【高考数学】解题能力提升, 每日一题：第636题，点、线、面间的距离计算

典型例题分析1：

如图，正方形ABCD﹣A₁B₁C₁D₁棱长为1，

点E，F分别在直线AA₁，BC上，

若直线EF与棱C₁D₁相交，

则|A₁E|+|CF|的最小值是 ．

解：将图形沿着C₁C剪开，平铺到平面A₁B上，|A₁E|+|CF|的最小时，EF经过B₁，

设|A₁E|=x，|CF|=y，则x/（x+1）=1/（2+y），

∴y=1/x﹣1，

∴|A₁E|+|CF|=x+y=x+1/x﹣1≥2﹣1=1，

当且仅当x=1时，取等号，

∴|A₁E|+|CF|的最小值是1．

故答案为：1．

考点分析：

点、线、面间的距离计算．

题干分析：

将图形沿着C₁C剪开，平铺到平面A₁B上，|A₁E|+|CF|的最小时，EF经过B₁，设|A₁E|=x，|CF|=y，利用三角形的相似得出x，y的关系，再利用基本不等式，求出|A₁E|+|CF|的最小值．

典型例题分析2：

如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=√2，点E在AD上，且AE=2ED．

（Ⅰ）已知点F在BC上，且CF=2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC；

（Ⅱ）若△PBC的面积是梯形ABCD面积的:4/3，求点E到平面PBC的距离．

证明：（Ⅰ）∵AB⊥AC，AB=AC，

∴∠ACB=45°，

∵底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，

∴∠ACD=45°，即AD=CD，

∴BC=√2AC=2AD，

∵AE=2ED，CF=2FB，

∴AE=BF=2AD/3，

∴四边形ABFE是平行四边形，则AB∥EF，

∴AC⊥EF，

∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥EF，

∵PA∩AC=A，

∴EF⊥平面PAC，

∵EF⊂平面PEF，

∴平面PEF⊥平面PAC．

（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，且AB=AC，

∴PB=PC，

取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，AG=CD=1

设PA=x，连接PG，则PG²=x²+1，

∵侧面PBC的面积是底面ABCD的4/3倍，

∴1/2×2▪PG=4/3×1/2×（1+2），

即PG=2，求得x=√3，

∵AD∥BC，

∴E到平面PBC的距离即时A到平面PBC的距离，

∵V_A﹣PBC=V_P﹣ABC，S_△PBC=2S_△ABC，

∴E到平面PBC的距离为PA/2=√3/2．

考点分析：

点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．

题干分析：

（Ⅰ）已知点F在BC上，且CF=2FB，证明EF⊥平面PAC，即可证明：平面PEF⊥平面PAC；

（Ⅱ）E到平面PBC的距离即时A到平面PBC的距离，利用V_A﹣PBC=V_P﹣ABC，求点E到平面PBC的距离．