1.蝴蝶从哪里来
“你从哪里来? 我的朋友 !好像一只蝴蝶飞进我的窗口…”听到这首脍炙人口的歌，你可知道数学上有只蝴蝶蹁蹁飞舞了三百年！这只美丽的蝴蝶自从1985年来到中国，便热度不减,有时甚至还高烧不退：不仅出现在高联这种顶级的赛事中,而且出现了在高考京考卷中.
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：取圆O中的弦AB的中点M，过点M任作两弦CD，EF，弦CF与DE分别交AB于P，Q，则M为PQ之中点。
2.关于蝴蝶定理的证明
仅在初等几何的范围内，就有多达50多种证法，比如综合法、面积法、三角法、解析法、相似法、向量法、全等三角形法等等。
下面给了几种比较简单的证法，也是中学生看得懂的，用得着的方法：
证法1：适合初中（证∠POM＝∠QOM）
作CF、DE的弦心距OG、OH，连OM，则OM⊥AB且OGPM四点共圆。
∴∠POM＝∠PGM…①。同理，∠QOM＝∠QHM…②
∵△MFC∽MDE，∴MF﹕FC＝MD﹕DE，
∴MF﹕2FG＝MD﹕2DH，∴MF﹕FG＝MD﹕DH，∠F＝∠D
∴△MFG∽△MDH，∴∠MGF＝∠MHD…③
由①②③得：∠POM＝∠QOM,∴PM＝QM。
证法2：适合高中(解析法)
证法3：适合竞赛（解析法）建立平面直角坐标系
设⊙O的方程为:
设CF：y＝mx，ED：y＝nx,于是⊙O和直线CF、ED组成了二次曲线系
证法4：适合竞赛（利用梅氏定理）
延长CF、ED相交于G点。∵直线CD截三角形GPQ三边于C、M、D三点,
1990全国冬令营数学选拔赛试题:
己知四边形ABCD的对角线AC过另一对角BD的中点O，过O作两直线分别与AB，BC,CD，及DA交于E,H,F,G,连FE,HG分别与BD相交于P,Q．求证：OP=OQ.
1969年，查克里恩从订立的定理考虑，给出蝴蝶定理的逆定理：任何具有蝴蝶性质的凸闭曲线必定是椭圆。
接着，中国科学院成都分院的杨路教授在论文中指出：将蝴蝶定理的弦AB的中点M推广到弦AB上任一点，有蝴蝶定理的坎迪形式。
同年，我国数学教育者马明在论文中指出，将蝴蝶定理弦AB上的M点，拓广到弦AB外，蝴蝶定理仍然有成立之处。
接下来，蝴蝶定理的研究出现了一个高潮，人们发现，不仅仅是圆，任何二次曲线中蝴蝶定理都有适用的形式，例如，椭圆中的蝴蝶定理。
1990年，出现了筝形蝴蝶定理，并发现，蝴蝶定理在退化的二次曲线中仍然适用。
至于高等几何的证明方法也有很多种，其中最为简洁的，当推用射影几何的方法，在下文中将会给予介绍。
蝴蝶定理的60多种证明方法,而且,还给出了蝴蝶 定理的各种变形与推广.令人欣喜的是这只美丽的蝴蝶终于在2003年飞到我国的高考(北京)试卷里:
先给你看标准答案是怎么解的：
那么，有没有更简单的证法？方法还是有的，下面讲讲高观点下的做法：
3．高考题简评
本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。试题入门容易，第（Ⅰ）问考查椭圆方程、待定系数法、坐标平移和椭圆性质：焦点坐标、离心率、看图说话即可解决问题，但考查的却都是重点内容。
第（Ⅱ）问是典型的直线与椭圆的位置关系问题。待证式子中含有
这样的对称式，式子结构对称优美，和谐平衡，使人很容易联想起一元二次方程根与系数关系的韦达定理，启示了证明问题的思路。这里用到了解析几何最根本的思想和最根本的方法。解两个联立的二元二次方程组，用代入消元法得到一元二次方程，分离系数利用韦达定理给出关于
的表达式，再分别代入待证式两边运算即达到证明目的。证明的过程中，由两个联立方程组结构的相似性运用了“同理可得”，整个证明过程也令人赏心悦目，感受到了逻辑证明与表达的顺畅、简约的美的魅力。
第（Ⅲ）问证明中用到了三点共线的充要条件，用到了过两点的直线的斜率公式，分别解出p，q以后，|OP|=|OQ|等价转化成了p= -q（或p q=0。）此时分析前提条件（Ⅱ）及待证结论p= -q，关键在于
