福建省八县（市）一中联考2016届高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

2015-2016学年福建省八县（市）一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．

1．设集合A={x|2^x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（ ）

A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2） D．（1，2]

【考点】对数函数的定义域；交集及其运算．

【分析】解指数不等式求出集合A，求出对数函数的定义域即求出集合B，然后求解它们的交集．

【解答】解：A={x|2^x≤4}={x|x≤2}，

由x﹣1＞0得x＞1

∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}

∴A∩B={x|1＜x≤2}

故选D．

2．已知

和

，若

，则|

|=（ ）

A．5 B．8 C．

D．64

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】由题意可得x+2﹣2x=0，解方程可得x，即可求出|

|．

【解答】解：∵

和

，

，

∴x+2﹣2x=0，

解得x=2，

∴|

|=|（5，0）|=5．

故选：A．

3．等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₅a₆+a₄a₇=18，则log₃a₁+log₃a₂+…log₃a₁₀=（）

A．12 B．10 C．8 D．2+log₃5

【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．

【分析】先根据等比中项的性质可知a₅a₆=a₄a₇，进而根据a₅a₆+a₄a₇=18，求得a₅a₆的值，最后根据等比数列的性质求得log₃a₁+log₃a₂+…log₃a₁₀=log₃（a₅a₆）⁵答案可得．

【解答】解：∵a₅a₆=a₄a₇，

∴a₅a₆+a₄a₇=2a₅a₆=18

∴a₅a₆=9

∴log₃a₁+log₃a₂+…log₃a₁₀=log₃（a₅a₆）⁵=5log₃9=10

故选B

4．如图，已知ABCDEF是边长为1的正六边形，则

的值为（ ）

A．

B．

C．

D．

【考点】平面向量数量积的运算；向量加减法的应用．

【分析】根据正六边形对边平行且相等的性质，可得，

=

∠ABF=30°，然后根据向量的数量积，即可得到答案

【解答】解：由正六边形的性质可得，

=

∠ABF=30°

∴

=

=|

|·|

|cos30°=

=

故选C

5．将函数

的图象向右平移θ（θ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则θ的最小值是（ ）

A．

B．

C．

D．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】y=

cosx+sinx=2cos（x﹣

），故将函数平移后得到y=2cos（x﹣

﹣θ），由于平移后的新函数是偶函数，得cos（﹣x﹣

﹣θ）=cos（x﹣

﹣θ），即cos（x+

+θ）=cos（x﹣

﹣θ）恒成立，于是x+

+θ=x﹣

﹣θ+2kπ，解出θ=kπ﹣

．

【解答】解：∵y=

cosx+sinx=2cos（x﹣

），

∴将函数平移后得到的函数为y=2cos（x﹣

﹣θ），

∵y=2cos（x﹣

﹣θ）的图象关于y轴对称，

∴cos（﹣x﹣

﹣θ）=cos（x﹣

﹣θ），即cos（x+

+θ）=cos（x﹣

﹣θ）恒成立．

∴x+

+θ=x﹣

﹣θ+2kπ，解得θ=kπ﹣

．

∵θ＞0，

∴当k=1时，θ取最小值

．

故选：D．

6．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（ ）

A．?x∈R，f（﹣x）≠f（x） B．?x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）

C．?x₀∈R，f（﹣x₀）≠f（x₀）D．?x₀∈R，f（﹣x₀）≠﹣f（x₀）

【考点】全称命题；特称命题．

【分析】根据定义域为R的函数f（x）不是偶函数，可得：?x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；则其否定形式为真命题，可得答案．

【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）不是偶函数，

∴?x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；

∴?x₀∈R，f（﹣x₀）≠f（x₀）为真命题，

故选：C．

7．下列四个结论：①设

为向量，若

，则

恒成立；

②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；

③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；

其中正确结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

【考点】复合命题的真假．

【分析】由向量的运算性质判断出夹角是90°即可判断①正确；由命题的逆否命题，先将条件、结论调换，再分别对它们否定，即可判断②；由命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，即可判断③．

