怎样解题

第一部分 在教室里

1.解题是一种实践性的技能，我们是通过模仿和实践来学会任何一种实践性技能的。2.在尝试找到解法时，我们可能会不断改变我们的观点，即观察问题的方法。3. 对你所不理解的问题做出答复是愚蠢的。4.教师千万不能错过这样的问题：未知量是什么？已知量是什么？条件是什么？5. 从理解题目到构思一个解题方案也许是漫长而曲折的。6.解答一个题目的主要成就就在于构思一个解题方案。7. 好的思路来源于过去的经验和以前获得的知识。8.没有任何一个题目是彻底完成了的。9. 一道以前解过的题目能被回忆起来是因为它和要解的题目有相同的未知量。10.导数是一个函数的变化率。11. 如果你不能解所提的题目，先尝试去解某道有关的题目。

第二部分 怎样解题

类比：1. 类比是一种相似性。2.长方形的每一条边只与另外一条边平行，而垂直于其他边；长方体的每一个面只与另外一个面平行，而垂直于其他面。3.类比渗透于我们所有的思想、我们每天讲的话和我们作出的琐碎的结论乃至艺术的表达方法和最高的科学成就。4.类比推理是最普遍的推论方法。5. 简单性是真理的标志。

辅助元素：1.聪明的学生和聪明的读者不会满足于只验证推理的各步骤都是正确的，他们也想知道各个不同步骤的动机和目标。2.数学的趣味性就在于它需要我们推理和创造能力的充分发挥。3. 想出一道辅助题目是一项重要的思维活动。

定义：1. 抛物线是到一个定点和一条直线等距离的点的轨迹。2. 解任何题目的方法必定依赖于我们的知识状态。3. 几何学可以被认为是由公理、定义和定理组成的。4. 回到定义上去是一项重要的思维活动。5. 文字和标记是有威力的。

观察未知量：1. 观察未知量，意思是盯住目标。思考你想要的东西。2. 尽量想出一道你所熟悉的具有相同未知量的题目。3. 任何一个以前证明过的定理，只要它和我们眼前要证的定理有关，它就有机会提供帮助。

现代探索法：1. 解题的经验和观察别人解题的经历，都必须成为建立探索法的基础。2. 变化题目是我们的工作是必要的。3. 解题的过程是一个复杂的过程，它包括几个不同的方面。

分解与重组：1. 分解与重组是思维的重要活动。2. 几乎在所有的情况下，在开始详细研究一道题目时，明智的做法是从下面这些问题开始：未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？3. 困难的题目需要隐秘的、特殊的、具有独创性的组合方式，解题者的才智就在组合的独特性中显示出来。

求解题、求证题：1. 求解题的目标是要找到某个对象，即该题的未知量。2. 证明题的目标是要确定地表明某个清楚陈述的论断是正确的，还是错误的。3. 求解题的主要部分是未知量、已知数据和条件。

图形：1. 图形不仅是几何题目的对象，而且对任何一开始跟几何没有什么关系的题目，图形也是一个重要的助手。2. 数学家和法官都可以不带偏见地检验一种可能性，只要他们把决断推迟到检验得出有某种确定的结论论才去做。3. 画一个假设的图形，假定它的各个部分都满足题目的条件。4. 精确的图形在几何中的原则上就如同物理中的精确测量。但在实际中，精确的图形不如精确的测量那么重要。5. 你不能在图形中给出任何不恰当的特殊化。6. 给你的几何题找到一个清晰的几何表示，也许是迈向解题的重要一步。

探索法：探索法的目的是要学习发现和创造的方法和规则。

探索式论证：探索式论证并不是作为最终的严格的论证，而只是暂时的和看似合理的，它的目的要发现当前题目的解。

如果你不能解所提的题目：如果你不能解能所提的题目，先尝试去解某道有关的题目：即变化题目。要达到这一目标有不同的方法，如普遍化、特殊化、类比以及其他分解和重组的各种方法。

