作者：张天蓉
卡拉比-丘流形因拥有特殊的拓扑性质，成为解释弦论中额外6维紧致空间的核心。然而6维卡拉比-丘流形的拓扑形态众多，几何结构非常复杂，以至于难以直观想象。所以弦论以解释物理图像为重点，无需细究“额外6维空间”的数学性质。通常情况下，可以使用紧致化中最简单的6维环面来代替复杂的卡拉比-丘流形。
所谓环面，人们经常想到的是甜甜圈形状。但是，拓扑学家们偏向于以一种更抽象方式来描绘的环面。如图34-1a中，我们可以将它画成一个长方形。
图34-1：平坦（2维）环面形成过程示意
图34-1a中的“A”箭头所对应的两条边将会被粘合在一起，“B”箭头所对应的两条边也将会粘合在一起。其意思是，当你从长方形上方的A边走出长方形时，你会在下方的A边上出现；当你穿过长方形右边的B时，你会在左方的B边现身。
如此形成的二维环面被称为抽象环面，或平坦环面（Flat Torus）。但它的形状并不同于甜甜圈。事实上，图34-1所示的两条A边粘合后是形成柱面，当把柱面的两端(B) 粘合起来后，就不象真甜甜圈那样的形状了，而是象图34-1d所示的那种平滑无皱褶的曲面。这有其深层的原因，因为抽象环面源自于一个平坦的长方形，它在本质上是平坦的，也就是（内蕴）曲率为零，而通常所见的甜甜圈的内蕴曲率不为零。所以，抽象环面与甜甜圈的内蕴性质并非是一样的。尽管抽象环面不能被平滑地嵌入三维空间中，却很容易凭想象来理解它的拓扑性质。
最简单的环面是1维的圆圈。图34-1所构建的是二维环面，其方法可以推广到更高的维度。例如，设想一个长方体，它有六个面，三组两两互相平行的对接粘合点：(A,A’)、(B,B’)、(C,C’)，一旦粘合在一起，便构成了一个3维的抽象环面。同样的方法可以构建任意n维的抽象环面。
卡拉比-丘流形被抽象为一种抽象的环面，作为6维紧致空间，加上我们所熟悉的、大范围尺度上展开了的4维时空，便构成了弦论的10维时空，而“弦”就如同传统的粒子一样活跃在10维时空中。但粒子是4维时空背景，而“弦”有两种舞台：4维时空大舞台和6维的小舞台。
除了舞台和演员之外，还得有剧本，即游戏规则。对物理学而言，又有量子的游戏规则及非量子（经典）的游戏规则之分。
弦在空间的运动规律可以从点粒子的运动规律推广而来，经典弦的游戏规则就是经典点粒子规则的推广。在牛顿力学中，点粒子的轨迹是3维空间中随时间变化的一条线；在相对论中，粒子在4维时空中运动的轨迹被称为“世界线”（见图34-2a）。弦论推广经典规则，将0维的点粒子用（更小的）1维的弦来代替，弦在时空中运动的轨迹则用轨迹面来代替，称之为“世界面”（34-2b所示），如果运动的实体是二维的（膜），时空中的运动轨迹便叫做“世界体”（图34-2c所示）。
图34-2：粒子vs弦（或膜）
相对于无大小的点粒子数学模型而言，弦模型有着许多优越性，比如解决点粒子的无穷大问题便是其优越性之一。
经典的电子学理论存在着无穷大的困难。按照经典物理，电子可以被看作是一个半径为r的小球，电子的质量公式为 m = e2/rc2。可是，当r趋近于0时，电子的质量将趋向无穷大。迫于这种不合理性，经典电子论最后通过引入电子有限半径（非点粒子）才免除了这一发散困难。在量子场论中，则需要使用重整化的方法消除无穷大，然而引力场却不能被重整化，它不能被包括到标准模型中。
弦论则有所不同。重整化对于弦论来说已经无关紧要，因为弦不是点，而是有尺寸大小的弦，所以自然而然地消去了发散问题。
弦类比经典点粒子很容易推广到其它情形，包括量子弦及相互作用。点粒子的线在弦论中用带状曲面（开弦）或管道（闭弦）面来代替。