【解答】解：对于①设

为向量，若

cos＜

，

＞，

从而cos＜

，

＞=1，即

和

的夹角是90°，则

恒成立，则①对；

对于②，命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”而不是逆命题，则②错；

对于③，命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，不能推出p∧q为真，反之成立，

则应为必要不充分条件，则③错；

故选：A．

8．对于函数y=g（x），部分x与y的对应关系如下表：

x	1	2	3	4	5	6
y	2	4	7	5	1	8

数列{x_n}满足：x₁=2，且对于任意n∈N^*，点（x_n，x_n+1）都在函数y=g（x）的图象上，则x₁+x₂+…+x₂₀₁₅=（）

A．4054 B．5046 C．5075 D．6047

【考点】函数的图象．

【分析】由题意易得数列是周期为4的周期数列，可得x₁+x₂+…+x₂₀₁₅=503（x₁+x₂+x₃+x₄）+x₁+x₂+x₃，代值计算可得．

【解答】解：∵数列{x_n}满足x₁=2，且对任意n∈N^*，点（x_n，x_n+1）都在函数y=g（x）的图象上，∴x_n+1=g（x_n），

∴由图表可得x₁=2，x₂=f（x₁）=4，x₃=f（x₂）=5，x₄=f（x₃）=1，x₅=f（x₄）=2，

∴数列是周期为4的周期数列，故x₁+x₂+…+x₂₀₁₅=503（x₁+x₂+x₃+x₄）+x₁+x₂+x₃=503×（2+4+5+1）+2+4+5=6047，

故选：D．

9．设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（ ）

A．

B．

C．

D．

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】先对函数f（x）进行求导运算，根据在点（t，f（t））处切线的斜率为在点（t，f（t））处的导数值，可得答案．

【解答】解：∵f（x）=xsinx+cosx

∴f^'（x）=（xsinx）^'+（cosx）^'

=x（sinx）^'+（x）^'sinx+（cosx）^'

=xcosx+sinx﹣sinx

=xcosx

∴k=g（t）=tcost

根据y=cosx的图象可知g（t）应该为奇函数，且当x＞0时g（t）＞0

故选B．

10．已知向量

，

满足

，且关于x的函数

在实数集R上单调递增，则向量

，

的夹角的取值范围是（ ）

A．

B．

C．

D．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】求导数，利用函数f（x）=2x³+3|a|x²+6a·bx+7在实数集R上单调递增，可得判别式小于等于0在R上恒成立，再利用