的联系。参考解答中的表述略去了一些变形的中间过程，使人不易看出沟通的线索，以及命题人变形的思路，因此读者理解起来感到困难。如果将两式做如下变形，则思路就显然顺畅。
它与②完全一样。这里利用两式同时变形的方法可以较容易实现目的，有分析、有综合，有思维，有运算。思路的选择有赖于对式子特征的观察联想。
综观这道题的题目特征及解答过程，我们看到了用代数方程但方法处理几何问题的作用与威力。
4．高考题赏析：
上面我们看到，试题的结构及其解答都令人感到赏心悦目，至此，我们不禁要追问一句：试题是怎么命制出来的？它的背景是什么？它对我们的数学学习与教学、高三复习与备考有什么启示？
试题的证明过程及结果告诉我们，椭圆中蝴蝶定理依然成立，而且是用解析方法证明的。如果令椭圆的长轴，短轴相等，即a=b，则椭圆就变成了圆，椭圆中的蝴蝶定理就变成了圆上的蝴蝶定理，上面的证明一样适用。由于椭圆也可以看作将一个圆经“压缩变换”而得，故圆上的蝴蝶定理经“压缩变换”也可以变成椭圆上的蝴蝶定理。“翩翩蝴蝶舞椭圆，飞落高考数学花。”读者诸君欣赏至此，是否体会到了数学命题几何专家命制高考试题的“高招”及良苦用心？
5．高考题启示
椭圆上的蝴蝶翩翩飞舞,落到了北京数学高考试题的百花园，令人欣喜异常。它虽然有着竞赛数学、仿射变换、数学名题的背景，然而这里证明它，却只用到了教科书里反复提到的三点共线问题和斜率公式，用到了解析几何最基本的方法。高级中学课本《平面解析几何》全一册（必修）数处提到三点共线问题，如P13习题一第14题：已知三点A（1，-1）、B（3，3）、C（4，5）。求证：三点在一条直线上：P17练习4：证明：已知三点A、B、C，如果直线AB、AC的斜率相等，那么这三点在同一条直线上；P27习题二第9题：证明三点A（1，3）、B（5，7）、C（10，12）在同一条直线上；P47复习参考题一第3题：用两种方法证明：三点A（-2，12）、B（1，3）、C（4，-6）在同一条直线上。你看，课本上的练习、习题、复习参考题，反复提到了三点共线的证明，并且强调用不同的方法来证明。
所以说,最佳意境的高考题一定是“源于教材、高于教材”，想想吧，把这些高知教授们关上三个月来出高考题，如果题目本身出的很不象话，那么如何体现国家高考对于中学教学的指导，这此专家学者们还不得被骂死！
实际上，三点共线的不同证明，可以把解析几何第一章的重点基础知识充分调动起来，组织起来。你可以用基本公式——平面上两点间的距离公式
证明｜AC｜=｜AB∣ ∣BC∣；
你还可以先建立直线AB的方程f(x,y)=0，然后验证点C的坐标适合直线AB的方程即f(x,y)=0；你也可以在建立直线AB的方程之后，利用点到直线的距离公式证明dc-AB=0；你还可以计算△ABC的面积，去证Ｓ△ABC=0。你看，有五、六种方法可以解决同一个问题，当然难度有高有低。一题多解中选择方法、优化方法也是能力（洞察、观察）的体现，从比较中才可以鉴别方法的优劣。当年学生做这道高考题时，有一些重点中学的尖子生对自己没能解答出第（Ⅲ）问很懊悔，一些老师也说这个题目“运算量太大难以完成”！为什么？我想主要问题有两点：一是，北京市有许多重点中学的师生，对高中数学课本的习题不屑一顾，很少去钻研教材中的例题、习题，去寻求与发现知识之间的内在联系，去总结解题的原则、思路与规律。二是，学生为做题而做题，一些人认为只要刷足够多的题，就可以高考拿高分了，而实际上不是这样的。国家拿出巨多的人力、物力去搞新课标，目的是为了让学生死做题吗？显然不是！它要的是学生的创新能力和应用创造能力。三是一些同学知识面信窄，知识容量太少，如果能连蝴蝶定理都不知道，别说打什么高联了，你甚至连冲清北的资格都没有！就算你高考裸分还可以，那你拿什么去获得加分，不明白的同学可以听一下林根老师在《今日头条》上视频讲座: 清华北大自主招生讲座.
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