无理数的发现，与不可公度线段有关，与面积计算有关，也与方程求解有关。虽然人们很早就发现了无理数，但是，在很长的一段时期内，人们无法对无理数作出一个合理的解释，也很难给出清晰的符号表达。事实上，实数理论的确立比微积分的出现还要晚。
人们总是习惯于从已有的概念出发，借助已有的概念来刻画新的事物，但是却遇到了“无理数”这样的难题。虽然人们很早就发现了无理数的存在，但是不能给出一个合理的解释，也很难给出清晰的符号表达，于是称这样的数为无理数，是一种没有道理的数。在这里，我们先来讨论人们是怎样发现无理数的，从中感悟无理数的本质特征。
一．边长与对角线的不可公度
毕达哥拉斯学派发现边长为1的正方形的对角线与边长是不可公度的，即不能表示为整数之间的比例关系，这个发现基于一个表述直角三角形三个边长之间关系的定理。在中国，这个定理被称为勾股定理，在西方，这个定理被称为毕达哥拉斯定理。这个定理的一般表述为：令一个直角三角形的两个直角边和一个斜边的边长分别为a,b和c，则有
a2+b2=c2
由定理可知，如果两个直角边长分别为a=1和b =1，则斜边长c=√2，但是√2不能表示为两个整数之比的形式。
假设√2能够表示为两个整数比的形式，即√2=a/b，其中a和b为整数且没有公因数。则a2=2b2，于是a2为偶数，因为只有偶数的平方才能为偶数（任何一个奇数可以表示为2n+1，由（2n+1）2=4n2+4n+1知，奇数的平方必为奇数），所有a为偶数。因为a和b没有公因数，a为偶数则b必为奇数。因为a为偶数，可设a=2c，其中 c为整数。则a2=4c2，于是有4c2=2b2即2c2=b2,则b2为偶数且b为偶数。b不可能又是奇数又是偶数，因此，假设不成立，也就是√2不能表示为两个整数比的形式。
因为古希腊人认为可以用整数或者整数的比来度量一切事物，√2是有有悖于这个理念的，因此是不可理解的，于是，古希腊的大部分学者放弃了对算术的研究而热衷于研究几何。
二．圆周率
人们很早就知道圆的周长为2πr，面积为πr2，其中r是圆的半径，π为圆周率。但是，计算π是非常困难的，人们希望用一个可公度数来近似得到π。因为尼罗河的泛滥，为了调整泛滥后的土地，古埃及人掌握了土地面积测量与计算的技术，他们对于圆面积给出了很好的近似，《莱茵德纸草书》
第50题说，直径为9的圆形土地的面积等于边长为8的正方形土地的面积。如果用面积公式：82≈π*（9/2）2，可以得到π约等于16/9的平方，即256/81=3.1605，这是在公元前1700年左右得到的结果。当然，仅就这一点，我们还很难确定，当时的古埃及人是否已经建立了关于圆周率的概念。对于π的近似计算，古希腊物理学家，数学家阿基米德得到在22/7与223/71之间，祖冲之得到在22/7与355/113之间，其中22/7是计算圆内接正96边形的周长得到的，355/113被称为密律，也称祖律。
三．面积与无理数
我们常用的求三角形面积的公式需要知道三角形的一个高，但是古希腊数学家海伦在他的《度量》一书中给出了一个只依赖于边长的公式：对于任意三角形，令三个边长分别为a,b和c,令s为三角形周长的一半，即s=(a+b+c)/2，则三角形的面积为√s(s-a)(s-b)(s-c)。显然，这个数经常为无理数。
四．方程与无理数
古希腊代数的顶峰是在丢番图时代，他的重要贡献之一就是在代数中引入了符号，甚至给出了相当现在的1/x和x的3次以上幂的形式，在当时这是极度抽象的符号，因为古代人认为2次幂是平方，3次幂是立方，都是有具体的几何背景的，3次以上幂无具体的几何背景因而是无意义的。丢番图知道一元二次方程式有两个根，但不知道如何处理这两个根，于是，两个根均为有理数时，他取较大的哪一个；根为无理数或者虚数时，他则认为这个方程是不可解的。这样，毕达哥拉斯学派的发现在这里就是一个特例了，因为√2是方程x2-2=0的一个根。
丢番图最感兴趣的问题是：方程的根是否是正整数。他把许多重要的结果写在他的著作《算术》中，现在，人们称求方程整数解的问题为丢番图问题。但是，丢番图绝对不会想到的是，他的《算术》一书引发了一个著名的猜想，这就是费马大定理。费马大定理与勾股定理关系密切，在勾股定理a2+b2=c2中，a,b和c这三个数有可能同时是整数，比如a=3,b=4和c=5。但是，费马猜想，平方的情况是特殊的，对于一般的等式an+bn=cn，当n≧3时将不存在使a,b和c同时为整数的解。费马把这个问题写在《算术》这本书问题8的页边：
“不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个4次幂写出两个4次幂之和；或者，总地来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂之和”
问题是简洁的，证明却是困难的。经历了3个世纪，经过几代数学家的努力，这个问题于1993年被在普林斯顿任教的英国数学家怀尔斯解决，长达130页的论文发表于1995年。
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