，利用向量的数量积，即可得到结论．

【解答】解：求导数可得f′（x）=6x²+6|

|x+6

，则由函数f（x）=2x³+3|a|x²+6a·bx+7在实数集R上单调递增，

可得f′（x）=6x²+6|

|x+6

≥0恒成立，即 x²+|

|x+

≥0恒成立，

故判别式△=

²﹣4

≤0 恒成立，

再由

，可得8|

|²≤8

|

|²cos＜

，

＞，

∴cos＜

，

＞≥

，

∴＜

，

＞∈[0，

]，

故选：C．

11．如图是函数

图象的一部分，对不同的x₁，x₂∈[a，b]，若f（x₁）=f（x₂），有

，则（ ）

A．f（x）在

上是增函数 B．f（x）在

上是减函数

C．f（x）在

上是增函数 D．f（x）在

上是减函数

【考点】正弦函数的图象．

【分析】利用图象得出对称轴为：x=

整体求解x₁+x₂=

﹣?，

，代入即可得出f（x）=2sin（2x

）

根据正弦函数的单调性得出不等式

+kπ≤x≤

+kπ．k∈z．

即可判断答案．

【解答】解：根据函数图象得出；A=2，对称轴为：x=

2sin（x₁+x₂+?）=2，x₁+x₂+?=

，x₁+x₂=

﹣?，

∵

，

∴2sin（2（

﹣?）+?）=

．

即sin（π﹣?）=

，∵|?|

，

∴

∴f（x）=2sin（2x

）

∵

+2kπ≤2x

≤

+2kπ，k∈z，

∴

+kπ≤x≤

+kπ．k∈z．

故选：A

12．若关于x的不等式a≤

﹣3x+4≤b的解集恰好是[a，b]，则a+b的值为（ ）

A．5 B．4 C．

D．

【考点】一元二次不等式的应用．

【分析】确定f（x）=

﹣3x+4的对称轴，然后讨论对称轴是否在区间[a，b]内，分别求解即可．

【解答】解：令f（x）=

﹣3x+4．对称轴为x=2，

若a≥2，则a，b是方程f（x）=x的两个实根，解得a=

，b=4，矛盾，易错选D；

若b≤2，则f（a）=b，f（b）=a，相减得a+b=

，代入可得a=b=

，矛盾，易错选C；

若a＜2＜b，因为f（x）_min=1，所以a=1，b=4．

因为x=0时与x=4时，函数值相同：4，所以a=0，

a+b=4，

故选：B．

二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上．

13．若z=（sinθ﹣

）+i（cosθ﹣

）是纯虚数，则tanθ的值为

．

【考点】复数的基本概念．

【分析】根据复数是一个纯虚数，得到这个复数的实部为0，虚部不为0，解出关于θ的正弦的值和余弦不等于的值，从而得到这个角的余弦值，根据同角的三角函数关系，得到正切值．

【解答】解：∵

是纯虚数，

∴sinθ﹣

=0，

cosθ﹣

≠0，

∴sin

，cos

，

∴cos

，

∴tan

，

故答案为：﹣

14．若幂函数f（x）过点（2，8），则满足不等式f（2﹣a）＞f（1﹣a）的实数a的取值范围是

．

【考点】函数单调性的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．

【分析】2^α=8?α=3，则f（x）=x³．通过f（2﹣a）＞f（a﹣1），利用函数f（x）的单调性可得a范围；

【解答】解：∵2^α=8?α=3，则f（x）=x³，

由f（2﹣a）＞f（a﹣1），?2﹣a＞a﹣1?a＜

；

则满足不等式f（2﹣a）＞f（1﹣a）的实数a的取值范围是

．

故答案为：

．

15．函数

的图象与x轴所围成的封闭图形面积为

．

【考点】定积分在求面积中的应用．

【分析】利用定积分表示封闭图形的面积，然后计算即可．

【解答】解：∵

，

∴函数

的图象与x轴所围成的封闭图形面积为

+

=

+

=

．

故答案为：

．

16．已知函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数x，y满足：f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），

，

，考查下列结论：①f（1）=1；②f（x）为奇函数；③数列{a_n}为等差数列；④数列{b_n}为等比数列．

以上命题正确的是 ②③④ ．

【考点】抽象函数及其应用．

【分析】利用抽象函数的关系和定义，利用赋值法分别进行判断即可．

【解答】解：（1）因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）=yf（x）+xf（y），

∴令x=y=1，得f（1）=0，故①错误，

（2）令x=y=﹣1，得f（﹣1）=0；

令y=﹣1，有f（﹣x）=﹣f（x）+xf（﹣1），

代入f（﹣1）=0得f（﹣x）=﹣f（x），

故f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数．故②正确，

（3）若

，

则a_n﹣a_n﹣1=

﹣

=

=

=

为常数，

故数列{a_n}为等差数列，故③正确，

④∵f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），

∴当x=y时，f（x²）=xf（x）+xf（x）=2xf（x），

则f（2²）=4f（2）=8=2×2²，

f（2³）=2²f（2）+2f（2²）=2³+2×2³═3×2³，

…

则f（2ⁿ）=n×2ⁿ，

若

，

则

=

=

=

=2为常数，

则数列{b_n}为等比数列，故④正确，

故答案为：②③④．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．设p：关于x的不等式a^x＞1的解集是{x|x＜0}；q：函数

的定义域为R．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．

【考点】复合命题的真假．

【分析】根据指数函数的单调性求得命题p为真时a的取值范围；利用

求出命题q为真时a的范围，由复合命题真值表知：若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则命题p、q一真一假，

