高中数学：求解圆锥曲线问题的方法和技巧

圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。

一. 紧扣定义，灵活解题

灵活运用定义，方法往往直接又明了。

例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线

，P为双曲线上一点。

求

的最小值。

解析：如图所示，

双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知

即点P到准线距离。

二. 引入参数，简捷明快

参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。

例2. 求共焦点F、共准线

的椭圆短轴端点的轨迹方程。

解：取如图所示的坐标系，设点F到准线

的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数）

，而

再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则

消去t，得轨迹方程

三. 数形结合，直观显示

将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。

例3. 已知

，且满足方程

，又

，求m范围。

解析：

的几何意义为，曲线

上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示

四. 应用平几，一目了然

用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。

例4. 已知圆

和直线

的交点为P、Q，则

的值为________。

解：

五. 应用平面向量，简化解题

向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。

例5. 已知椭圆：

，直线

：

，P是

上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足

，当点P在

上移动时，求点Q的轨迹方程。

分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。

解：如图，

共线，设

，

，

，则

，

点R在椭圆上，P点在直线

上

，

即

化简整理得点Q的轨迹方程为：

（直线

上方部分）

六. 应用曲线系，事半功倍

利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。

例6. 求经过两圆

和

的交点，且圆心在直线

上的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：

则圆心为

，在直线

上

解得

故所求的方程为

七. 巧用点差，简捷易行

在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。

例7. 过点A（2，1）的直线与双曲线

相交于两点P₁、P₂，求线段P₁P₂中点的轨迹方程。

解：设

，

，则

<2>－<1>得

即

设P₁P₂的中点为

，则

又

，而P₁、A、M、P₂共线

，即

中点M的轨迹方程是

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