从120到140：高考数学的两道槛为什么难以跨越？

这个假期，是一个难得的自我审视、调整方向的阶段。

题是刷不完的。只用刷题来填满的假期，未免太过浪费。学期中很少有这样的时间，能全面地分析自己学习的现状、存在的问题和努力的方向。

不只说“要学习、要提升”，要想想“要学哪块、要如何提”。不能只停留在“某个科目有问题”，要想想“有什么问题、在哪个板块、如何解决”。

借着今天这篇文章，你或许可以重新思考一下自己的数学学习状况。

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从120到140：高中数学的两个门槛

很多数学不好的同学，在自我分析或是询问老师时，总会得出一些正确的废话。

比如为什么数学简单题常丢分？——粗心。

比如为什么数学中档题拿不满？——基础不扎实。

比如为什么数学压轴题做不出？——数理能力不足。

这些话都没错，甚至可以作为一个套用在大多数学生身上的模板。怎么解决？多喝热水？

然而，粗心靠多注意就能解决吗？基础不扎实到底缺在哪？数理能力不足难道只能感慨自己理解不了学霸的“显然”“易得”和“同理可证”？

在想办法提升数学成绩之前，先要建立以下两个基本认识：

第一，高中数学不同章节的难度有很大差异，不同模块的学习策略也不相同。在高考中，三角函数、立体几何和解析几何、导数就不是一个难度。在学习时，不同章节应该“区别对待”。

第二，想要进一步提升数学，还需要对自己的数学实际水平有清晰的认识。

但实际情况是，同学们往往难以认清自身的实际水平。一些学校为了在平日达到训练效果，也为了督促学生提升数学能力上限，校内考试出的题目往往很难，但统考或质检的难度又大幅降低。一些学生对自己的数学水平没有办法形成清晰的判断，甚至盲目追求难度，事倍功半。

既判断不了自己的实际水平，又不明白不同章节应“区别对待”，使得很大一部分学生陷入“不清楚自己所在的层次、不明确对应层次适用的方法'的处境之中。

排除掉由于题目难度过大或过小产生的异常值分数，数学学习中包括以下不同层次、不同需求的三类人——上不了120、徘徊在120-135、难突破140。下文将帮助分析不同分段的典型症结，对症下药，提供方向上的指导。

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第一道坎：为什么不能稳上120？

为什么数学不能稳上120呢？

是知识点不会吗？似乎不是，比如诱导公式、两角和差公式、正余弦定理，还是都清楚的。是不清楚考点吗？并不是，比如知一求二问题，三角恒等变换问题、利用正余弦定理化简问题，往往都知道是考点。是不清楚方法吗？也不是，拿到题目、看到答案，方法在课上也都讲过。

这类同学的问题在于：未建立起知识体系，缺乏“知识点-题型-解题方法”间的强关联性。

这一类同学能比较准确的描述单个知识点，但是无法在各个知识点之间建立联系。如果要求他们把学过的某一单元知识完整地梳理出来，结果却多有遗漏、逻辑不清。同学们可以用一张A4纸进行自查，是否能体系化、有逻辑地整理出一个章节的知识点。

在实际的解题中，当一道题目需要综合运用多个知识点，或者有更多的解题步骤，或者需要先解决一个问题再以此为基础解决题设问题的时候，问题就暴露出来了。

假如单独问某个考点对应的题型和方法，或许能回答得八九不离十，但是若要系统地阐述“看到某类题型-->应当联系什么知识点-->可供选择的方法有哪些”，则又显露出知识不成体系、解题不成系统，知识点、题目与方法之间存在断裂的问题。

因为没有建立起知识体系，没有建立“知识点-题型-解题方法”之间的强关联性。所以在实际的解题过程中，需要花费更长的时间去思考这道题目考察了哪些知识点、需要解决哪些中间问题、需要选择哪种更有效的解题方法，自然做题速度就无法得到保障。

因此，数学想稳上120，要具备以下要求：

第一，熟练掌握知识点，强化知识点之间的联系，不仅掌握单一知识点，还要建立知识体系；

其二，题目要精做，整理解题方法，积累“母题”，通过有效练习强化“考点-方法”之间的联系；

其三，通过整理优质的经典题目，反向匹配知识点，思考每个知识点能考什么题？为什么会这么考？易错点和注意点是什么。最终目的是建立“知识点-考点-方法”间的连结，并把设错点、注意点进行总结记忆，摸清楚出题人的思路。

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第二道坎：为什么总是上不了140？

数学学习中，还有一部分同学其实成绩已经不错了，但又达不到“最顶尖”的水平，或者虽然可能“具备”140分的实力，但长期徘徊在130-135分，稍有不慎就跌入120分段。