分p真q假和q真p假两种情况求出a的范围，再求并集．

【解答】解：∵关于x的不等式a^x＞1的解集是{x|x＜0}，∴0＜a＜1；

故命题p为真时，0＜a＜1；

∵函数

的定义域为R，

∴

?a≥

，

由复合命题真值表知：若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则命题p、q一真一假，

当p真q假时，则

?0＜a＜

；

当q真p假时，则

?a≥1，

综上实数a的取值范围是（0，

）∪[1，+∞）．

18．已知向量

=（sinx，﹣1），向量

=（

cosx，﹣

），函数f（x）=（

+

）·

．

（1）求f（x）的最小正周期T；

（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2

，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，

]上的最大值，求A和b．

【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．

【分析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；

（2）根据x的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的性质求出f（x）的最大值，以及此时x的值，由f（A）为最大值求出A的度数，利用余弦定理求出b的值即可．

【解答】解：（1）∵向量

=（sinx，﹣1），向量

=（

cosx，﹣

），

∴f（x）=（

+

）·

=sin²x+1+

sinxcosx+

=

+1+

sin2x+

=

sin2x﹣

cos2x+2=sin（2x﹣

）+2，

∵ω=2，

∴函数f（x）的最小正周期T=

=π；

（2）由（1）知：f（x）=sin（2x﹣

）+2，

∵x∈[0，

]，

∴﹣

≤2x﹣

≤

，

∴当2x﹣

=

时，f（x）取得最大值3，此时x=

，

∴由f（A）=3得：A=

，

由余弦定理，得a²=b²+c²﹣2bccosA，

∴12=b²+16﹣4b，即（b﹣2）²=0，

∴b=2．

19．已知数列{a_n}与{b_n}满足：a₁=1，b_n=

且a_nb_n+1+a_n+1b_n=1+（﹣2）ⁿ，

（1）求a₂，a₃的值：

（2）令c_k=a_2k+1﹣a_2k﹣1，k∈N^*，证明：{c_k}是等比数列．

【考点】数列递推式；等比关系的确定．

【分析】（1）根据数列的递推关系即可求a₂，a₃的值：

（2）分别令n=2k，n=2k﹣1，化简条件，利用构造法先求出c_k=a_2k+1﹣a_2k﹣1，k∈N^*的通项公式，即可证明：{c_k}是等比数列．

【解答】解：（1）∵a₁=1，b_n=

，

∴b₁=

=1，b₂=

=2，b₃=1，b₄=2，

∵a_nb_n+1+a_n+1b_n=1+（﹣2）ⁿ，

∴当n=1时，a₁b₂+a₂b₁=1﹣2=﹣1，

即2+a₂=﹣1，则a₂=﹣3，

当n=2时，a₂b₃+a₃b₂=1+4=5，

即﹣3+2a₃=5，则a₃=4．

（2）由（1）知当n为奇数时，b_n=1，

当n为偶数时，b_n=2，

∵a_nb_n+1+a_n+1b_n=1+（﹣2）ⁿ，

∴令n=2k，则a_2kb_2k+1+a_2k+1b_2k=1+（﹣2）^2k，

即a_2k+2a_2k+1=1+（﹣2）^2k，①

令n=2k﹣1，则a_2k﹣1b_2k+a_2kb_2k﹣1=1+（﹣2）^2k﹣1

即2a_2k﹣1+a_2k=1+（﹣2）^2k﹣1，②

①一②得2a_2k+1﹣2a_2k﹣1=1+（﹣2）^2k﹣1+（﹣2）^2k﹣1=4^k﹣

·4^k=

·4^k，

即a_2k+1﹣a_2k﹣1=

·4^k，

∵c_k=a_2k+1﹣a_2k﹣1，k∈N^*，

∴c_k=

·4^k，k∈N^*，

则当k≥2时，

=

=4为常数，

即{c_k}是等比数列．

20．罗源滨海新城建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为（2+

）x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．

（1）试写出y关于x的函数关系式；

（2）当m=96米时，需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用y最小？