图34-2a中的世界线是经典粒子在4维时空中的轨迹，两个固定点之间的经典路径只有一条。如果考虑量子力学，一个粒子从A到B的路径则有无穷多条，经典路径（蓝色线）只是其中之一条（图34-3a）；弦论中的情形类似图34-3b所示，除了蓝色代表的经典世界面之外，所有可能的每一个世界面都对计算弦A到弦B的量子概率幅有贡献。
图34-3：路径积分（量子化）
按照量子场论，时空中的粒子总是在不断地湮灭又不断地产生，其产生和湮灭的相互作用现象一般用各级费曼图来进行描述和计算。弦论也不例外，只不过是将相应的线段改用“面”来替代而已（图34-4）。
图34-4：弦论中弦与弦的相互作用和费曼图
从场论的角度与标准模型相比较，弦论的另一个优点是更为简化。量子场论在数学上可以有无穷多种，因而对应于无穷多种粒子。比如说，对应于标准模型的61种基本粒子，便有61种不同的量子场论。而在弦论中只需要一种描述“弦”的量子场论即可，这就使得在概念上大大简化。
弦论的“膜”概念是弦的扩展，它最早来自于与弦论相关的超引力理论。如今的弦论中经常谈到的膜，有p膜和D膜。
称为p膜（p-brane）的物理实体，是将点粒子的概念推广至1维、2维以及更高维度而产生的。举例来说，点粒子可以被视为零维的膜，而弦则可视为一维的膜，通常意义上的“膜”是二维的。此外，也可能存在更高维的膜。
p膜是动力学物体在时空中运动时按量子力学规则所具有的行为轨迹。它们带有质量与其他性质，例如电荷。一个p膜的行进在时空中扫出了(p+1)维度的体积，称之为世界体积（worldvolume），如图34-2c所示。
另一类膜叫做D膜，表示符合狄利克雷（D）边界条件的膜。D膜是弦论中一类很重要的膜，与开弦在时空中的运动有关。当开弦在时空中行进时，开弦的端点必须在D膜上。对D膜的研究导出了与对偶性有关的重要成果。
图34-5：D膜上的开弦
由于弦论的空间分为伸展的大空间和卷曲紧致的小空间，弦在紧致空间中运动有它的特殊性。大时空是4维的，卷曲紧致的小空间是6维的。4维和6维都无法用平面图像显示出来。为了方便理解，弦论将10维时空简化为如同图34-6a所示的长长圆柱体，看起来像是蚂蚁眼中的2维电缆线。用沿着电缆线方向的那1维代表4维大时空；用电线的截面圆圈代表6维小空间。如此抽象化，10维时空中的开弦闭弦就好比是小蚂蚁了。
图34-6中无限延伸的x方向代表我们熟知的4维时空，y方向卷曲的小圆代表6个额外小维度。这个6维空间可以是卡拉比-丘流形，也可以简单地理解成6维抽象环面。就6维环面而言，图中的R就不是1个数值，而是应该被理解为代表6个数值。
图34-6：弦论空间和“绕数”的示意图
从点粒子到弦论，并非所有物理量都有相应的类比物，弦的特殊性会产生某些点粒子模型中没有的性质。比如，闭弦在紧致空间中的“绕数”就是4维时空的标准模型中没有的物理量。
从图34-6来看，10维时空有大小两个体系，其中弦的运动除了在大的四维时空中进行外，还能绕着紧致空间运动。其中闭弦的这种运动尤其特殊，因为闭弦可能是一种特别的状态，它绕在某一个（或多个）紧致的维度上，可能绕上1圈、2圈或者很多（N）圈（图34-6b）。所以闭弦要多一种量子态，需要用一个新的量子数来表征这个量子态，也就是所谓的“绕数”。
开弦没有绕数量子数，因为开弦在拓扑上等效于一个点，不存在“绕”。
当缠绕在紧致维度上的闭弦发生相互作用时，总绕数是一个守恒量。图34-6b中的上图举出了绕数w=0、+2、+1、-1的例子，下图示意了一个闭弦的变化（等效）过程（从左到右）其绕数是守恒的：开始时，闭弦只是放在圆柱上，没有绕圈，所以w=0；闭弦上的点A和B接近后相互作用，成为w=1和 w=-1的两个闭弦，但绕数之总和仍然为0。
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