这一类同学，要么是压轴题拿不下，被生生限制住了上限；要么是压轴题能做出，但小题常出错、无谓失分多。

首先要澄清一下：对于追求稳定140 以上的同学，压轴题是一定拿下的。

有的老师经常强调：如果简单题都能做对，即使压轴题没做出来，也一样能拿高分。这种说法不能说错，它能保住你分数的基本盘，但对于有实力的学生来说，要上140就非常难了。

如果放弃压轴题，数学的满分就已经不是150，而是144。在这一前提下要保证稳上140，其余题目的容错率就要低得多了。实际的情况经常是，压轴题放掉了，中档题也没检查出错误还丢掉不少分数，最终连基本盘也险些保不住。

对于希望在数学科目上突破140分大关的同学来说，在压轴题上必须完成突破。

那么如何突破呢？正如前文所说的，高中数学不同模块的难度差异很大，方法也不能等同。简单题、中档题或许靠精练题目能提高正确率和解题速度，但刷题的方法对于压轴题模块来说，不仅不现实，还可能是无效的。

对于三角函数、概率等章节的题目，难度比较有限，大量训练并不会占用非常多的时间。客观来说，即便不进行太多思考，只是累计题目的量，也能够在大量训练中强化“考点-方法”的条件反射，提升熟练度。

然而，完整地做一道解析几何、导数压轴题，至少需要花费20多分钟。再加上看答案、订正、思考、整理，花费的时间还要更多。即便是做压轴题接近“砍瓜切菜”水平的学生，也极少能有大块的时间刷压轴题。对于还在提升阶段的学生来说，题海战术解决压轴题更不切实际。

有的同学可能会说，就算是解析几何、导数的压轴题，我刷题时不完全做出来，只是罗列个思路，不就节省时间了吗？

这种“不动笔”的刷题法，不仅可能导致解题生疏，而且容易陷入“以为自己懂了”的陷阱之中。就拿解析几何来说，同样一道题目可能有多种解法，但计算量和繁琐程度可能是天壤之别。很多解法只是“理论上可行”，实际上算不出来。不实际动笔，就很难发现。

要突破压轴题模块，更有效的方法是先建立体系、再通过有限的训练去验证体系，实现对体系的强化训练和记忆。在这个过程中，一个好老师的作用往往是巨大的。

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什么是压轴题的“体系化学习”？

以解析几何中的圆锥曲线为例，简单谈谈压轴题的体系化学习。

首先要明确圆锥曲线的两个本质问题：几何条件的代数表达、代数过程的运算优化。

相应的，我们的学习过程应当围绕这两个问题展开。

◆ 几何条件的代数表达

把几何关系转化为代数式，这涉及到各类几何条件的转化与表达，如距离与面积、对称与夹角、圆、四边形与切线、定点定值等条件的表达。

解决这类问题的核心，是各类条件一定要表达成最优形式。

例如我们经常碰到 PA=PB 这种条件，其中PA与PB并不是弦长或者焦半径。此时我们当然可以用两点间距离公式把这个条件表示出来，但是这样做的运算量会大到绝对无法在考试规定的时间内完成，此即所谓的“理论可算，实际不可算”。

那么我们一定要把这种条件表达成为“点P落在线段AB的中垂线”上，利用垂直平分列式子求解。这时的计算量相比来说会大大减小。

也就是说同一个几何条件可能有多种不同的代数表达。那么学生要学习的就不仅仅是如何表达各类几何条件，更重要的是如何将每种几何条件转化为最优表达形式。

◆ 代数过程的运算优化

代数过程的运算优化，就是要缩短圆锥曲线这道题目的计算时间，在有限的时间内拿下压轴题，这涉及到很多计算细节的推敲。

例如我们何时该去反设直线，关键要看你想留谁。

比如说直线和抛物线 y² = 2px 联立，我们就经常会“反设”直线为 x = my   n，因为此时明显是消去 x 比消去 y 简单得多。

更进一步分析，消元时要留谁，应该根据你对题目条件的分析来确定。

比如题目中给了一个这样的条件 | AF₁ | = 2| BF₁ |（F₁ 是椭圆的左焦点），由于F₁在轴上，如果用纵坐标表示的话，就是 | y_A | = 2| y_B |，显然比横坐标简单。那么你在设直线时，就可以反设，从而联立时直接消去x。

再比如说以椭圆和直线联立为例，联立我们很容易算出：

几乎每道圆锥曲线大题我们都要检验或者用到的结果（例如弦长公式）。如果不记，则实际上相当于你每次都要自己再推导一遍，这完全属于无意义的重复工作。优化精简代数运算有助于我们提升速度与正确率。