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．

【分析】（1）根据题意设出桥墩和桥面工程量，然后根据题意建立工程总费用与工程量的函数关系．

（2）当m=96米时，代入已知函数表达式，求出此时的函数表达式，并求导，根据导数与函数单调性的关系求出最值以及此时x的值．

【解答】解：（1）设需新建n个桥墩，则（n+1）x=m，即n=

﹣1，…

所以y=f（x）=32n+（n+1）（2+

）x=32（

﹣1）+（2+

）m

=m（

+

）+2m﹣32，（ 0＜x＜m）…

（2）当m=96时，f（x）=96（

+

）+160

则f′（x）=

．…

令f′（x）=0，得

=64，所以x=16

当0＜x＜16时，f′（x）＜0，f（x）在区间（0，16）内为减函数；

当16＜x＜96，f′（x）＞0，f（x）在区间（16，96）内为增函数．

所以f（x）在x=16处取得最小值．此时n=

﹣1=5…

故需新建5个桥墩才能使余下工程的费用y最小．…

21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

，且

，

（Ⅰ）求△ABC的面积．

（Ⅱ）已知等差数列{a_n}的公差不为零，若a₁cosA=1，且a₂，a₄，a₈成等比数列，求{

}的前n项和S_n．

【考点】数列的求和；正弦定理．

【分析】（Ⅰ）由正弦定理得b²+c²﹣a²=bc，由余弦定理得

，由此能求出△ABC的面积．

（Ⅱ）数列{a_n}的公差为d且d≠0，由a₁cosA=1得a₁=2，由a₂，a₄，a₈成等比数列，得d=2，从而

，由此利用裂项求和法能求出{

}的前n项和S_n．

【解答】（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

，且

，

∴由正弦定理得：

，即：b²+c²﹣a²=bc，

∴由余弦定理得：

，

又∵0＜A＜π，∴

，…

∵且

，即：5acosC=﹣5，即：

，

与

联立解得：c=12，…

∴△ABC的面积是：

；…

（Ⅱ）数列{a_n}的公差为d且d≠0，由a₁cosA=1，得a₁=2，

又a₂，a₄，a₈成等比数列，得

，解得d=2…

∴a_n=2+（n﹣1）×2=2n，有a_n+2=2（n+2），

则

…

∴

=

．…

22．已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax²（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x），其中h′（x）是函数h（x）的导函数．

（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；

（Ⅱ）当﹣8＜a＜﹣2时，若存在x₁，x₂∈[1，3]，使得

恒成立，求m的取值范围．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．

【分析】（Ⅰ）把a=0代入函数f（x）的解析式，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，得到函数在各区间段内的单调性，从而求得函数极值；

（Ⅱ）由函数的导函数可得函数的单调性，求得函数在[1，3]上的最值，再由

恒成立，结合分离参数可得

，构造函数

，利用导数求其最值得m的范围．

【解答】解：（I）依题意h′（x）=

，则

，x∈（0，+∞），

当a=0时，

，

，

令f′（x）=0，解得

．

当0＜x＜

时，f′（x）＜0，当

时，f′（x）＞0．

∴f（x）的单调递减区间为

，单调递增区间为

．

∴

时，f（x）取得极小值

，无极大值；

（II）

=

，x∈[1，3]．

当﹣8＜a＜﹣2，即

＜

＜

时，恒有f′（x）＜0成立，

∴f（x）在[1，3]上是单调递减．

∴f（x）_max=f（1）=1+2a，

，

∴|f（x₁）﹣f（x₂）|_max=f（1）﹣f（3）=

，

∵x₂∈[1，3]，使得

恒成立，

∴

＞

，整理得

，

又a＜0，∴

，

令t=﹣a，则t∈（2，8），构造函数

，

∴

，

当F′（t）=0时，t=e²，

当F′（t）＞0时，2＜t＜e²，此时函数单调递增，

当F′（t）＜0时，e²＜t＜8，此时函数单调递减．

∴

，

∴m的取值范围为

．

2016年10月21日