是AB中点，有一个直角顶点与点D重合，角的两边分别交边AC、BC于点E、F，请问在转动过程中线段DE、DF之间有怎样的数量关系

解法一

当点E与点C重合时，显然△DEF构成了等腰直角三角形，同时也启发了右图中的辅助线“联结CD”

解法二

当点E若与边AC中点重合时，显然四边形DECF构成了正方形，同时也启发了右图中的辅助线“过点D做DH1⊥AC于H1，DH2⊥BC于H2”

可见在动点问题中运用极端化思想，使动点与端点或边界点重合，不仅能迅速猜测出答案，还能启发解题策略（提示“辅助线的添加”）

类似的一个问题

如图，已知矩形ABCD，AB＝√3，BC＝3，在BC上取两点E,F（E在F的左边),以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE，PF分别交AC于点G,H。
（1）求△PEF的边长。
（2）若△PEF的边在线段BC上移动.试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论.

分析

点P在边AD上其边界位置是AP重合，绘出AP重合时的图……

从图上比对看PH可以分成两段，PO为定值（PO=PO'=AP'=1），OH与OH'相等，而OH'=PP'=BE，由此可见：PH=BE 1

“极端化”思想应用范例【3】

分析

本例中点P、点Q是动点，其中点Q在线段AB上运动，点Q在线段BD上运动（由此可首先判断“0≤x≤2”），点P的极限位置就是点P、D重合，那点P、D重合时发生了什么？

由PQ:PC=AD:AB=AD:DH，

可知△ADQ∽△PHC，

因为直角梯形ABCD中，上下底比为1:2，

所以可以判断DB=DC，

∴ △PHC≌△PBH，

继而可证△ADQ∽△ABD，

求得：x=7/8，

由此推断：0≤x≤7/8

可见在动点问题中运用极端化思想，使得动点与边界点重合，用以求出相应未知数的取值范围即定义域

由于动点在移动过程中常体现出其“不变性”或“不变规律”，而当动点移动到端点时其几何图形的相关特性迅速得以特殊化、简化，基于这两点，将动点移至端点、边界点就有其特殊的解题意义，总结起来大致有以下作用：

① 启发思路；

② 猜测结论；

③ 求取范围。

所以，当遇到动点问题受困时，极端化思想是值得推荐的一种尝试。

声明：本文参考了刘伟军老师于6月2日在杨正家老师基地中的发言中的部分内容。