所以，我们的解决解析几何压轴题的顺序应该为：首先学习计算细节的推敲，学习完计算细节后再去学习各类几何条件的转化，并在之后的练习中不断优化精简自己的计算过程。

在这个过程中学生必定会遇到各种问题，问题大体上可以分为三类，缺乏从根本考点出发思考问题的意识；缺乏从表面条件联想到处理技巧的操作；缺乏得出结论并对结论进行验证的习惯。

第一，缺乏从根本考点出发思考问题的意识：通俗来说，就是学生压根不知道这道题在考什么，归根结底是缺乏题型概念。在学习过程中，需要学生分题型进行学习，分为距离与面积问题、对称与夹角问题、圆、四边形与切线问题、定点定值问题等多个专题进行体系化学习。

第二，缺乏从表面条件联想到处理技巧的操作：也就是无法将几何条件转化为代数表达。这就需要学生在学习每一个专题时务必要记住每一类几何条件的转化方法，需要一个背记加练习的过程。

第三，缺乏得出结论并对结论进行验证的习惯：是指学生在计算完毕、得出结论后不去验证结论是否正确，不考虑一些特殊情况而经常出现看似“粗心”的错误。

例如求完轨迹方程后不考虑是否需要挖去特殊点；再比如不考虑直线斜率不存在的特殊情况。这需要学生在平常学习中，一旦遇到就要刻意记忆这些常见的“粗心”之处，这样才能逐渐避免陷阱，也就是我们平常所说的不再“粗心”。

解决完各类问题，到最后要做到的是，拿到一道圆锥曲线的题目，一眼就要知道这类条件我们该如何转化。也就是说，不仅知道这道题该怎么算，并且知道怎样算是最省时间的，最后还能够考虑到各类易错点，避免失误。

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怎么解决“小题常错，后院起火”？

有一类学生压轴题能做出，但小题常出错、无谓失分多。

这类同学的分数浮动有时候会比较大，他们“看重现场发挥”，因此格外需要考试的节奏感。

一个突出的特征的是，在考试中，他们比较害怕选择和填空题中连续出现难度较高的题目。一旦一些有难度的小题没做出来，很容易带崩整体的做题节奏，从而产生较多的无谓失分。

但如果把他们错的那些题目单拿出来，再给够时间重新做，往往不会出错。一旦整体时间不足，能做出的压轴题也可能没那么稳定拿到全部分数了。

换一种角度，如果考场上，这类同学的时间是足够的，也不出现紧张的情况，这些无谓失分不就拿到了？

这类同学的问题，还在于练习不够，特别是有强度的练习不够，限时的有强度练习不够，“题目-方法-解题步骤-易错点/注意点”之间的条件反射不够强。

因此，这类同学特别需要做两个训练，限时训练、强度训练。

限时训练：就是在有限时间内，完成特定题目的练习，比如整张试卷不含压轴题的限时训练，或者选择和填空题的限时训练。总之，是要通过限时训练，保证做题速度和正确率。要把这个时间限制得更少一些，以最大限度逼迫自己形成条件反射。

限时强度训练：在限时的时间内，对于非压轴题部分，将简单的题目去掉，删选组合为具有一定思考度的题目，进行有一定难度的综合题目的训练。其目的是要强化做题的方法体系感。在真正考试时，遇到连续难题，也能习惯性地保持正常的考试节奏。

限时训练、强度训练均属于有意识的题目训练，也是强化考试节奏的有效手段，在花费相同时间训练的前提下，往往比盲目“撒网捞鱼”的题海战术更加有效。

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总  结

在前面我们分析了“不能稳上120”和“上不了140”的两类同学的典型问题。实际上，还有很大一部分同学，长期徘徊在120－135之间。

此类学生往往同时存在第二类同学（卡在135，上不去140）的两种问题，即我们通常说的“最怕难题不会做，小题常出错”，既不会做压轴题，又容易在小题上无谓失分。

解决方法自然也是两种方法的综合：体系化的压轴题训练 有意识的限时训练、强度训练。

任何一个科目，都有其合理的学习和提升方法，且这种方法应该是普适的。

面对一个同学出现的问题，笼统地回复粗心、基础差、数理能力不足肯定是不行的。对症下药才是解决问题的关键，分清层次、明确对应的方法是提升数学成绩的正确手段。

家长和同学们也要清楚，一个学科的学习出了问题，切忌“病急乱投医”，补课很正常，但是一定要分析清楚问题所在，用最有效的方法，最节省时间的课时去解决问题。

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