归纳与数学归纳：1. 归纳是通过观察和组合特殊的来发现普遍规律的过程。2. 许多数学上的结论都是先由归纳得出，然后才得以证明的。严格表述的数学是一门系统的演绎科学，但在形成过程中的数学则是一门实验性的归纳科学。3. 在物理科学中，再没有比观察和归纳更高的权威了，而在数学中则存在这样的权威：严格的证明。

普遍化：1. 普遍化是从对一个对象的考虑过渡到包括此对象在内的一系列对象的考虑，或者是从对一个限定的集合的考虑过渡到对包括这个限定的集合在内的一个更广泛的集合的考虑。2. 在数学、物理学等自然科学中，很多结论都是由于侥幸的普遍化而发现的。

拘泥与变通：1. 拘泥与变通是对待规则的两种截然相反的态度。2. 对各种各样的问题和建议要有所准备，并运用你的判断力。3. 如果你易于拘泥，而且必须得依赖于某条规则，那么请你学会这一条：永远要先开动你的脑筋。

进展与成绩： 动员和组织只是同一复杂过程的两个不同的方面。

符号：1. 符号的使用对于运用推理看起来是不可缺少的。2.建立方程就好像是一种翻译，将普通的语言翻译成数学符号表示的语言。3. 解题中的一个重要步骤是选择符号。4.一个好的符号必须是毫无含糊、富有意义、便于记忆的。5. 数学符号组成的语言有助于思维。

建立方程：建立方程的意思是数学符号来表达一个用文字表述的条件，就是将普通的语言翻译成数学公式的语言。

进展的标志：1. 类比是一个了不起的向导。一道立体几何题目的解答常常有赖于一道平面几何中的类似题目。2. 要解决一道题目，最基本的是要找出已知数与未知量之间的联系。3. 类比确实是创造活动的主要源泉之一。4. 清楚地理解未知量的性质就意味着进展；清晰地处置不同数据从而使我们轻易地想起其中的任何一个，也意味着进展。将条件作为一个整体来进行生动具体的想象可能意味着一个重要的进展，而把条件分成几个适当的部分也许是向前迈出了重要的一步。5. 回忆起一道与我们的题目有关而且以前解过的题目，也许是朝正确方向迈出了决定性一步。6. 对于每一个构思清晰的思维活动，都对应某一种能够清楚表达的标志。7. 标志可以引导我们的行动。8. 正确地解释标志是需要经验的。9. 专家比没有经验的人知道更多的标志，而且更加熟悉；他最主要的优势也许就在于有这样的知识。

未知量是什么？1.问题的解答本质上就是把未知量与已知数据联系起来。因此，解题者必须再三把注意力集中在这些元素上，并自问：未知量是什么？已知数据是什么？2.一道证明题的主要部分是题设和结论，而相应的一些问题是：题设是什么？结论是什么？

证明：1. 学习平面几何的基本原理能提供获得严格证明这一概念的最好机会。2.证明提供证据。

特殊化：特殊化是从考虑一系列给定对象构成的集合过渡到考虑此集合的一个子集或者仅仅一个对象。

聪明的解题者：1.聪明的解题者常常会问自己那些与我们表中所列出的相似的问题。2. 聪明的解题者首先要做的是说可能充分、清楚地理解题目。3.如果不能真正唤起解题的欲望，还不如置之不理。然而光有理解是不够的，他必须全神贯注于题目，他必须热切地期望获得解答。获得真正成功的公开秘密就是要全身地投入到题目中去。

聪明的读者：一位聪明的数学书读者有两种愿望：首先，看到论证的当前一步是正确的。其次，看到当前这一步的目的。

变化题目：1.解题的成功决定于选择正确的角度，决定于从容易接近的一侧来攻克要塞。2.从某种观点看，解题中的进展似乎就是对以前获得的知识进行了动员和组织。我们必须从记忆中提炼出某些元素并运用到题目中去，现在，题目的变化能帮助我们提炼出这样的元素。

检验你的猜想：1.你的猜想也许是正确的，但把一个生动的猜想当作已证实的真理则是愚蠢的。2.最好的念头会因不加不加鉴别的接受而受损，却会因严格的检验而茁壮。3. 如果你不能解所提的题目，先尝试去解某道相关的题目。