作者：“逃学博士”

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作为我的大学《微积分》的第一讲，我思前想后要以什么知识点作为内容。索性找到一本大学的的教材，从第一章开始讲。这样也方便本科生参照学习。

我选的教材是《大学数学教程》，作者姜东平和江惠坤。

高等数学接触的第一个概念是数列。

数列的标准定义

顾名思义，数列就是有共同特征（通项）的一列数。

如果我们假设一数列的通项为：

数列通项

那么，我们将 n从1~150的点全部动态绘制出来，可以总结出哪些知识点呢？

图1：n ~ (0, 150)

从图1中，我们发现A点的运动轨迹中后一个点值都比前一个要大。这就引发了数列单调性的定义。

递增数列和不减数列

图1中绘制的数列既是一个递增数列，如果结合通项去定义递增数列，如下：

如果我们将图1中的数列通项乘以 -1，如下所示：

数列通项

数列的动态图如图2所示：

图2：n ~ (0, 150)

递减数列和不增数列

同时，递增、递减、不增、不减数列统称为单调数列。

图1中，随着 n 的增大，数列中的值不断逼近 2。

图2中，随着 n 的增大，数列中的值不断逼近 -2。

那么，我们回过头来看图1，可以将 x轴和 y = 2 这两条线规定了数列中任何一点的最大活动范围。图1中的数列是递增数列，且递增的极限是无限逼近 2。介于此，可以引出第二个的定义：有界数列。

2既是图1中数列的上界；

-2 既是图2中数列的下界。

数列的极限

误区1是初学高等数学最容易搞混的知识点。我们找一个最简单的例子：

对应的动态图如下：

图3：有界不收敛

如图3所示，数列随着 n的增大，一直在 -1 和 1之间震荡。基于有界数列的定义，该数列是同时拥有 上界（1）和下界（-1）的数列。

但是，随着 n的增大，数列却无法收敛于 单一的值，那么自然也就不存在收敛和极限了。图3所示的数列为 发散数列。

但是反过来说，收敛数列一定有界却是正确的表达，这个很容易理解，不加赘述。

一直在犹豫是做成科普文（诙谐幽默点）还是比较正规的码字。希望读者朋友们给点建议。

数列的讨论是为了之后将数列收敛推广到函数收敛。我们第一次接触数列应该是在高中，此次的知识点回顾是希望打下一个结实的基础。

我们下一节再见，更多好玩的动图演示即将推出。

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