【高考数学】解题能力提升, 每日一题：第649题，导数运算有关的典型例题

典型例题分析1：

设函数fn′（x）是fn（x）的导函数，f0（x）=ex（cosx+sinx），

f1（x）=f0′（x）/√2，f2（x）=f1′（x）/√2，…，fn+1（x）=fn′（x）/√2（n∈N），

则f2016（x）=（　　）

A．ex（cosx+sinx）

B．ex（cosx﹣sinx）

B．C．﹣ex（cosx+sinx）

D．ex（sinx﹣cosx）

解：∵f0（x）=ex（cosx+sinx），

∴f0′（x）=ex（cosx+sinx）+ex（﹣sinx+cosx）=2excosx，

∴f1（x）=f0′（x）/√2=√2excosx，

∴f1′（x）=√2ex（cosx﹣sinx），

∴f2（x）=f1′（x）/√2=ex（cosx﹣sinx），

∴f2′（x）=ex（cosx﹣sinx）+ex（﹣sinx﹣cosx）=﹣2exsinx，

∴f3（x）=﹣√2exsinx，

∴f3′（x）=﹣√2ex（sinx+cosx），

∴f4（x）=﹣ex（cosx+sinx），

∴f4′（x）=﹣2excosx，

∴f5（x）=﹣√2excosx，

∴f6（x）=﹣ex（cosx﹣sinx），

∴f7（x）=√2exsinx，

∴f8（x）=ex（cosx+sinx），

…，

∴f2016（x）=f（0）=ex（cosx+sinx），

故选：A．

考点分析：

导数的运算．

题干分析：

我们易得到fn（x）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2016÷8余0，故f2008（x）=f0（x），进而得到答案

典型例题分析2：

设函数f（x）=（ax+b）ex，g（x）=﹣x2+cx+d．若函数f（x）和g（x）的图象都过点P（0，1），且在点P处有相同的切线y=2x+1．

（I）求a，b，c，d的值；

（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，判断函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性．

解：（Ⅰ）f′（x）=（ax+a+b）ex，

∴f（0）=b=1，f′（0）=a+b=2，

∴a=b=1，

g′（x）=﹣2x+c，

∴,g（0）=d=1，g′（0）=c=2，

∴c=2，d=1，

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知h（x）=f（x）﹣g（x）

=（x+1）ex﹣（﹣x2+2x+1）

=（x+1）ex+x2﹣2x﹣1，

∴h′（x）=（x+2）ex+2x﹣2

=（x+2）ex+2x+4﹣6

=（x+2）（ex+2）﹣6≥2×3﹣6=0，

∴h（x）在[0，+∞）为增函数．

考点分析：

导数的运算．

题干分析：

（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，1），从而解出a，b，c，d的值；

（Ⅱ）对函数h（x）=f（x）﹣g（x）进行求导，即可判断其单调性．